引言

诸多强震观测和震害调查表明，局部地形对地震作用有着显著的影响，会导致震害分布区域化。例如，1985年墨西哥地震，松软盆地效应使距震中400多公里处的墨西哥城地表地震动放大6倍多，持时长达180 s（Anderson等，1986）；2008年汶川地震，自贡山体顶部台站测得的放大系数与山脚处有明显差异，同频率下前者最高可达后者的5倍（王海云等，2010）；2014年芦山地震，位于龙门河床中心位置处的村庄出现大面积房屋倒塌，而河床边缘处的房屋基本未丧失使用功能（齐文浩等，2013）。因此，精确高效评估局部地形效应是学术界和工程界亟待解决的问题。

局部场地效应计算方法包括解析法和数值方法。解析法物理意义明确，且可用于验证数值方法的精度，但由于半空间波动问题解析求解的复杂性，目前解析法多限于均匀半空间中简单形状地形对SH波的响应。对于更加复杂的情况，需依赖有限差分、有限元、谱元、边界元等数值方法求解。笔者近年来建立了基于层状半空间均布荷载动力格林函数的间接边界元法（IBEM），用于求解层状半空间中局部地形对地震动的散射问题，经验证该方法不仅精度高，同时对复杂边界有着很强的适应性。对于二维问题，相应地求解了凹陷地形、凸起地形和沉积地形对平面SH波、P波和SV波的散射（梁建文等，2005，2007，2008；尤红兵等，2006，2008，2009；Ba等，2011，2016；巴振宁等，2011a，2011b，2017a，2017b，2018a，2018b，2020；张季等，2016）。

鉴于此类问题的研究结果多限于均匀半空间情况，层状半空间研究结果较少。因此，本文对前期研究的二维层状半空间相关结果进行了梳理与补充，以期与其他数值解相互比较验证。文中给出了不同频率和角度的平面SH波、P波和SV波入射时基岩上单一土层中凹陷、凸起、沉积地形附近的地表位移幅值。

1.   研究方法

本文利用IBEM求解地震波作用下二维局部地形响应。首先将总波场分解为自由波场和散射波场。自由波场定义为无局部地形存在的层状半无限空间在SH波、P波和SV波入射下的动力响应，由直接刚度法求解（基于层状半空间精确动力刚度矩阵）（Wolf，1985）；散射波场定义为由于局部地形产生的附加波场，基于惠更斯原理和单层位势理论，采用均布斜线荷载动力格林函数模拟。方法正确性在前期研究中已得到广泛验证，此文不作讨论。详细方法介绍可参考梁建文等（2007）、巴振宁等（2011a）的研究成果。

2.   模型及参数

本文模型选取最简单的层状半空间（基岩半空间和单一土层组成）中单一凹陷、凸起及沉积地形，入射波为平面SH波、P波和SV波。

凹陷地形选取半圆、三角和梯形这样的规则几何形状，模型及几何参数如图1所示，其中，a为局部地形半宽，H为土层厚度，θ_V为入射波与x轴方向夹角。层状半空间介质由以下材料参数确定：基岩质量密度ρ^R、土层质量密度ρ^L、基岩剪切波速$c_{\mathrm{S}}^{\mathrm{R}} $、土层剪切波速$c_{\mathrm{S}}^{\mathrm{L}} $、基岩阻尼比ζ ^R、土层阻尼比ζ ^L、基岩泊松比μ^R及土层泊松比μ^L。入射波圆频率为ω，入射波幅值为A。定义无量纲频率η=ωa/π$c_{\mathrm{S}}^{\mathrm{L}} $。

图 1  基岩上单一土层中不同形状的凹陷地形模型

Figure 1.  Models of canyons with different shapes embedded in a single layer overlaying on bedrock

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凸起地形相关几何参数和半空间材料参数与凹陷地形相同，模型如图2所示。凸起域材料参数如下：质量密度ρ^H、剪切波速$c_{\mathrm{S}}^{\mathrm{H}} $及阻尼比ζ ^H。此外，需要指明的是，凸起域材料参数与土层参数一致，即质量密度ρ^H=ρ^L、剪切波速$c_{\mathrm{S}}^{\mathrm{H}} $=$c_{\mathrm{S}}^{\mathrm{L}} $、阻尼比ζ ^H=ζ ^L。

图 2  基岩上单一土层中不同形状的凸起地形模型

Figure 2.  Models of hills with different shapes embedded in a single layer overlaying on bedrock

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沉积地形相关几何参数和半空间材料参数与凹陷地形相同，模型如图3所示。沉积域材料参数如下：质量密度ρ^V、剪切波速$c_{\mathrm{S}}^{\mathrm{V}} $及阻尼比ζ ^V。

图 3  基岩上单一土层中不同形状的沉积地形模型

Figure 3.  Models of alluvial basins with different shapes embedded in a single layer overlaying on bedrock

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后续计算参数取值如下：土层厚度与地形半宽的比值H/a=1.0，基岩与土层的剪切波速比$c_{\mathrm{S}}^{\mathrm{R}} $/$c_{\mathrm{S}}^{\mathrm{L}} $=5.0、质量密度比ρ^R/ρ^L=1.0，凸起域与土层的剪切波速比$c_{\mathrm{S}}^{\mathrm{H}} $/$c_{\mathrm{S}}^{\mathrm{L}} $=1.0、质量密度比ρ^H/ρ^L=1.0，沉积域与土层的剪切波速比$c_{\mathrm{S}}^{\mathrm{V}} $/$c_{\mathrm{S}}^{\mathrm{L}} $=0.5、质量密度比ρ^V/ρ^L=1.0，基岩阻尼比ζ ^R=0.02，局部地形阻尼比ζ ^L=ζ ^H=ζ ^V=0.05，基岩及土层泊松比μ^R=μ^L=μ=1/3。

3.   数值结果

针对前文模型及参数给出数值结果，其中，半圆形沉积对平面SH波、P波和SV波的散射结果（梁建文等，2007；Ba等，2011；巴振宁等，2011a）及半圆形凸起对平面SH波的散射结果（梁建文等，2008）为前期研究成果，其余为本文补充结果。值得指出的是，二维情况下，SH波入射仅引起平面外（即y方向）的位移，P波、SV波入射会引起平面内（即x、z方向）的位移。令u、v和w分别代表x、y和z方向上的位移，入射波幅值分别以A_SH、A_P和A_SV表示，本文结果中采用归一化位移幅值|v/A_SH|、|u/A_P|、|w/A_P|、|u/A_SV|和|w/A_SV|衡量地震波入射时的地表响应。

3.1   凹陷地形对地震波的散射结果

凹陷地形对SH波、P波、SV波的散射结果分别如图4、图5、图6所示，其中，入射波无量纲频率分别取η=0.5、1.0和2.0，入射角度分别取θ_V=30°、60°和90°。

图 4  SH波入射时不同形状凹陷地形的地表位移幅值

Figure 4.  The surface-displacement amplitudes of canyons with different shapes for SH waves

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图 5  P波入射时不同形状凹陷地形的地表位移幅值

Figure 5.  The surface-displacement amplitudes of canyons with different shapes for P waves

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图 6  SV波入射时不同形状凹陷地形的地表位移幅值

Figure 6.  The surface-displacement amplitudes of canyons with different shapes for SV waves

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3.2   凸起地形对地震波的散射结果

凸起地形对SH波、P波、SV波的散射结果分别如图7、图8、图9所示，入射波频率、角度取值同凹陷地形情况一致。

图 7  SH波入射时不同形状凸起地形的地表位移幅值

Figure 7.  The surface-displacement amplitudes of hills with different shapes for SH waves

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图 8  P波入射时不同形状凸起地形的地表位移幅值

Figure 8.  The surface-displacement amplitudes of hills with different shapes for P waves

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图 9  SV波入射时不同形状凸起地形的地表位移幅值

Figure 9.  The surface-displacement amplitudes of hills with different shapes for SV waves

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3.3   沉积地形对地震波的散射结果

沉积地形对SH波、P波、SV波的散射结果分别如图10、图11、图12所示，入射波频率、角度取值同凹陷地形情况一致。

图 10  SH波入射时不同形状沉积地形的地表位移幅值

Figure 10.  The surface-displacement amplitudes of alluvial basins with different shapes for SH waves

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图 11  P波入射时不同形状沉积地形的地表位移幅值

Figure 11.  The surface-displacement amplitudes of alluvial basins with different shapes for P waves

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图 12  SV波入射时不同形状沉积地形的地表位移幅值

Figure 12.  The surface-displacement amplitudes of alluvial basins with different shapes for SV waves

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4.   结论

基于此前提出的IBEM，在波形、地形及几何形状方面对前期研究结果进行了进一步整理与补充，给出了多种工况下局部地形对地震波散射的二维频域解答，得到如下结论：

（1）局部地形对地表位移响应有较大影响，会改变其大小与分布，因此在实际工程中应考虑局部地形效应。

（2）入射波频率和角度对地表位移影响明显，频率越高，地表位移分布越复杂。

（3）地形几何形状的改变主要影响地表位移响应的空间分布，对其大小影响较小。

本文结果丰富了该问题层状半空间情况下的理论解答，可为其他数值方法提供对比验证，后续将对其余维度（2.5维和三维）进行研究。