Upper-bound Limit Analysis of Seismic Quasi-static Stability of Multi-stage Slopes
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摘要: 基于极限分析上限定理，结合非线性Mohr-Coulomb破坏准则，运用地震拟静力分析方法，构建三级边坡在地震效应影响下对数螺旋线破坏极限分析模型，并推导出边坡安全系数计算方程。通过MATLAB编程计算，采用序列二次规划方法优化求解，分析了地震效应下多种因素对多级边坡稳定性的影响。研究结果表明，边坡坡角和台阶宽度是影响地震作用下多级边坡稳定性的重要因素，为提高地震区域的边坡稳定性，应合理设置边坡台阶宽度并放缓坡角；地震效应对边坡稳定性的影响在非线性条件下更符合工程实际，非线性系数m的增加将降低边坡稳定性；水平地震效应明显影响边坡稳定性，随着水平地震系数kh的增大，边坡安全系数FS显著减小，且减小速率逐渐加快；同时当地震效应比例系数λ越大，即竖向地震作用越大时，边坡在水平和竖向地震效应作用下更易失稳。因此，进行多级边坡工程设计时有必要同时考虑水平地震效应和竖向地震效应。Abstract: Based on the upper limit theorem of limit analysis and the nonlinear Mohr-Coulomb damage criterion, a limit analysis model for the logarithmic helix damage of three-stage slopes under seismic effects is developed. This model applies the seismic static analysis method and derives the equation for calculating the slope safety factor. The calculations are performed using MATLAB programming, with sequential quadratic programming employed to optimize the solution. The study analyzes the influence of various factors on the stability of multi-stage slopes under seismic effects. The results show that slope angle and step width are key factors influencing stability; thus, these parameters should be carefully selected to enhance slope stability in seismic regions. The effect of seismic forces on slope stability is better represented under nonlinear conditions, with an increase in the nonlinear coefficient (m) leading to a reduction in slope stability. Horizontal seismic effects significantly affect stability; as the horizontal seismic coefficient (kh) increases, the slope safety factor (FS) decreases notably, with the rate of decrease accelerating over time. Additionally, when the seismic ratio coefficient (λ) is large—indicating higher vertical seismic forces—slope stability becomes more prone to destabilization under both horizontal and vertical seismic effects. Therefore, both horizontal and vertical seismic forces should be considered in the design of multi-stage slopes in seismic regions.
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引言
近年来，随着我国国民经济持续发展，高速公路改扩建与大型基坑开挖等工程不断涌现，多级边坡以其占地面积少、可提高边坡坡率等优势，越来越广泛地应用于大型边坡工程建设中。目前，已有较多学者在多级边坡稳定性方面开展了系统性研究，时卫民等（2002）假设阶梯形边坡滑移面为直线平面并进行理论推导，但大量试验和工程经验发现，均匀土质边坡滑移面多为圆弧面（陈祖煜，2003；李忠等，2006）；王路路等（2013）基于极限分析理论，建立三级台阶边坡破坏模型并对其稳定性进行理论推导计算，但未考虑地震等复杂因素对台阶边坡稳定性的影响；章瑞环等（2021）建立了多级黄土边坡的多种破坏机构，如坡脚圆、中点圆等，并基于改进极限平衡法推导边坡安全系数解析式，分析得到边坡安全系数最优解及临界滑移面。
已有研究表明，坡顶超载、裂缝、地下水等因素是造成边坡失稳的主要原因（罗强等，2010；李得建等，2015；曾润忠等，2022），而地震效应因其偶然性、复杂性和破坏性，已成为目前边坡稳定性分析的热点问题，地震拟静力分析方法也成了最常用的方法之一。Michalowski（1998）在Terzaghi（1950）提出拟静力分析方法基础上进一步将其应用于对地震作用下土质边坡稳定性的分析。近年来，地震效应对边坡稳定性的影响也引起了许多学者的重视，李得建等（2015）构建了裂缝边坡的二维失稳模型，采用极限分析上限定理和拟静力方法，探讨了裂缝边坡在地震效应下的稳定性问题；罗强等（2010）和杜佃春等（2015）研究了在坡顶超载和孔隙水压力作用下，地震效应对边坡稳定性的影响。
众多试验表明（Lade，1977；Hoek等，1980；Zhang等，1987；刘宝琛等，1997；Yang等，2004），大多数岩土介质都符合非线性准则，赵炼恒等（2010）将“外切线法”与“初始切线法”引入非线性破坏准则，对比计算表明“外切线法”更精确有效；罗伟等（2020）基于极限平衡法，结合非线性破坏准则，开展了抗滑桩加固边坡稳定性作用机理分析研究。综上所述，现有考虑地震效应的边坡稳定性分析多针对单级边坡，且大部分未考虑地震效应对多级边坡稳定性非线性破坏的影响。因此，开展多级台阶边坡地震稳定性拟静力极限上限分析研究具有重要意义。
本文以三级台阶边坡为例，以极限分析上限定理为基础，结合非线性破坏准则及地震拟静力法，推导多级边坡在地震作用下安全系数计算公式并使用MATLAB优化计算，得到线性与非线性条件下边坡安全系数FS与边坡滑动面位置，在此基础上分析各因素对地震效应下多级边坡稳定性的影响。
1. 基本原理和基本假设
1.1 非线性破坏准则
非线性Mohr-Coulomb破坏准则的指数形式能较好展现非线性Mohr圆包络线，得到了广泛的应用（赵炼恒等，2010），其表达式为：
$$ \tau = {c_0} \cdot {\left( {1 + {\sigma _{\mathrm{n}}}/{\sigma _{\mathrm{t}}}} \right)^{1/m}} $$ (1) 式中，
$ \tau $ 表示破坏面上的切向应力；$ {c_0} $ 表示初始黏聚力；$ {\sigma _{\mathrm{n}}} $ 表示破坏面上的法向应力；$ {\sigma _{\mathrm{t}}} $ 表示轴向拉应力；m表示非线性系数。非线性Mohr-Coulomb破坏准则如图1所示，破坏面上切点G（
$ {\sigma _{\mathrm{n}}} $ ，$ \tau $ ）的切线方程为：
图 1 非线性Mohr-Coulomb破坏强度准则示意Figure 1. Diagram of a nonlinear Mohr-Coulomb failure criterion$$ \tau = {c_{\mathrm{t}}} + {\sigma _{\mathrm{n}}} \cdot {\text{tan}}{\varphi _{\mathrm{t}}} $$ (2) $$ \tan {\varphi _\text{t}} = \frac{{\partial \tau }}{{\partial {\sigma _\text{n}}}} = \frac{{{c_0}}}{{m{\sigma _\text{t}}}} \cdot {\left( {1 + \frac{{{\sigma _\text{n}}}}{{{\sigma _\text{t}}}}} \right)^{\tfrac{{1 - {{m}}}}{m}}} $$ (3) $$ {c_\text{t}} = \frac{{m - 1}}{m}{c_0}{\left(\frac{{m{\sigma _\text{t}}\tan {\varphi _\text{t}}}}{{{c_0}}}\right)^{\tfrac{1}{{1 - m}}}} + {\sigma _\text{t}}\tan {\varphi _\text{t}} $$ (4) 式中，
$ c\mathrm{_t} $ 、$ \tan {\varphi _{\mathrm{t}}} $ 分别为切线方程的截距和斜率。边坡达到临界破坏状态时，按下式对抗剪强度指标进行折减计算：
$$ \left\{ \begin{aligned} & {c_{{{\mathrm{f}}}}} = {c_{\mathrm{t}}}/{F_{\mathrm{s}}} \\ & {\varphi _{{{\mathrm{f}}}}} = \arctan (\tan {\varphi _{\mathrm{t}}}/{F_{\mathrm{s}}}) \end{aligned} \right. $$ (5) 1.2 地震拟静力分析方法
地震拟静力分析方法最早于20世纪50年代由学者Terzaghi（1950）提出并应用，是分析边坡地震稳定性的常用方法之一。如图2所示，该方法分别将作用在边坡上的地震作用khW、kvW表示为水平或竖直方向上的静力作用，在计算过程中，将竖直方向动态影响等效静态力当作水平方向动态影响等效静态力的分量，其表达式为：
图 2 地震拟静力分析法在边坡中的作用力示意Figure 2. Schematic diagram of the force at slope by seismic quasi-static analysis$$ {k_{\mathrm{v}}} = \lambda {k_{\mathrm{h}}} $$ (6) 式中，kh为水平地震加速度系数；kv为竖向地震加速度系数；W为滑动土块质量；λ为地震效应比例系数。本文计算时，kh取值分别为0、0.1、0.2、0.3。
1.3 基本假设
本文基于极限分析上限理论，结合地震拟静力方法并引入非线性Mohr-Coulomb破坏准则时，应用了以下假设（高连生等，2014）：
（1） 边坡岩土材料是理想的刚塑性体，岩土体破坏时服从非线性Mohr-Coulomb破坏准则。
（2） 所有问题均符合二维平面应变问题条件，且地震效应下边坡破坏模式不发生变化。
（3） 破坏面上某一点对应的抗剪强度指标为
$ c\mathrm{_t} $ 、$ \varphi\mathrm{_t} $ ，且遵循相关联流动法则。2. 边坡安全系数计算方程推导
2.1 边坡计算模型和几何要素
假定二维计算模型为边坡对数螺旋线破坏模式（Chen，1975），滑动破坏面通过坡趾下方，三级台阶边坡对数螺旋线破坏模型如图3所示，图中O1为旋转中心，Ω为滑动土体角加速度，H为边坡高度，β1、β2、β3分别为坡面各级倾角，α1、α2、α3分别为坡体各级高度与边坡总高度的比例系数，L为对数螺旋破坏面A点与坡顶缘J点间水平距离，d1为边坡台阶F点与G点间水平距离，d2为边坡台阶D点与E点间水平距离，d3为坡脚C点与对数螺旋破坏面B点间水平距离，θh1、θ01和β'为对数螺旋线破坏模式的角度参数，rh1和r01为对数螺旋线破坏模式的距离参数。
图 3 三级台阶边坡对数螺旋线破坏计算简图Figure 3. Simplified diagram of log spiral failure of three-step slope刚性块体A-B-C-D-E-F-G-J-A绕O点旋转，AB断面为螺旋滑动面。由几何关系知，H/r01、D3/r01、
$L+\displaystyle\sum_{i=1}^3 d_i / r_{01} $ 可通过变量θh1、θ01、r01表示：$$ \frac{H}{{{r_{01}}}} = {{\mathrm{e}}^{{\text{(}}{\theta _{h1}} - {\theta _{01}}{\text{)tan}}{\varphi _{\mathrm{t}}}}} \cdot {\text{sin}}{\theta _{{\mathrm{h}}1}} - {\text{sin}}{\theta _{01}} $$ (7) $$ \frac{{d}_{3}}{{r}_{01}}={\alpha }_{3}(\text{cot}\beta {'}-\text{cot}{\beta }_{3})\frac{H}{{r}_{\text{0}1}} $$ (8) $$ L+\sum_{i=1}^3 d_i / r_{01}=\cos \theta_{01}-{\mathrm{e}}^{\left(\theta_{\text{h} 1}-\theta_{01}\right) \tan \varphi_{\mathrm{t}}} \cdot \cos \theta_{\text{h} 1}-\left[{\mathrm{e}}^{\left(\theta_{\text{h} 1}-\theta_{01}\right) \tan \varphi_{\mathrm{t}}} \cdot \sin \theta_{\text{h} 1}-\sin \theta_{01}\right] \sum_{i=1}^3 \alpha_i \cot \beta_i $$ (9) 2.2 边坡安全系数的推导
在自重与地震拟静力条件下，图3所示的破坏机构能耗计算包括滑动土体A-B-C-D-E-F-G-J-A自重做功Ws、地震作用做功Ws-v、Ws-h和滑动面内能耗散
$ {W _{{{\mathrm{int}}} }} $ 。$$ {W_{\text{s}}} + {W_{{\text{s-}} {\text{v}}}} + {W_{{\text{s-}} {\text{h}}}} = { W _{{{\mathrm{int}}} }} $$ (10) 2.2.1 重力做功
假定O1ABO1、O1AJO1、O1JGO1、O1GFO1、O1FEO1、O1EDO1、O1DBO1和DBCD区重力功率分别为W1、W2、W3、W4、W5、W6、W7、W8，则区域A-B-C-D-E-F-G-J-A重力功率为：
$$ {W_{\mathrm{s}}} = {W_1} - {W_2} - {W_3} - {W_4} - {W_5} - {W_6} - {W_7} - {W_8} = r_{01}^3 \cdot \gamma \cdot \varOmega \cdot ({f_1} - {f_2} - {f_3} - {f_4} - {f_5} - {f_6} - {f_7} - {f_8}) $$ (11) $$ f_1=\left[{\mathrm{e}}^{\left(\theta_{\text{h} 1}-\theta_{01}\right) \tan \varphi_{\mathrm{t}}}\left(3 \tan \varphi_{\mathrm{t}} \cos \theta_{\text{h} 1}+\sin \theta_{\text{h} 1}\right)-\left(3 \tan \varphi_{\mathrm{t}} \cos \theta_{01}+\sin \theta_{01}\right)\right] / 3\left(1+9 \tan ^2 \varphi_{\mathrm{t}}\right) $$ (12) $$ {f_2} = \frac{1}{6}\sin {\theta _{01}}\frac{L}{{{r_{01}}}} \cdot \left(2\cos {\theta _{01}} - \frac{L}{{{r_{01}}}}\right) $$ (13) $$ {f}_{3}=\frac{{\alpha }_{1}H}{6{r}_{01}}\left(\text{cos}{\theta }_{01}+\text{sin}{\theta }_{01}\text{cot}{\beta }_{1}-\frac{L}{{r}_{01}}\right)\left(2\text{cos}{\theta }_{01}-\frac{2L}{{r}_{01}}-\frac{{\alpha }_{1}H}{{r}_{01}}\text{cot}{\beta }_{1}\right) $$ (14) $$ {f_4} = \frac{{{d_1}}}{{6{r_{01}}}}\left({\text{sin}}{\theta _{01}} + \frac{{{\alpha _1}H}}{{{r_{01}}}}\right) \cdot \left[ {2\cos {\theta _{01}} - \frac{{2{\alpha _1}H}}{{{r_{01}}}}\cot {\beta _1} - \frac{{2L}}{{{r_{01}}}} - \frac{{{d_1}}}{{{r_{01}}}}} \right] $$ (15) $$ \begin{split} &{f}_{5}=\frac{{\alpha }_{2}H}{6{r}_{01}}\left(\mathrm{cos}{\theta }_{01}+\mathrm{sin}{\theta }_{01}\mathrm{cot}{\beta }_{2}+\frac{{\alpha }_{1}H}{{r}_{01}}\mathrm{cot}{\beta }_{2}-\frac{L}{{r}_{01}}-\frac{{d}_{1}}{{r}_{01}}-\frac{{\alpha }_{1}H}{{r}_{01}}\mathrm{cot}{\beta }_{1}\right)\cdot \\ &\qquad \left(2\mathrm{cos}{\theta }_{01}-\frac{2L}{{r}_{01}}-\frac{2{\alpha }_{1}H}{{r}_{01}}\mathrm{cot}{\beta }_{1}-\frac{2{d}_{1}}{{r}_{01}}-\frac{{\alpha }_{2}H}{{r}_{01}}\mathrm{cot}{\beta }_{2}\right)\end{split}$$ (16) $$ {f_6} = \frac{{{d_2}}}{{6{r_{01}}}} \cdot \left[ {{\text{sin}}{\theta _{01}} + \left( {{\alpha _1} + {\alpha _2}} \right)\left( {\frac{H}{{{r_{01}}}}} \right)} \right] \cdot \left[ {2{\text{cos}}{\theta _{01}} - 2\frac{L}{{{r_{01}}}} - 2\frac{{{\alpha _1}H}}{{{r_{01}}}}{\text{cot}}{\beta _1} - 2\frac{{{d_1}}}{{{r_{01}}}} - 2\frac{{{\alpha _2}H}}{{{r_{01}}}}{\text{cot}}{\beta _2} - \frac{{{d_2}}}{{{r_{01}}}}} \right] $$ (17) $$ \begin{split} &{f}_{7}=\frac{{\alpha }_{3}H}{6{r}_{01}}\cdot \left(2\text{cos}{\theta }_{\text{h}1}\cdot {{\mathrm{e}}}^{\text{(}{\theta }_{\text{h}1}-{\theta }_{01})\text{tan}{\varphi }_{{\mathrm{t}}}}+\frac{{\alpha }_{3}H}{{r}_{01}}\text{cot}\beta {'} \right)\cdot \left[\text{cos}{\theta }_{01}-\frac{L}{{r}_{01}}-\frac{{d}_{1}}{{r}_{01}}-\frac{{\alpha }_{1}H}{{r}_{01}}\text{cot}{\beta }_{1}-\right.\\ &\qquad \left.\frac{{\alpha }_{2}H}{{r}_{01}}\text{cot}{\beta }_{2}-\frac{{d}_{2}}{{r}_{01}}+\text{cot}\beta ''\left(\text{sin}{\theta }_{01}+\frac{{\alpha }_{1}H}{{r}_{01}}+\frac{{\alpha }_{2}H}{{r}_{01}}\right)\right]\end{split} $$ (18) $$ {f_8} = \frac{1}{6}\frac{{{\alpha _3}H}}{r_{01}}\frac{{{d_3}}}{{{r_{01}}}}\left(3{\text{cos}}{\theta _{\text{h}1}} \cdot {{\mathrm{e}}^{{\text{(}}{\theta _{\text{h}1}} - {\theta _{01}}{\text{)tan}}{\varphi _{\mathrm{t}}}}} + \frac{{{d_3}}}{{{r_{01}}}} + \frac{{{\alpha _3}H}}{{{r_{01}}}}{\text{cot}}\beta '\right) $$ (19) 式中，γ为岩土体重度。
2.2.2 地震作用做功
地震作用做功Wse由两部分组成，分别为水平惯性力功率Ws-h和竖向惯性力功率Ws-v：
$$ {W_{\text{se}}} = {W_{{\text{s-}} {\text{h}}}} + {W_{{\text{s-}} {\text{v}}}} $$ (20) （1）竖向地震效应
$$ {W_{{\text{s-}} {\text{v}}}} = {k_{\mathrm{v}}} \cdot r_0^3\gamma \cdot \varOmega \cdot {\text{(}}{f_1} - {f_2} - {f_3} - {f_4} - {f_5} - {f_6} - {f_7} - {f_8}{\text{)}} $$ (21) 式中，kv为竖直方向地震加速度系数。
（2）水平地震效应
$$ {W_{\text{s-h}}} = {k_{\mathrm{h}}}r_0^3\gamma \cdot \varOmega \cdot {\text{(}}\bar {{f_1}} - \bar {{f_2}} - \bar {{f_3}} - \bar {{f_4}} - \bar {{f_5}} - \bar {{f_6}} {{ - }}\bar {{f_7}} {{ - }}\bar {{f_8}} {\text{)}} $$ (22) $$ \bar{f_1}=\left[{\mathrm{e}}^{3\left(\theta_{\text{h} 1}-\theta_{01}\right) \tan \varphi_{\mathrm{t}}}\left(3 \tan \varphi_{\mathrm{t}} \sin \theta_{\text{h} 1}-\cos \theta_{\text{h} 1}\right)-3 \tan \varphi_{\mathrm{t}} \sin \theta_{01}+\cos \theta_{01}\right] / 3\left(1+9 \tan ^2 \varphi_{\mathrm{t}}\right) $$ (23) $$ \bar {{f_2}} = \frac{1}{3}\frac{L}{{{r_{01}}}}{\text{si}}{{\text{n}}^2}{\theta _{01}} $$ (24) $$ \bar {{f}_{3}}=\frac{1}{3}\frac{{\alpha }_{1}H}{{r}_{01}}\left(\text{cos}{\theta }_{01}+\text{sin}{\theta }_{01}\text{cot}{\beta }_{1}-\frac{L}{{r}_{0}}\right)\cdot \left(\text{sin}{\theta }_{01}+\frac{{\alpha }_{1}H}{2{r}_{01}}\right) $$ (25) $$ \bar {{f_4}} = \frac{1}{3}\frac{{{d_1}}}{{{r_{01}}}}\left({\text{sin}}{\theta _{01}} + \frac{{{\alpha _1}H}}{{{r_{01}}}}\right)^2 $$ (26) $$ \bar {{f_5}} = \frac{1}{3}\frac{{{\alpha _2}H}}{{{r_{01}}}}\left({\text{cos}}{\theta _{01}} + {\text{sin}}{\theta _{01}}{\text{cot}}{\beta _2} + \frac{{{\alpha _1}H}}{{{r_{01}}}}{\text{cot}}{\beta _2} - \frac{L}{{{r_{01}}}} - \frac{{{d_1}}}{{{r_{01}}}} - \frac{{{\alpha _1}H}}{{{r_{01}}}}{\text{cot}}{\beta _1}\right) \cdot \left({\text{sin}}{\theta _{01}} + \frac{{{\alpha _1}H}}{{{r_{01}}}} + \frac{{{\alpha _2}H}}{{2{r_{01}}}}\right) $$ (27) $$ \bar {{f_6}} = \frac{1}{3}\frac{{{d_2}}}{{{r_{01}}}}\left({\text{sin}}{\theta _{01}} + \frac{{{\alpha _1}H}}{{{r_{01}}}} + \frac{{{\alpha _2}H}}{{{r_{01}}}}\right)^{\text{2}} $$ (28) $$ \begin{split} & \bar {{f_7}} = \frac{1}{3}\frac{{{\alpha _3}H}}{{{r_{01}}}}\left({\text{sin}}{\theta _{01}} + \frac{{{\alpha _1}H}}{{{r_{01}}}} + \frac{{{\alpha _2}H}}{{{r_{01}}}} + \frac{{{\alpha _3}H}}{{2{r_{01}}}}\right) \cdot \left[\left({\text{sin}}{\theta _{01}} + \frac{{{\alpha _1}H}}{{{r_{01}}}} + \frac{{{\alpha _2}H}}{{{r_{01}}}}\right){\text{cot}}\beta '+\right. \\ &\qquad \left.{\text{cos}}{\theta _{01}} - \frac{{L + {d_1} + {d_2}}}{{{r_{01}}}} - \frac{{{\alpha _1}H}}{{{r_{01}}}}{\text{cot}}{\beta _1} - \frac{{{\alpha _2}H}}{{{r_{01}}}}{\text{cot}}{\beta _2}\right] \end{split} $$ (29) $$ \bar {{f_8}} = \frac{1}{2}\frac{{{d_3}}}{{{r_{01}}}}\frac{{{\alpha _3}H}}{{{r_{01}}}}\left({\text{sin}}{\theta _{01}} + \frac{{{\alpha _1}H}}{{{r_{01}}}} + \frac{{{\alpha _2}H}}{{{r_{01}}}} + \frac{{2{\alpha _3}H}}{{3{r_{01}}}}\right) $$ (30) 2.3 内部能耗计算
仅考虑发生在间断面AB上的内部能量损耗，沿整个间断面AB积分，得到内部能耗计算公式为：
$$ {W _{{\mathrm{int}}}} = \int_{{\theta _{01}}}^{{\theta _{\text{h}1}}} {c{\text{(}}V{\text{cos}}{\varphi _{\mathrm{t}}}{\text{)}}} \frac{{r{\mathrm{d}} \theta }}{{{\text{cos}}{\varphi _{\mathrm{t}}}}} = \frac{{cr_{01}^2\varOmega }}{{2{\text{tan}}{\varphi _{\mathrm{t}}}}}{\text{[}}{{\mathrm{e}}^{2{\text{(}}{\theta _{\text{h}1}} - {\theta _{01}}{\text{)tan}}{\varphi _{\mathrm{t}}}}} - 1{\text{]}} $$ (31) 2.4 边坡安全系数表达式
采用折减后的抗剪强度指标cf、φf代替c、φt，且令折减计算后边坡自稳的临界高度等于原始高度，得到边坡整体失稳时安全系数解析式为：
$$ {F_{\mathrm{s}}} = \frac{{{c_{\mathrm{f}}}}}{{\gamma H}} \cdot \frac{{{{\mathrm{e}}^{2{\text{(}}{\theta _{\text{h}1}} - {\theta _{01}}{\text{)tan}}{\varphi _{\mathrm{f}}}}} - 1}}{2{\text{tan}}{\varphi _{\mathrm{f}}}\left[\left(1 + \lambda {k_{\mathrm{h}}}\right)\left({f_1} - {f_2} - {f_3} - {f_4} - {f_5} - {f_6} - {f_7} - {f_8}\right)+ \lambda {k_{\mathrm{h}}} \cdot \left(\bar {{f_1}} - \bar {{f_2}} - \bar {{f_3}} - \bar {{f_4}} - \bar {{f_5}} - \bar {{f_6}} - \bar {{f_7}} - \bar {{f_8}} \right)\right] } \cdot \frac{H}{{{r_{01}}}} $$ (32) 式（32）中，λ为地震效应比例系数，系数由θh1、θ01、r0、β'等变量控制，将
$ {F_{\text{S}}} = {F_{\text{S}}}{\text{(}}{\theta _{\text{0}}},{\theta _{\text{h}}},\beta ',{\varphi _{\text{t}}}{\text{)}} $ 作为目标函数，通过MATLAB序列二次规划算法优化计算（唐高朋等，2013），约束条件如式（33）所示，求出地震拟静力效应下三级台阶边坡安全系数FS的最优解。$$ \left\{\begin{aligned} &0 < {\theta }_{01} < {\theta }_{{\mathrm{h1}}} < \text{π}\\ &0 < {r}_{01} < \infty ,0 < L < \infty \\ &{W}_{{\mathrm{s}}}+{W}_{\text{s-v}}+{W}_{\text{s-h}}={{W}}_{\mathrm{int}}\\ &L=g({\theta }_{01},{\theta }_{{\mathrm{h}}1},{r}_{0})\\ &{\alpha }_{1}+{\alpha }_{2}+{\alpha }_{3}=1\end{aligned}\right. $$ (33) 3. 对比验证
3.1 基于线性破坏准则三级边坡稳定性对比分析
令非线性系数m=1，计算等效线性Mohr-Coulomb破坏准则下边坡安全系数，并与已有典型算例计算结果进行对比，结果如表1所示。由表1可知，在2种工况下，本文方法计算得到边坡安全系数上限解FS与邓东平（2010）计算结果相比分别减小了7.75%和4.13%，与高连生等（2014）计算结果相比分别减小了1.61%和1.54%，且与已有解答的计算结果较接近。为进一步验证本文理论与编程的正确性，根据计算结果绘制的边坡滑动面位置对比如图4、图5所示，相同工况下，边坡拟滑动面随计算方法的不同略有变化，这也与各方法边坡安全系数计算值相吻合，说明采用本文方法计算得到边坡安全系数与拟滑动面较为准确。
表 1 边坡安全系数计算结果与典型算例结果对比Table 1. Comparison of safety factors between this study and other typical computation example solution算例 黏聚力c
/kPa内摩
擦角φ
/（°）重度γ
/（kN·m−3）坡高比
α1、α2、α3坡角
β1、β2、β3
/（°）边坡
高度H
/m边坡安全系数FS 邓东平等（2010） 高连生等（2014） 本文研究 1 28 25 18.5 1/3、1/3、1/3 45、45、45 12 2.212（Bishop法）
2.197（单一任意曲线法）2.071 9 2.039 2.210（折线法）
2.220（Janbu法）2 36 25 18 2/7、3/7、2/7 30、45、60 14 2.236（Bishop法）
2.221（单一任意曲线法）2.165 8 2.133 2.248（Janbu法）
2.223（折线法）3.2 基于非线性破坏准则三级边坡稳定性对比分析
令kh=kv=0，依据Zhang等（1987）研究确定岩土材料参数c0=90 kN/m2，σt=247.3 kN/m2，计算该条件下的边坡稳定性系数NS，令式（32）中FS=l，得到边坡稳定性系数NS=γHcr /c0的计算方程。将本文得到的最优解与Zhang等（1987）、李得建等（2015）的计算结果进行对比，结果如表2所示，表中β=β1=β2=β3。由表2可知，当非线性系数m一定时，边坡稳定系数NS随着坡角β的增大而减小；当坡角β一定时，边坡稳定系数NS随着非线性系数m的增大明显降低。当β=75°、m=2.0时，本文方法计算NS减小百分比达到最大值1.96%，可见非线性条件下本文计算结果同样较为准确。目前岩土边坡稳定性分析中一直广泛使用线性Mohr-Coulomb强度准则，然而大量已有研究表明，几乎所有的岩土材料具有非线性破坏准则性质，采用非线性指标进行分析更能真实反映岩土体安全状态。本文根据极限分析上限理论，对多级边坡稳定性进行非线性能耗分析，获取真实抗剪强度指标，准确计算外力条件做功，揭示了多级边坡发生失稳破坏规律，明确了真实非线性强度准则条件下多级边坡破坏模式和破坏范围，以便为实际工程加固设计提供参考。
表 2 非线性破坏准则下边坡稳定性系数NS计算结果与典型算例对比Table 2. Comparison of slope stability coefficient NS from computation example under nonlinear failure criterion in this study with other typical computation example solution坡角β/(°) 非线性系数m Zhang等（1987） 李得建等（2015） 本文研究 减小百分比/% 75 1.2 6.77 6.79 6.82 0.74 1.4 6.33 6.36 6.39 0.95 1.6 6.04 6.07 6.11 1.16 1.8 5.82 5.86 5.91 1.55 2.0 5.60 5.70 5.71 1.96 60 1.2 8.95 8.98 9.01 0.67 1.4 8.13 8.18 8.19 0.74 1.6 7.61 7.65 7.68 0.92 1.8 7.24 7.29 7.32 1.10 2.0 6.97 7.02 7.07 1.43 45 1.2 12.55 12.61 12.67 0.96 1.4 10.82 10.87 10.93 1.02 1.6 9.70 9.84 9.82 1.24 1.8 9.10 9.17 9.24 1.54 2.0 8.78 8.69 8.95 1.94 4. 工程实例参数分析
江西遂川至大余高速公路改扩建工程位于赣中南中低山丘陵区，沿线地形呈波状起伏，变化较大，各地层岩性软硬不均，差异性风化明显，黏聚性差。如图6所示，某拟建边坡为多级边坡，根据地质勘察资料和室内试验，该边坡坡体材料服从非线性Mohr-Coulomb破坏准则，部分岩土计算参数如下：边坡总高度H=12 m，土层参数γ=18.5 kN/m3，c=22 kPa，φ=25°，针对该工程实例，分析地震拟静力效应下各因素对多级边坡稳定性及安全系数的影响。
图 6 江西省遂大高速公路拟建多级边坡示意图Figure 6. Fig. 6 Schematic photo of the proposed multi-step slope for the Suiding expressway in Jiangxi province4.1
${\boldsymbol{m}} $ 对FS的影响以上述工程实例边坡为研究对象，不考虑其他简单因素对边坡的影响，令λ=0.5，β1=β2=β3=45°，d1=d2=4 m，α1=α2=α3=1/3，计算m分别为1.0、1.5、2.0、2.5时的FS。边坡安全系数FS与水平地震系数kh的函数关系如图7所示，由图7可知，随着kh的增大，FS显著减小，边坡越容易失稳；当kh一定时，m由1.0变化到2.5，FS减小幅度由41.86%变化到49.05%，说明m的增加对多级边坡在地震效应下的稳定性有一定影响；当m=1.0，kh由0变化到0.3时，边坡安全系数减小1.19，而当m=2.5时，边坡安全系数减小0.81，说明线性破坏准则将高估地震效应对边坡稳定性的影响，因此采用非线性破坏准则并参考工程实际土体参数情况，本文取m=1.4进行计算。
4.2 λ对FS的影响
以上述工程实例边坡为研究对象，其余土体基本参数同上。λ分别为−1.0、−0.5、0、0.5、1.0时，FS随水平地震系数kh的变化关系如图8所示。由图8可知，随着kh的增大，FS显著减小，最大降幅达54.51%，边坡极易失稳；当kh=0.1时，λ由−1.0增至1.0，即竖向地震效应逐渐增大，此时FS减小约10.11%；当kh=0.3时，FS减小约27.99%，说明λ越大，即竖向地震效应越大，对边坡稳定性具有影响，且在地震效应较大的情况下表现更明显。因此，开展多级边坡工程设计时，水平地震效应和竖向地震效应的影响均不可忽视。
图 8 不同λ取值下FS变化曲线Figure 8. The variation of safety factor FS with different values of λ4.3 β1、β2、β3对FS的影响
以上述工程实例边坡为研究对象，其余土体基本参数同上。β1、β2、β3取值为15°～90°时，FS随β1、β2、β3的变化曲线分别如图9～图11所示。由图可知，随水平地震效应系数kh及坡角β的增大，边坡安全系数FS显著减小，边坡逐渐失稳；当kh由0增加到0.1，β1、β2、β3由15°变化至30°时，FS降幅最大，分别为9.81%、14.95%、9.83%，在施工过程中应尽量将坡角范围控制在15°以内；当kh=0.3时，FS始终＜1，因此在强震作用下坡角等参数不易对边坡稳定性变化产生显著影响。
图 9 不同β1取值下FS随kh变化曲线Figure 9. The variation of FS with horizontal seismic coefficient kh for different values of β1
图 10 不同β2取值下FS随kh变化曲线Figure 10. The variation of FS with horizontal seismic coefficient kh for different values of β2控制水平地震效应系数kh不变，FS随β1、β3的变化曲线如图12所示。由图12可知，当β1=15°，β3由15°增至75°时，FS逐渐降低，降幅为7.51%，当β1=75°时，降幅变为15.28%；当β3=15°，β1由15°增至75°时，FS也逐渐降低，降幅为4.42%，当β3=75°时，降幅变为12.45%。综上所述，多级边坡坡底倾角β3对边坡稳定性的影响更为显著；同时，坡角由15°变化到30°时，FS减小幅度最大。
图 11 不同β3取值下FS随kh变化曲线Figure 11. The variation of FS with horizontal seismic coefficient kh for different values of β3
图 12 不同β1和β3取值下FS变化曲线Figure 12. The variation of safety factor FS with seismic effect for different values of β1 and β34.4 d1、d2对FS的影响
采用上述工程实例边坡为研究对象，其余土体基本参数同上。边坡台阶宽度d1=d2，取值分别为1、2、3、4 m时，FS随kh的变化曲线如图13所示。由图13可知，随着水平地震系数kh的增大，边坡安全系数FS显著减小；随着边坡台阶宽度d1、d2的增大，边坡安全系数FS有所增大，说明合理增加边坡台阶宽度有利于提高边坡抗震能力。
图 13 不同台阶宽度下FS变化曲线Figure 13. The variation of safety factor FS under different step widths5. 结论
以极限分析上限定理和地震拟静力分析方法为理论基础，结合非线性Mohr-Coulomb破坏准则，推导三级边坡安全系数计算方程，研究分析地震效应下不同因素对边坡稳定性的影响，可得如下结论：
（1） 与已有算例对比说明,极限分析上限法能够有效应用于地震效应下的多级边坡稳定性分析；线性条件下边坡安全系数上限解与已有算例相比最大相差4.1%，在非线性条件下最大相差1.96%。
（2）非线性系数m显著影响边坡稳定性，边坡安全系数FS随非线性系数m的增加而降低，其中非线性系数m越小，其对边坡安全系数的影响越显著；采用线性Mohr-Coulomb破坏准则会高估岩土体屈服时的最大主应力，计算得到的边坡安全系数偏大，因此地震效应对边坡稳定性的影响在非线性条件下更符合实际情况。
（3）地震效应对边坡稳定性有显著影响，随着kh和λ的逐渐增大，FS快速减小；同时，竖向地震效应对边坡稳定性也有一定影响，且在地震效应较大的情况下影响更大。因此，开展多级边坡工程设计时，水平地震效应和竖向地震效应的影响均不可忽视。
（4）边坡安全系数FS随着多级边坡坡角β1、β2、β3的增加而降低，地震效应在各级倾角越大的情况下影响越显著；边坡台阶宽度越大，边坡安全系数FS越大，说明合理增大台阶宽度及放缓边坡倾角有利于提高边坡抗震能力。
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图 1 非线性Mohr-Coulomb破坏强度准则示意
Figure 1. Diagram of a nonlinear Mohr-Coulomb failure criterion
图 2 地震拟静力分析法在边坡中的作用力示意
Figure 2. Schematic diagram of the force at slope by seismic quasi-static analysis
图 3 三级台阶边坡对数螺旋线破坏计算简图
Figure 3. Simplified diagram of log spiral failure of three-step slope
图 6 江西省遂大高速公路拟建多级边坡示意图
Figure 6. Fig. 6 Schematic photo of the proposed multi-step slope for the Suiding expressway in Jiangxi province
图 8 不同λ取值下FS变化曲线
Figure 8. The variation of safety factor FS with different values of λ
图 9 不同β1取值下FS随kh变化曲线
Figure 9. The variation of FS with horizontal seismic coefficient kh for different values of β1
图 10 不同β2取值下FS随kh变化曲线
Figure 10. The variation of FS with horizontal seismic coefficient kh for different values of β2
图 11 不同β3取值下FS随kh变化曲线
Figure 11. The variation of FS with horizontal seismic coefficient kh for different values of β3
图 12 不同β1和β3取值下FS变化曲线
Figure 12. The variation of safety factor FS with seismic effect for different values of β1 and β3
图 13 不同台阶宽度下FS变化曲线
Figure 13. The variation of safety factor FS under different step widths
表 1 边坡安全系数计算结果与典型算例结果对比
Table 1. Comparison of safety factors between this study and other typical computation example solution
算例 黏聚力c
/kPa内摩
擦角φ
/（°）重度γ
/（kN·m−3）坡高比
α1、α2、α3坡角
β1、β2、β3
/（°）边坡
高度H
/m边坡安全系数FS 邓东平等（2010） 高连生等（2014） 本文研究 1 28 25 18.5 1/3、1/3、1/3 45、45、45 12 2.212（Bishop法）
2.197（单一任意曲线法）2.071 9 2.039 2.210（折线法）
2.220（Janbu法）2 36 25 18 2/7、3/7、2/7 30、45、60 14 2.236（Bishop法）
2.221（单一任意曲线法）2.165 8 2.133 2.248（Janbu法）
2.223（折线法）
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表 2 非线性破坏准则下边坡稳定性系数NS计算结果与典型算例对比
Table 2. Comparison of slope stability coefficient NS from computation example under nonlinear failure criterion in this study with other typical computation example solution
坡角β/(°) 非线性系数m Zhang等（1987） 李得建等（2015） 本文研究 减小百分比/% 75 1.2 6.77 6.79 6.82 0.74 1.4 6.33 6.36 6.39 0.95 1.6 6.04 6.07 6.11 1.16 1.8 5.82 5.86 5.91 1.55 2.0 5.60 5.70 5.71 1.96 60 1.2 8.95 8.98 9.01 0.67 1.4 8.13 8.18 8.19 0.74 1.6 7.61 7.65 7.68 0.92 1.8 7.24 7.29 7.32 1.10 2.0 6.97 7.02 7.07 1.43 45 1.2 12.55 12.61 12.67 0.96 1.4 10.82 10.87 10.93 1.02 1.6 9.70 9.84 9.82 1.24 1.8 9.10 9.17 9.24 1.54 2.0 8.78 8.69 8.95 1.94
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引言
1. 基本原理和基本假设
1.1 非线性破坏准则
1.2 地震拟静力分析方法
1.3 基本假设
2. 边坡安全系数计算方程推导
2.1 边坡计算模型和几何要素
2.2 边坡安全系数的推导
2.3 内部能耗计算
2.4 边坡安全系数表达式
3. 对比验证
3.1 基于线性破坏准则三级边坡稳定性对比分析
3.2 基于非线性破坏准则三级边坡稳定性对比分析
4. 工程实例参数分析
4.1
${\boldsymbol{m}} $ 对FS的影响4.2 λ对FS的影响
4.3 β1、β2、β3对FS的影响
4.4 d1、d2对FS的影响
5. 结论
