引言

斜拉桥一种将主梁通过多根拉索直接锚固在桥塔上的桥梁结构，其主要结构体系包括：漂浮体系、半漂浮体系、塔梁固结体系和刚构体系。其中漂浮体系的特征具体表现为塔、墩固结，主梁与桥塔交汇处不设置支座，边墩仅设置滑动支座，斜拉索呈辐射或扇形分布。相较于普通梁式桥，斜拉桥具有跨度大、构件数量多等特点。因此，在进行动力响应分析时，通常需要构建包含大量单元的复杂有限元模型，不仅耗时而且耗力。然而，对于部分研究人员而言，有时只需要进行初步的估算或定性分析，此时建立大型有限元模型进行计算会显得过于费时费力，且对研究者的技术能力要求较高。为解决这一问题，可以采用简化模型快速估算斜拉桥的动力响应。该模型在保证一定准确性的前提下，能够显著减少计算时间和建模工作量。同时，也便于进行阻尼器优化和理论分析等。

根据现有研究，全漂浮体系斜拉桥的主要振型是主梁纵漂振型（李国豪，1992）。该振型的特点是主梁在水平纵向上产生微弱的反对称弯曲刚体运动，同时桥塔向一侧弯曲振动。这种动力特性使得建立漂浮体系斜拉桥的简化计算模型变得相对简单。众多研究者已经提出了用于计算斜拉桥一阶纵漂响应的动力简化模型。例如，项海帆等（1985）提出将斜拉桥桥面系质量集中在塔顶的单质点振子模型，用于近似计算全桥一阶模态周期和基底弯矩。该方法仅适用于拉索在桥塔上分散布置的情况。Iemura等（2002）使用了一组无质量杆和一个集中质量块来简化漂浮体系斜拉桥结构。Li等（2011）基于该简化模型研究了新型负刚度阻尼器对主梁位移及塔底弯矩的影响，并推导了阻尼最优化显式解，同时利用OpenSees有限元程序进行了对比计算，证明该模型可以较好地反应主梁纵漂响应。颜海泉等（2007）研究了不同塔底约束条件下的斜拉桥单塔简化模型，并探讨了主梁凝聚质点的放置位置对估算误差的影响。该单塔模型对地震反应预测的典型误差在10%内，但忽略了斜拉索的连接作用，当桥塔抗推刚度与主梁平移刚度有较大差异时可能出现较大误差。杨怀宇等（2015）提出弹簧振子与单摆组合的简化模型以及二自由度弹簧振子模型。该模型普适性较好，可较准确反应结构一阶模态周期和时程响应。但其仅仅使用一个质点模拟桥塔质量，在反应加装黏滞阻尼器后的耗能体系时存在局限性。张文学等（2016，2017）根据斜拉桥纵向水平地震惯性力传递路径，提出了斜拉桥反向双质量简化动力模型，并使用10座已建斜拉桥的有限元模型验证了模态周期，二者计算结果吻合良好。尽管该模型可用于斜拉桥一阶周期的近似计算，但其研究并未涉及该模型在估算斜拉桥动力响应方面的运用，在实用性方面存在一定缺陷。徐艳等（2018，2019）将桥塔上、下部单独进行质量凝聚，提出了三质点模型简化模型并研究了其在近断层脉冲地震激励下的特性。该模型可以较好地反应地震作用下塔底弯矩和主梁位移时程，也适用于塔梁间加装黏滞阻尼器的情况，但难以模拟不等高斜拉桥，且在斜拉索刚度取值方面未进行详细探讨。当斜拉索锚固区较宽时，该模型可能会出现较大误差。Zhang等（2022）基于此简化模型研究了新型惯容式阻尼器对斜拉桥结构的影响，并利用智能算法给出了局部最优值。

可见，全漂浮体系斜拉桥的简化计算思路主要是将结构离散化，并使用梁柱单元来模拟桥塔。然而，早期的研究忽略了斜拉索和主梁的影响，因此只能用于估算一阶模态周期，无法计算梁端的纵向位移响应。近年来的研究尝试引入了更多的质点，以方便同时计算主梁位移以及塔底弯矩。然而，至今尚未有研究涉及如何同时计算多塔斜拉桥各个桥塔的基底弯矩。此外，早期研究往往忽略了内侧斜拉索的传力作用，也对计算结果造成了一定程度的影响。

本文在已有研究成果的基础上，提出了一种适用于对称不等高多塔斜拉桥的简化计算模型。相较于徐艳等（2018，2019）提出的三质点简化模型，本文引入了用于模拟边塔的梁柱单元，以增强其普适性。新模型能够同时估算全漂浮体系斜拉桥的一阶模态、梁端时程位移响应、主塔及边塔塔底弯矩响应，并能模拟塔梁间加装阻尼器后的结构响应。此外，新模型将斜拉索的整个锚固区的连接视为单点连接，而不是仅考虑边索传力。这有助于提高对称不等高斜拉桥在地震作用下的结构响应估算的准确性。

1.   全漂浮体系斜拉桥简化流程

本研究以某地预应力混凝土三塔斜拉桥为例阐述简化方法，全漂浮体系结构如图1所示。其跨径为84 m+300 m+300 m+84 m。中塔高125.3 m，两边塔构造相同，高75.8 m。斜拉索对称分布于桥塔两侧，合200根。

图 1  某斜拉桥示意图

Figure 1.  Illustration diagram for cable-stayed bridge

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1.1   桥塔结构的简化

在分析该斜拉桥的结构体系时，我们可以将其简要看作是由桥塔、拉索和主梁共同承担受力的体系。在实际结构中，质量是连续分布的，但可以理想化等效为集中在离散结构节点处的质点，这种质量的等效通常是可接受的（Chopra，1995）。基于这个原理，我们可以使用少数几个质点来模拟复杂的结构，从而简化计算过程。

将单个桥塔抽象为符合结构力学原理的悬臂梁构件，并通过等效模态法确定等效质量，以确保其在动力作用下的反应与真实结构近。等效模态法的基本原理是在一阶模态下，多质点模型的基底弯矩和剪力对基底内力的贡献应与单质点模型产生的相应基底内力等效（徐艳等，2019）。基于该原理，对桥塔进行一阶纵漂模态下的简化，如图2所示，将主梁下方和上方的桥塔部分凝聚为两个串联的质点体系，凝聚后质点的质量M_j和其高度H_j表达式如下：

图 2  桥塔等效示意图

Figure 2.  Schematics diagram of simplified model for towers

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式中，ϕ_i1为斜拉桥一阶纵漂模态下的纵桥向模态位移函数；m_i为桥塔竖直方向的质量分布函数；h_i为桥塔质量函数对应的质点高程函数。

图中L₁与L₂分别为主梁上、下侧桥塔高度，M₁与M₂为等效后的两质点质量。质量等效凝聚以后，桥塔高度出现了缩减。M₁与M₂产生的惯性力对基底弯矩相等，为修正桥塔高度，将M₁提升至塔梁交汇处，M₂提升至斜拉索等效锚固点H_a处，得到最终等效质量m₁与m₂，如式（2）所示。

简化后的桥塔刚度系数矩阵可利用有限元模型静力推覆，按照柔度法求得；也可按照结构力学方法显式求解，如式（3）所示。

式中，$ {{EI}} $表示桥塔截面抗弯刚度；k_ij表示j点无位移时，i点发生单位位移，j点所受反力。要注意的是，上式成立的前提是假设桥塔为等截面。若要简化变截面桥塔，可粗略取桥塔中截面等效替代，再代入表达式计算。

1.2   锚索结构的简化

假定拉索构件符合胡克定律，则单侧拉索刚度可正交分解为水平向和竖直向的刚度。因拉索竖向刚度带来的主梁局部转动对斜拉桥的一阶纵漂几乎没有影响（杨怀宇等，2015），可认为其水平方向刚度为影响纵漂模态的主要变量。由于斜拉索具有只承拉不承压的特性，可以近似认为在纵漂模态振动下，两侧拉索交互受力，即同一时间下只存在一侧拉索受拉。故单桥塔两侧拉索可用单个弹簧元件近似等效，其抗拉压刚度由对应的单侧斜拉索性质确定。等效前后斜拉索的纵桥向分力对塔底的弯矩作用应保持不变。基于该原理将单侧索面的斜拉索等效为单根弹簧，如图3所示。等效锚固点高度与等效弹簧刚度可分别按照式（4）和式（5）计算。

图 3  等效锚固点计算示意图

Figure 3.  Schematic diagram for equivalent anchorage point

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式中，$ {{H}}_{{{\mathrm{a}}}} $表示单桥塔单侧斜拉索等效锚固点竖直坐标；$ {{k}}_{{{\mathrm{c}}}} $表示等效后弹簧的刚度；$ {p} $表示单个桥塔上的单侧斜拉索数量；$ {{k}}_{{j}} $表示纵漂模态下第$ j $根斜拉索刚度；$ {{\theta }}_{{j}} $表示第$ j $根斜拉索与水平面的夹角；$ {{h}}_{{j}} $表示第$ {j} $根斜拉索的竖直方向坐标；$ {{m}}_{{{\mathrm{d}}}} $为刚性梁质量。

上述方法并不仅针对单塔斜拉桥适用。对于多塔斜拉桥，若各桥塔构造相同，则将对应质量及刚度相加，等效为单一简化悬臂梁即可。若存在中塔与边塔构造不一致的情况，则需要单独对各桥塔按照上述方法简化。

1.3   斜拉桥简化模型构件集成

在主梁纵漂模态下，主梁的纵向平移是主要的振动形式，而弯曲振动幅度相对较小。因此，可以忽略主梁的弯曲变形，将其近似为刚性结构进行计算。在此基础上，将简化后的主塔及边塔串联起来，用于模拟斜拉索的弹簧，并与假定刚性的主梁进行连接。由于是对称结构，两边的塔结构完全相同，因此可以按照并联的原则将它们的参数进行相加，从而用一个悬臂梁来代替它们。简化后的五质点模型如图4所示。

图 4  五质点简化模型

Figure 4.  Five-mass simplified model

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图4中，m₁为主梁刚性假设后凝聚成的质量；k_m与k_s分别为主塔与两边塔锚固的拉索等效后的弹簧刚度；k_ij表示桥塔简化为悬臂梁后的刚度系数。根据达朗贝尔原理可以得到该系统在基底纵向加速度激励下的动力方程（式（6）～式（9））。

在上述方程中，M、C和K分别代表系统的质量、阻尼和刚度矩阵，均为描述系统动力学行为的常数矩阵。阻尼矩阵C可以通过瑞利阻尼假设来表示，即假设阻尼矩阵C是由质量矩阵M和刚度矩阵K的线性组合得到的。$ \ddot{\boldsymbol{U}} $、$ \dot{\boldsymbol{U}} $、U分别表示系统的加速度、速度和位移向量。这些向量描述了结构在时程上的响应。结构的时程响应可以通过使用Newmark-β等数值方法计算得到。结构的一阶模态频率可以通过求解特征值方程得到，如式（10）。特征值方程描述了结构的固有振动频率和模态特性。

2.   简化模型对比验证

基于前述方法，对84 m+300 m+300 m+84 m预应力混凝土三塔斜拉桥进行动力简化。首先按照式（1）和式（2）对各桥塔进行基于等效模态法的质量确定，得到m₁=23265.3 t，m₂=4916.4 t，m₃=1877.8 t，m₄=4228.0 t。主梁质量则等效为m₅=1685.9 t的单质点。依据式（3）确定各桥塔等效后的刚度系数k₂₂=25053.9 kN/m，k₂₃=k₃₂=−109221.9 kN/m，k₃₃=1036121.2 kN/m，k₄₄=14605779 kN/m，k₄₅=k₅₄=−63673.8 kN/m，k₅₅=473041.2 kN/m。对于斜拉索，按照式（4）确定斜拉索的等效锚固点，按照式（5）确定主塔与边塔斜拉索的等效刚度$ {{k}}_{{{\mathrm{m}}}}\text{= 6.62×}{\text{10}}^{\text{7}}\text{ kN/m} $，$ {{k}}_{{{\mathrm{s}}}}\text{= 4.98×}{\text{10}}^{\text{7}}\text{ kN/m} $。最后将各等效后的构件集成为如图4所示的五质点简化模型。

为验证简化模型的准确性，使用开源分析程序OpenSees建立有限元模型，包含1455个单元，如图5所示。在此模型中，单根斜拉索由直径为7 mm的高强度钢丝束构成，其余结构均采用钢筋混凝土构件。使用带有纤维截面的“nonlinearBeamColumn”单元模拟主梁、桥塔及横梁，斜拉索则使用“truss”单元模拟。在材料方面，C50混凝土使用Kent-Scott-Park本构模型（“Concrete 01”本构），钢材使用双折线本构模型（“Steel 01”本构）进行建模。对于斜拉索，其轴向抗拉承载力较高，加载至断裂前均无明显的屈服阶段，因此使用弹塑性本构模型，其弹性模量和极限强度分别设定为200 GPa与1800 MPa。

图 5  斜拉桥有限元模型

Figure 5.  Finite element model of cable-stayed bridge

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对该有限元模型进行模态分析，前5阶振型如表1所示，可以看出，该漂浮体系斜拉桥的一阶振型为主梁纵漂，与上述简化模型计算目标一致。经过计算，有限元模型的一阶纵漂模态对应的周期为7.41 s，而采用简化模型的式（10）计算得到的一阶周期为6.98 s，相对误差为5.80%。

表 1  斜拉桥有限元模型模态分析结果

Table 1.  Results of modal analysis of cable-stayed bridge

模态阶数	振型描述	模态圆频率/(rad·s−1)	模态周期/s
1	主梁纵漂，伴随轻微反对称竖弯	0.85	7.41
2	主梁对称竖弯	0.99	6.29
3	中塔和两边塔两侧同向横弯	1.07	5.87
4	中塔和两边两侧反向横弯	1.64	3.84
5	中塔两侧同向纵弯，两边塔横弯	1.97	3.18

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2.1   全漂浮体系对比验证

选择Mexico和El Centro地震波作为输入激励，2条地震波的峰值加速度分别为0.171 g和0.247 g。破坏力相对较小的地震可以使结构在激励时基本处于弹性阶段，以符合本文所提出简化模型的线弹性假设。图6给出了阻尼比取0.05时2条地震动的加速度反应谱。不难发现2条反应谱峰值相差无几，其中El Centro波短周期信息占比多，而Mexico波则偏向于长周期段。使用这2条波进行计算验证简化模型的一阶模态周期、梁端位移时程响应和塔底弯矩时程响应，并与使用OpenSees建立的有限元模型进行比较，同时考虑到了高低频成分影响，使结论更具有说服力。

图 6  地震加速度反应谱（阻尼比=0.05）

Figure 6.  Acceleration response spectrum （Damping ratio as 0.05）

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值得注意的是，采用OpenSees模型来计算单条地震波对结构响应的影响，需要花费近7小时，而采用简化模型则只需数秒钟，节约了大量时间，时程响应结果及对比如图7所示。在地震作用下，结构的时程峰值响应是评估结构损伤程度的重要指标。因此，本文对比了2个模型时程响应的峰值，结果如表2所示。

图 7  时程响应计算结果

Figure 7.  Calculation results of time response

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表 2  时程响应的峰值点的误差

Table 2.  Error of the peak point in time response

地震波	梁端位移峰值相对误差	主塔基底弯矩峰值相对误差	边塔基底弯矩峰值相对误差
El Centro地震	16.7%	15.4%	14.3%
Mexico地震	14.8%	11.1%	6.5%

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通过对简化模型与有限元模型的比较，可以发现一阶模态周期的误差非常小，这表明简化模型能够较好地模拟实际结构的纵桥向刚度和质量分布。对比2个地震时程响应的曲线后发现，简化模型的振动频率几乎与有限元模型无异。这一结果既得益于简化模型对一阶模态的精准拟合，也因为全漂浮体系斜拉桥中一阶模态起主导作用，而高阶模态对地震动时程响应的影响较小。然而，在各个峰值点上，简化模型的计算结果相比有限元结果仍存在6%～17%的误差。我们推测产生这种误差可能与斜拉索的受力顺序有关。在实际情况下，主梁纵漂模态时，边索往往会比内侧索更早地受到拉力的影响。但简化模型假设所有斜拉索在主梁纵漂模态下同步变形受力，这可能导致主梁水平刚度稍大于有限元模型，从而在峰值点上存在一些偏小。此外，本文构建的结构阻尼矩阵基于瑞利阻尼假设，尽管系统的高阶模态对瑞利阻尼的影响较小，但仍存在一定影响。

2.2   耗能体系对比验证

斜拉桥具有固有阻尼小、基频较低等特点，对某些地震激励较为敏感（Pang等，2014）。为了避免地震引起的损害造成路网服务能力大幅下降，如何在设计阶段有效对斜拉桥进行振动控制已变得至关重要。目前，基于被动控制理论的减振方法在斜拉桥振动控制中得到了广泛应用（陈晨等，2023）。其中，最常见的方法是在斜拉桥桥塔与主梁交汇处设置黏滞阻尼器。黏滞阻尼器是一种与结构速度响应密切相关的耗能减震装置，可以显著减少地震作用下主梁的位移，改善整个结构的受力情况（王德斌等，2023）。本文提出的简化计算模型能够综合考虑安装黏滞阻尼器的斜拉桥在地震作用下的动力响应。

为简化计算，使用单个线性黏滞阻尼元件模拟黏滞阻尼器，阻尼系数c_d取32000 kN·s/m。如图8所示，阻尼器被加装于主塔与桥面系的交汇处，加装阻尼器后的运动方程除阻尼矩阵外其余均保持不变，阻尼矩阵C如下：

图 8  加装黏滞阻尼器的简化模型

Figure 8.  Simplified model for retrofitting viscous dampers

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同样的，使用前文的Mexico和El Centro地震波作为输入激励，计算简化模型以及OpenSees模型的梁端位移时程及塔底弯矩时程，以验证估算方法的精确性。由于阻尼元件本身并无位移相关刚度，故结构的一阶模态周期同前文未有改变。计算结果及对比如图9所示。同样的，取各时程峰值进行对比并计算相对误差的百分比，如表3所示。

图 9  加装黏滞阻尼器后的时程响应计算结果

Figure 9.  Calculation results of time response with viscous damper

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表 3  加装黏滞阻尼器后时程响应的峰值点的误差

Table 3.  Error of the peak point in time response with viscous damper

地震波	梁端位移峰值相对误差	主塔基底弯矩峰值相对误差	边塔基底弯矩峰值相对误差
El Centro地震	8.9%	19.8%	14.8%
Mexico地震	18.2%	10.1%	13.2%

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在加装黏滞阻尼器后，主梁梁端位移得到了有效控制。同时，由于阻尼器的出力反作用于桥塔，主桥塔塔底弯矩有一定程度的增加。与杨怀宇等（2015）使用单质量振子模拟桥塔相比，本文的模型将塔梁连接处下方部分的桥塔质量凝聚在塔梁等高处，能够直接反映阻尼器两侧的位移差，从而使得计算结果更为精确。通过对比各个响应的时程，可以发现加装粘滞阻尼器后，简化模型的振动频率与有限元模型非常接近。在各个峰值点上，简化模型的计算结果较有限元模型低约8%～20%。这种误差可能与我们在前文提到的原因有关。

3.   结论及展望

本文在已有研究成果的基础上，对斜拉桥边塔的梁柱单元进行了创新性的改进，同时提出了适用于全漂浮体系对称不等高斜拉桥的简化计算模型。

首先，该模型具有同时计算对称多塔斜拉桥的多个动力参数的能力，包括一阶模态、梁端时程位移响应、主塔及边塔塔底弯矩响应，对加装黏滞阻尼器的耗能体系斜拉桥也同样适用，显示出较高的普适性和功能多样性。

此外，通过对比一座三塔斜拉桥的OpenSees有限元模型和本文简化模型的动力分析结果，发现该简化模型可以较好地估算相关结构的一阶模态周期，误差仅约5%。然而，在最大动力响应的估算上仍存在约10%～20%的误差，推测与结构的高阶模态影响有关。对于加装黏滞阻尼器的耗能体系斜拉桥结构，该简化模型也能达到同样的估算精度。

值得注意的是，本文所提出的方法在假设结构为理想线弹性的前提下进行。然而，在某些地震中，真实的桥梁结构可能会进入材料非线性状态，导致刚度退化。在这种情况下，结构的刚度特性将发生变化，导致简化模型的计算结果与结构真实响应出现较大差异。若要避免因结构非线性造成的误差，则应尽量使用强度较小的地震波作为输入，以使结构始终保持在弹性阶段。此外，本文的简化模型也忽略了实际结构的高阶模态带来的影响。使用跨径较小，一阶纵漂模态参数质量较大的斜拉桥结构，可以提高该模型的计算精度。如何在简化模型中加入对非线性阶段及高阶模态的考量，也是值得进一步研究的问题。

致谢 感谢中国地震局工程力学研究所在地震数据方面给予的支持，感谢地震工程与工程振动重点实验室科研人员在论文研究中给予的协助，感谢审稿专家提出的宝贵意见。