Seismic Vulnerability Analysis of Masonry Structures with Uncertain Parameters Based on DOE
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摘要: 砌体结构参数具有离散性高且其受到地震作用后响应结果非线性强等特点，所以在砌体地震易损性研究中结构参数不确定性对结果产生的影响不容忽视。针对汶川地震中具有代表性的砌体结构，提出基于DOE（试验设计）方法考虑在砌体结构地震易损性研究中结构参数不确定性的影响。首先，使用Plackett-Burman方法开展结构参数的灵敏度分析，筛选出对砌体结构地震响应影响较大的3个结构参数；然后，根据筛选结果及地震参数PGA进行试验设计，进而建立结构参数与最大层间位移角的响应面回归模型；最后，通过进行蒙特卡罗模拟获得地震易损性曲线，并进一步评估结构参数不确定性对砌体地震易损性分析的影响程度。研究结果表明，弹性模量、密度和抗拉强度是对砌体结构易损性影响较大的3个参数；当地震动PGA为0.1 g时，相较于其他结构参数，弹性模量对结构地震响应的影响最显著；当PGA为0.2 g时，3个结构参数的影响由大到小依次为弹性模量、密度和抗拉强度，当PGA为0.4 g时，3个结构参数的影响由大到小依次为弹性模量、抗拉强度与密度。本文所提出的方法计算量少、精度高，可为有效解决砌体结构参数种类众多和材料非线性强等难题提供新思路。Abstract: Given the high variability of masonry structural parameters and the strong nonlinearity of the seismic response after earthquake activity, the uncertainty of structural parameters plays a significant role in the seismic vulnerability assessment of masonry structures. This study proposes the use of a Design of Experiments (DOE) method to account for the influence of structural parameter uncertainty, with a focus on masonry structures affected by the Wenchuan earthquake. First, the Plackett-Burman method was employed to perform a sensitivity analysis of structural parameters, identifying the three parameters that most significantly affect the seismic response of masonry structures. Based on these results and the peak ground acceleration (PGA) as the seismic parameter, the DOE was conducted, leading to the development of a response surface regression model between the structural parameters and the maximum inter-story drift angle. Finally, a Monte Carlo simulation was performed to derive the seismic vulnerability curve, further assessing the impact of structural parameter uncertainty on the seismic vulnerability analysis of masonry structures. The results indicate that: (1) the elastic modulus, masonry density, and tensile strength are the three parameters with the greatest impact on the seismic vulnerability of masonry structures; (2) when the local PGA is 0.1g, the elastic modulus has the most significant influence on the seismic response compared to other parameters. At a PGA of 0.2 g, the influence order is elastic modulus, masonry density, and tensile strength, while at a PGA of 0.4 g, the order changes to elastic modulus, masonry tensile strength, and masonry density. The proposed method in this study has low computational complexity and high accuracy, offering an effective approach for addressing the numerous structural parameters and strong material nonlinearity in masonry structures. This approach provides new ideas in improving seismic vulnerability assessments for such structures.
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引言
历史震害表明，我国村镇地区地震灾害严重。砌体结构是广泛应用于村镇房屋的主要结构类型（孙柏涛等，2012）。因此，有必要对村镇砌体结构进行抗震研究。在众多结构抗震性能分析方法中，地震易损性分析方法（张令心等，2018）已成为评估结构抗震性能有效和流行的方法之一，在工程设计和地震风险评估中被广泛研究和应用。
目前对于结构地震易损性分析，多采用增量动力分析方法（Incremental Dynamic Analysis，IDA）（吕大刚等，2019），其结果会受地震动和结构参数不确定性的影响。其中，对于地震动不确定性的影响，可通过选择一定数量的地震动作为地震动输入考虑，而对于结构参数不确定性的影响，由于受计算成本等因素影响而考虑较少。为了解决对结构参数不确定性考虑不足的问题，国内外学者们开展了一系列研究，如Gokkaya等（2016）运用拉丁超立方体采样分别对延性和非延性钢筋混凝土结构进行蒙特卡罗模拟，以此量化模型不确定性对建筑物倒塌风险的影响；Choudhury等（2018）采用参数具有不确定性的随机样本，以3种典型的3间4层框架结构为研究对象，采用不同的统计和图形化方法，以获得不同输入参数不确定性对响应灵敏度的相对重要性；于晓辉等（2012）以钢筋混凝土框架结构为例，改良了传统IDA方法，使其对结构不确定性考虑不足的问题得到解决，并运用此方法得到的结果进行灵敏度分析；宋帅等（2018）以常见类型的桥梁为例，分别采用数值模拟方法及核密度估计方法分析简支桥梁结构参数对地震易损性分析结果的影响水平；陈力波等（2018）以典型公路桥梁为例，在传统考虑结构参数不确定性的研究基础上改进响应面方法，使其地震易损性分析的计算效率更快、结果更准确；叶继红等（2021）以6层冷成型钢结构为例，运用简化数值分析方法建立结构数值模型，进而分析地震易损性研究中结构多重不确定性等因素对其造成的影响。
可见，在地震易损性分析研究中已取得了一些成果，证明结构参数的不确定性对该分析造成的重要影响，但砌体结构在这方面的研究较少。已有研究成果表明（于晓辉等，2012；宋帅等，2018；陈力波等，2018；叶继红等，2021），进行地震易损性分析时，当结构参数存在较大不确定性或受到地震作用后响应结果呈现高度非线性时，须考虑结构参数的不确定性对分析结果产生的影响。然而运用传统方法考虑结构参数不确定性会导致计算成本倍增和拟合曲线精度低等问题。因此，本文基于试验设计方法（Design of Experiments，DOE），以典型村镇砌体结构为研究对象，考虑结构参数不确定性对分析结果的影响。通过开展参数灵敏度分析，筛选出对砌体结构地震易损性分析具有显著影响的参数，基于这些参数进行结构响应面设计和地震易损性分析，进而考虑结构参数不确定性对分析结果的影响。在提高计算精度的前提下减少计算量，进而为有效解决砌体结构易损性分析时参数种类多、砌体材料非线性强和代理模型很难逼近真实值的难题提供新思路。
1. 有限元分析
1.1 模型建立
本文选取的研究对象位于四川省，为当地具有代表性的村镇砌体结构，经历了2008年汶川地震，震害特征明显。此结构共有2层，每层层高3.3 m，总长度为10 m，总宽度为6 m，屋盖高约1.5 m，内外墙均厚240 mm，未设置圈梁和构造柱，结构所处地区设防烈度为Ⅶ度，Ⅱ类场地条件，设计地震分组为第一组。房屋外貌和首层平面布置如图1所示。
本文采用ABAQUS有限元软件进行建模和非线性时程分析。目前，在ABAQUS有限元软件中砌体和混凝土存在2种建模方式：分离式建模和整体式建模。砌体整体式建模方式能够全面考虑结构整体性和相互作用，从而更准确地观测结构宏观破坏行为。由于模拟目的是观察房屋宏观破坏情况，故砌体选用整体式建模方式。混凝土为非线性复合材料，在微观层面上存在较多非均匀性和非线性行为。混凝土离散式建模可以更好地考虑到这些细节，从而更准确地模拟混凝土力学行为。
墙体、现浇楼板和悬挑梁等部件在非线性时程分析时会出现复杂的应力、变形和破坏行为等情况，而C3D8R实体单元能良好模拟复杂的结构应力、变形和破坏行为，因此本文选用C3D8R实体单元。钢筋混凝土构件建模需要考虑钢筋和混凝土的不同特性和力学行为，对于钢筋，采用T3D2单元可以方便将钢筋骨架嵌入到混凝土内部，能够更加真实地模拟钢筋与混凝土之间的相互作用。
Embedded region可以很好地模拟钢筋和混凝土表面的接触变形和摩擦力及钢筋和混凝土之间的相对运动情况，从而提高建模结果的准确性。悬挑梁、现浇楼板和墙体之间采用Tie连接，其目的是实现刚性连接，以保持构件的整体性。
在构件材料选择方面，墙体选用砌体材料，悬臂梁和楼板选用混凝土材料。在材料属性选择方面，混凝土本构模型综合考虑GB 50003—2011《砌体结构设计规范》中关于混凝土构件抗剪承载力等要求及GB 50010—2010《混凝土结构设计规范》中提供的本构模型；鉴于现行规范未明确提供砌体构件本构模型，且学术界对此尚未形成广泛共识，综合考虑当地地震设计规范及建筑实际条件等多方面因素，最终选取杨卫忠提出的砌体本构模型（杨卫忠，2008），该模型能够较为准确地反映当地现有砌体房屋的力学特性；钢筋基于本身特性和受力情况选用双直线理想弹塑性模型（朱震宇，2015）。数值模拟所需的参数值包括砂浆强度、混凝土强度等，均基于实地调查数据获得。
在ABAQUS有限元分析软件中，选择更小的网格尺寸能够提高精度和提升收敛，但考虑到研究内容和计算时间成本等因素，选取网格大小为0.15 m。在确保计算效率的同时，所选定的网格尺寸不仅可以保障数值计算的精度与稳定性，而且能够维持单元间的形状、尺寸及变形程度在合理的范围之内。数值模型信息如表1所示。
表 1 数值模型信息Table 1. Numerical model information建筑构件 单元类型 构件之间的相互作用 材料属性 悬挑梁 C3D8R Tie 设计规范混凝土本构模型 现浇楼板 C3D8R Tie 设计规范混凝土本构模型 钢筋 T3D2 Embedded region 双直线理想弹塑性模型 墙体 C3D8R Tie 整体式砌体结构本构模型 1.2 模态分析
自振周期是判断数值模型是否合理的重要依据。砌体经验公式（杨玉成等，1982）基于大量的实测数据和统计分析得出，能够较好地反映结构自振周期，可以用来初步判断数值模型的合理性，具体形式如式（1）所示。利用ABAQUS有限元软件中的求解器对数值模型进行模态分析，结果如表2所示。由式（1）和模态分析得到该结构基本周期分别为0.131、0.141 s，两者之间误差≤10%，可以在一定程度上证明所建立的数值模型是合理的（周强等，2018）。
表 2 模型前2阶自振周期Table 2. The first 2 vibration cycles of the model振型 自振周期/s 振型特征 一阶 0.141 横向平动 二阶 0.115 纵向平动 $$ {T_1} = 0.0168({H_0} + 1.2) $$ (1) 式中，
${H_0}$ 为建筑结构高度。1.3 弹塑性时程分析
由震害调查资料可知，该房屋遭遇了汶川地震，结构出现了明显裂缝。由图1（a）可知，建筑物整体损伤程度表现为自下而上逐层递减的趋势。这是由于下层在承受地震作用后耗散和吸收了一部分地震能量，从而使上层所受地震作用相对减小，导致底层损伤程度较上层更严重。该建筑受震害影响最严重的首层门窗处贯通斜裂缝均出现在窗间墙。在连续地震作用下，由于主拉应力超过了材料抗拉强度，导致了剪切破坏。在最大剪应力区域，裂缝首先产生，并沿着45°主拉应力方向向两端扩展成斜裂缝。
鉴于该建筑位于卧龙镇附近区域，因此选择了汶川地震期间卧龙台站记录的地震动数据作为地震动输入，并进行了数值模型的弹塑性时程分析。通过比对计算得到的结构受拉损伤云图与实际震害情况，可以得出以下结论：裂缝出现的位置在整个结构中基本一致（图1（b）与图2（b））；受震害影响最严重的首层门窗处贯通斜裂缝均出现在窗间墙，这种趋势与实际震害情况基本一致（图2（c）和图2（d））。因此，进一步验证了数值模型的合理性。
图 2 结构数值模型及真实震害对比图Figure 2. The damage comparison between numerical structural model and real earthquake1.4 地震动的选取
进行有限元分析的过程中，为确保所选地震动记录能够准确反映建筑实际可能遭遇的地震影响，综合考虑FEMAP-695报告（FEMA，2009）中关于输入地震动的选取建议、建筑所在场地条件以及设计地震分组等因素。针对场地类型、频谱特性和地震动持时等主要因素，最终选取了具有代表性的11条地震动记录作为有限元分析的激励。所选的地震动调幅满足要求后的地震动加速度反应谱如图3所示，经对比在结构主要周期点处所选的地震动加速度平均反应谱与设计谱相差不大，进一步证明选波的合理性。
图 3 地震动加速度反应谱、平均反应谱及规范设计谱Figure 3. Seismic acceleration response spectrum, average response spectrum and code design spectrum2. 基于DOE的易损性分析基本思路
DOE为根据预定目标制定适当试验方案的方法，通过执行这些试验方案，并对试验结果进行有效统计分析，以确定具体的试验程序和数据分析结果。DOE主要包括因子筛选和构建数学代理模型，其中因子筛选是在众多可能的影响因素中识别出对响应变量有显著影响的少数几个因素，以实现试验设计的简化、减少不必要的试验次数和节约资源的效果，具体方法有全因子法、部分因子法、Plackett-Burman法等；构建数学代理模型是通过建立因子与响应变量之间的关系，预测未来的响应变量，进而揭示因子之间的关系以及对响应变量的影响，具体方法有中心复合法、哈姆斯利方法、可扩展的格栅序列法等。
为研究结构参数不确定性对砌体结构易损性的影响，同时考虑到所需筛选的参数及筛选目的，本文采用DOE方法中的Plackett-Burman试验设计方法（Loukas，2001）对结构参数进行筛选，通过响应面设计方法建立结构参数和最大层间位移角之间的函数关系。首先，通过相关文献（Demirel，2010；Parisi等，2012）确定有代表性的结构参数，在此基础上利用Plackett-Burman法开展结构参数灵敏度分析，筛选出影响效果显著的3个结构参数；然后，利用筛选出来的结构参数建立结构试验样本，对建立的结构试验样本进行有限元分析，进而建立结构参数与最大层间位移角的响应面模型；最后，通过蒙特卡罗模拟获得地震易损性曲线，如图4所示。
图 4 基于DOE的结构地震易损性分析方法步骤Figure 4. Flowchart of structural seismic vulnerability analysis method based on DOE3. 结构参数灵敏度分析
3.1 结构参数初筛选
砌体结构涉及的不确定性参数较多，综合考虑本文研究对象和相关文献（Demirel，2010；Parisi等，2012），在砌体材料、混凝土材料和结构几何方面进行参数选取，其中，在砌体材料方面，选择砌体密度、弹性模量、阻尼比、抗压强度、抗拉强度作为参数，各参数的平均值取值、变异系数及分布类型参考GB 50003—2011《砌体结构设计规范》及周强（2012）确定；在混凝土材料方面，选择混凝土密度作为参数，其平均值取值、变异系数及分布类型参考相关文献（Parisi等，2012；于晓辉，2012）确定；在结构几何方面，选择层高和墙厚作为参数，各参数的平均值均根据当地房屋实际情况确定。因尚无研究充分证明各参数之间的相关性，故假设各参数相互独立，参数数值如表3所示。
表 3 结构参数及其分布Table 3. Structural model parameters and their distribution参数 平均值 变异系数 分布类型 砌体材料参数 阻尼比 0.05 0.3 正态 弹性模量/MPa 1 350 0.15 正态 抗压强度/kPa 2 448.29 0.17 对数正态 抗拉强度/kPa 235.938 0.2 对数正态 密度/(kg·m−3) 1 600 0.1 正态 混凝土材料参数 密度/(kg·m−3) 2 400 0.07 正态 结构几何参数 层高/m 3.3 0.05 — 墙厚/mm 240 0.05 — 3.2 随机变量标准化
在试验设计中，需要将输入变量进行标准化（Towashiraporn，2004），以达到消除量纲影响和平衡权重的目的，进而保证试验设计的稳定性、可靠性和可解释性。标准化是将变量值缩放到[−1，1]范围内的数据处理方法。利用式（2）对结构参数进行标准化，结果如表4所示。
表 4 输入参数及标准化Table 4. Input parameters and standardization输入参数 下限值 平均值 上限值 砌体阻尼比 输入值 0.035 0.05 0.065 标准化 −1 0 1 砌体弹性模量/MPa 输入值 1 147.5 1 350.0 1 552.5 标准化 −1 0 1 砌体抗压强度/kPa 输入值 2 032.08 2 448.29 2 864.50 标准化 −1 0 1 砌体抗拉强度/kPa 输入值 188.750 235.938 283.126 标准化 −1 0 1 砌体材料密度/(kg·m−3) 输入值 1 440 1 600 1 760 标准化 −1 0 1 混凝土密度/(kg·m−3) 输入值 2 328 2 400 2 568 标准化 −1 0 1 层高/m 输入值 3.135 3.300 3.465 标准化 −1 0 1 墙厚/mm 输入值 228 240 252 标准化 −1 0 1 $$ {x_i} = \dfrac{{{\xi _i} - \dfrac{{{\xi _{i,{\mathrm{high}}}} + {\xi _{i,{\mathrm{low}}}}}}{2}}}{{\dfrac{{{\xi _{i,{\mathrm{high}}}} + {\xi _{i,{\mathrm{low}}}}}}{2}}} $$ (2) 3.3 Plackett-Burman试验设计
Plackett-Burman试验设计（Loukas，2001）为计算量较小、准确度较高的试验设计方法。相对于其他试验设计方法，该方法可以通过进行少量试验快速地筛选出对结果具有显著影响的因子。为分析在地震强度作用下结构参数影响度，本文通过对设计试验加载11条地震动进行调幅，统计结构在相同地震强度不同地震动作用下的最大层间位移角，取平均值进行结构参数灵敏度分析。结构按照试验设计表生成结构样本，共生成12个结构样本，如表5所示。结构样本分别加载11条地震动进行时程分析，统计在峰值地面加速度（Peak Ground Acceleration，PGA）分别为0.1 g、0.2 g和0.4 g时的最大层间位移角，进行灵敏度分析。
表 5 Plackett-Burman试验设计Table 5. A case of Plackett-Burman test design项目 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 砌体阻尼比 −1 1 −1 −1 1 1 −1 1 −1 −1 1 1 砌体密度 −1 −1 1 −1 −1 1 −1 1 1 1 1 −1 混凝土密度 −1 −1 1 1 1 1 −1 −1 1 −1 −1 1 砌体抗拉强度 −1 1 1 1 −1 1 1 −1 −1 −1 1 −1 砌体弹性模量 −1 1 −1 −1 1 1 1 −1 1 1 −1 −1 墙厚 −1 1 1 −1 −1 −1 1 1 1 −1 −1 1 层高 −1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1 1 1 砌体抗压强度 −1 −1 −1 1 −1 1 1 1 −1 1 −1 1 3.4 试验结果分析
试验结果以标准化效应图的形式展示，如图5所示，图中A至H分别代表混凝土密度、砌体密度、砌体阻尼比、砌体抗拉强度、砌体弹性模量、墙厚、层高、砌体抗压强度。参数按照标准化效应的绝对值从大到小顺序显示，其中最上方的参数具有最大的标准化效应绝对值。图中的红色虚线为参考线，用于指示具有显著性的效应。参考线的数值为根据显著性水平和统计检验计算出的临界值，该值代表效应需达到或超越的标准，才能被认定为具有显著影响。
标准化效应图可确定效应的量值和重要性。弹性模量、密度、抗拉强度是对砌体结构易损性影响较大的3个参数；当地震动PGA为0.1 g时，相较于其他结构参数，砌体弹性模量在结构地震响应中具最显著的影响；当PGA为0.2 g时，3个结构参数的影响由大到小依次为砌体弹性模量、密度、抗拉强度；当PGA为0.4 g时，3个结构参数的影响由大到小依次为砌体弹性模量、抗拉强度、密度。
综合考虑图中分析结果及计算成本，本文筛选出了具有较高影响度的3个指标，分别为砌体弹性模量、密度、抗拉强度做进一步分析。
4. 结构响应面分析
4.1 结构响应面设计
响应面法（Freeny，1988）是利用多项式函数逼近原模型并建立代理模型的方法，被广泛运用于结构抗震分析中。其优点在于可以利用较少的试验数据拟合输入和输出之间的函数关系，并通过响应面模型展现出来，具有良好的精确性和鲁棒性。
为了能够准确地描述各因子之间的非线性关系和相互作用效应，选用含交叉项的二次函数，其表达式为：
$$ \hat y = {\alpha _0} + \sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} {x_i} + \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{\alpha _{ij}}} } {x_i}{x_j} $$ (3) 式中，
$ {x_i} $ 、$ {x_j} $ 为输入变量；$ {\alpha _0} $ 、$ {\alpha _i} $ 和$ {\alpha _{ij}} $ 为待定系数；$ \hat y $ 为结构响应值。地震分析时，经过n次动力时程反应，结构响应均值
$ {\hat y_u} $ 和标准差$ {\hat y_\sigma } $ 方程分别为：$$ {\hat y_u} = g\left( {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_i}} \right) ,\quad ({i = 1,2, \cdots ,k}) $$ (4) $$ {\hat y_\sigma } = h\left( {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_i}} \right), \quad({i = 1,2, \cdots ,k} )$$ (5) 因此，结构响应面模型可以表示为（张尚荣等，2014）：
$$ \hat y = g\left( {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_i}} \right) + N\left| {0,h\left( {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_i}} \right)} \right|,\quad({i = 1,2, \cdots ,k} ) $$ (6) 中心复合设计（Montgomery，2001）较其他设计方法简单实用，试验次数少，且在平衡的因素水平选择以及响应面优化等方面具有优势，所以本研究采用中心复合设计建立响应面模型。
中心复合设计选用两水平全因子设计，该设计能够在所有可能的组合均被考虑的情况下简化试验，降低成本，并且容易分析。具体方案为使用8个立方点以保证因子之间的均衡和完整覆盖，1个立方体的中心点用于估计线性效应，6个轴点保证立方体每个维度的中心均有点，以获得更完整的信息。选取位置时主要考虑满足正交性的要求，以确保能够准确估计各因子的影响和相互作用效应，故轴点距离中心点的距离
$ \alpha $ =1，试验设计如表6所示。表 6 中心复合试验设计Table 6. A case of central composite test design运行序 砌体弹性模量 砌体密度 砌体抗拉强度 1 1 1 −1 2 −1 −1 −1 3 1 0 0 4 0 1 0 5 1 −1 −1 6 −1 1 −1 7 0 0 0 8 1 1 1 9 −1 −1 1 10 −1 1 1 11 −1 0 0 12 1 −1 1 13 0 −1 0 14 0 0 1 15 0 0 −1 鉴于砌体结构的非线性特性较显著以及地震动具有较大的不确定性，导致响应面模型难以逼近真实值。为了解决此问题，从而更好地体现结构参数不确定性对地震易损性的影响，将11个结构地震动样本按照PGA进行分组，分别为0.05 g、0.1 g、0.15 g、0.2 g、0.25 g、0.3 g、0.35 g和0.4 g。每个样本各8组，每组按照表6进行试验，共1 320次工况。
4.2 响应面模型拟合
采用ABAQUS有限元软件进行有限元模拟试验，通过对结构样本按照表6的方案进行加载地震动，将最大层间位移角作为输出结果，如表7所示。
表 7 中心复合设计输出结果Table 7. Output results from the central composite design运行序 最大层间位移角（×10−7） 0.05 g 0.1 g 0.15 g ... 0.35 g 0.4 g $ {\hat y_{u1}} $ $ {\hat y_{\sigma 1}} $ $ {\hat y_{u2}} $ $ {\hat y_{u2}} $ $ {\hat y_{u3}} $ $ {\hat y_{\sigma 3}} $ ... ... $ {\hat y_{u7}} $ $ {\hat y_{\sigma 7}} $ $ {\hat y_{u8}} $ $ {\hat y_{\sigma 8}} $ 1 3 949.9 2 209.4 8 740.6 3 417.6 35 780 10 027 ... ... 29 832 7 952.2 35 779 1 002 2 2 998.8 1 969.57 7 020.4 2 665.2 28 183 6 577 ... ... 24 316 6 219.3 28 182 6 577.2 3 4 499.3 1 736.1 9 200.1 3733.5 39 739 12 563 ... ... 33 441 9 797.4 39 739 12 563 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 15 4 235.6 1 558.1 8 759.3 2 412.7 39 003 12 186 ... ... 32 472 9 523.8 39 003 12 186 根据试验设计及数字模拟拟合结果可以分别得到结构在PGA为0.05 g、0.1 g、0.15 g、0.2 g、0.25 g、0.3 g、0.35 g和0.4 g时地震需求参数平均值和标准差的拟合多项式响应面模型。由于模拟得到的公式众多且篇幅受限，故仅以0.05 g的情况作为示例，如公式（7）所示。
$$ \left\{\begin{aligned} &{Y}_{\mu,0.05{g}}=3.68\times {10}^{-4}+2.8\times {10}^{-5}{X}_{1}-2.6\times {10}^{-5}{X}_{2}+2.4\times {10}^{-5}{X}_{3}+2.5\times {10}^{-5}{X}_{1}^{2}-4.3\times {10}^{-5}{X}_{2}^{2}+\\ &\qquad 2.5\times {10}^{-5}{X}_{3}^{2}-1.6\times {10}^{-5}{X}_{1}{X}_{2}-9\times {10}^{-6}{X}_{1}{X}_{3}-4.4\times {10}^{-5}{X}_{2}{X}_{3}\\ &{Y}_{\sigma,0.05{g}}=1.2\times {10}^{-4}+2.8\times {10}^{-5}{X}_{1}-1.1\times {10}^{-5}{X}_{2}+6\times {10}^{-6}{X}_{3}+1.7\times {10}^{-5}{X}_{1}^{2}-2\times {10}^{-5}{X}_{2}^{2}+\\ &\qquad 1.7\times {10}^{-5}{X}_{3}^{2}+9\times {10}^{-6}{X}_{1}{X}_{2}-9\times {10}^{-6}{X}_{1}{X}_{3}-4\times {10}^{-5}{X}_{2}{X}_{3}\end{aligned}\right. $$ (7) 式中，
$ {X_1} $ 为砌体弹性模量；$ {X_2} $ 为砌体密度；$ {X_3} $ 为砌体抗拉强度。4.3 响应面模型检验
为了保证响应面模型的准确性，用多重拟合系数
$ {R^2} $ 和修正多重拟合系数$ R_{\mathrm{A}}^2 $ 进行模型检验（黄琼，2014），系数定义如下：$$ {R^2} = \frac{{{{\boldsymbol{\alpha}} ^{\mathrm{T}}}{{\boldsymbol{X}}^{\mathrm{T}}}{\boldsymbol{Y}} - {{({{\boldsymbol{I}}^{\mathrm{T}}}{\boldsymbol{Y}})}^2}/N}}{{{{\boldsymbol{Y}}^{\mathrm{T}}}{\boldsymbol{Y}} - {{\left( {{{\boldsymbol{I}}^{\mathrm{T}}}{\boldsymbol{Y}}} \right)}^2}/N}} $$ (8) $$ R_{\rm{A}}^2 = 1 - \left( {1 - {R^2}} \right) \times \left( {\frac{{N - 1}}{{N - p}}} \right) $$ (9) 式中，
$ {\boldsymbol{\alpha}} $ 为待定参数向量；$ {\boldsymbol{X}} $ 为设计变量组合矩阵；$ {\boldsymbol{Y}} $ 为真实响应向量；$ {\boldsymbol{I}} $ 为单位向量；$ N $ 为试验设计样本数量；$ P $ 为设计变量数量。响应面模型检验结果如表8所示，
$ {R^2} $ 和$ R_{\mathrm{A}}^2 $ 均大于0.9，由此可知保证了其模型的准确。表 8 响应面模型检验结果Table 8. Verification of response surface model响应面标号 $ {R^2} $/% $ R_{\mathrm{A}}^2 $/% 1 99.59 98.31 2 98.61 97.52 3 98.36 97.62 4 98.76 97.32 5 97.79 96.80 6 98.26 97.82 7 97.12 96.32 8 95.30 93.25 5. 地震易损性分析
地震易损性分析时通常将结构破坏状态分为4个极限状态（熊立红等，2012），极限状态限值（李龙师，2020）如表9所示。根据上述试响应面回归模型，通过10 000次蒙特卡洛模拟，不同地震强度下结构需求
$ u $ 超过限值$ L_{{\mathrm{S}}i} $ 的概率可表示为：表 9 极限状态限值Table 9. Limitation value of limited state极限状态 轻微破坏（LS1） 中等破坏（LS2） 严重破坏（LS3） 毁坏（LS4） $ {\theta _{\max }} $ 1/2 000 1/1 600 1/700 1/350 $$ {P_{C\left| D \right.}} = \frac{1}{{1000\;0}}\sum\limits_{{i}}^{1000\;0} {N\left( {{{u}} \geqslant L_{{\mathrm{S}}{{i}}}} \right)} $$ (10) 式中，
$ {P_{C\left| D \right.}} $ 表示结构地震作用下达到或者超过某状态的地震易损性，$ N\left( {u \geqslant L_{{\mathrm{S}}i}} \right) $ 表示结构响应达到或超过指定极限状态的概率。根据式（10）计算结果，得到考虑结构参数不确定性的地震易损性曲线，并与基于IDA不考虑结构不确定性的易损性曲线进行对比分析，结果如图6所示。
结果表明，在
$ L_{\mathrm{S}1_{^{^{ }}}} $ 、$ L_{{\mathrm{S}}2} $ 、$ L_{{\mathrm{S}}3} $ 和$ L_{{\mathrm{S}}4} $ 极限状态下，结构参数不确定性均对结构易损性有影响。这是因为参数的不确定性给地震作用的传递过程带来了额外的随机性，使得结构在面对不同地震强度时的响应存在较大的变异性，进而导致相同的地震作用下结构响应的离散性增加。随着极限状态从$ L_{{\mathrm{S}}1} $ 变化到$ L_{{\mathrm{S}}4} $ ，2条易损性曲线差异程度逐渐增大，其原因在于从极限状态$ L_{{\mathrm{S}}1} $ 至极限状态$ L_{{\mathrm{S}}4} $ ，随着其输入地震动增强，使结构的非线性增强，从而放大了结构参数不确定性对结构易损性的影响。6. 结论
本文为研究结构参数不确定性对砌体结构地震易损性的影响，以1栋四川典型村镇砌体结构为研究对象开展试验设计。将结构参数随机变量作为输入变量，将最大层间位移角作为输出变量，通过开展参数影响度分析、结构响应面设计、易损性分析，研究结构参数不确定性对结构易损性的影响，得到的主要结论如下：
（1）DOE方法在砌体结构易损性分析中有效降低了因砌体材料强非线性特性和参数种类多等因素对其分析结果造成的影响。该方法思路清晰，能够较好地逼近真实值，同时计算成本也较低。通过使用Plackett-Burman设计方法能够高效地确定主要影响因素，降低了试验的复杂性；根据PGA对样本进行分组，并建立相应的响应面模型，更准确地反映了结构的真实响应情况，从而考虑到不同PGA水平下结构非线性特征，提高了模型的精确性。
（2）经过对标准化效应图进行分析，发现在易损性分析中，砌体材料参数对响应结果具有较大影响。从材料属性方面考虑，对砌体抗震性能影响明显的3个参数为分别为弹性模量、密度和抗拉强度。因此，在结构设计阶段，对砌体材料的选择应给予重视。如果条件允许，应选择具有较高刚度、较高抗拉能力和相对轻巧的砌体材料，如采用有机纤维增强的烧结砖。
（3）进行砌体结构地震易损性分析研究时，结构参数的不确定性是重要且不可忽视的因素。特别是在强震作用下，结构响应的非线性效应会显著增强，这使得结构参数的不确定性对结构易损性产生了更大的影响，引起的结构变形和破坏可能大幅度超过设计阶段的预期。因此，在工程设计和地震风险评估中，有必要对易损性曲线进行考虑结构不确定性的修正，以便更好地理解和评估结构在地震作用下的表现，从而采取合适的措施提高结构抗震性能。
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图 2 结构数值模型及真实震害对比图
Figure 2. The damage comparison between numerical structural model and real earthquake
图 3 地震动加速度反应谱、平均反应谱及规范设计谱
Figure 3. Seismic acceleration response spectrum, average response spectrum and code design spectrum
图 4 基于DOE的结构地震易损性分析方法步骤
Figure 4. Flowchart of structural seismic vulnerability analysis method based on DOE
表 1 数值模型信息
Table 1. Numerical model information
建筑构件 单元类型 构件之间的相互作用 材料属性 悬挑梁 C3D8R Tie 设计规范混凝土本构模型 现浇楼板 C3D8R Tie 设计规范混凝土本构模型 钢筋 T3D2 Embedded region 双直线理想弹塑性模型 墙体 C3D8R Tie 整体式砌体结构本构模型 
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表 2 模型前2阶自振周期
Table 2. The first 2 vibration cycles of the model
振型 自振周期/s 振型特征 一阶 0.141 横向平动 二阶 0.115 纵向平动
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表 3 结构参数及其分布
Table 3. Structural model parameters and their distribution
参数 平均值 变异系数 分布类型 砌体材料参数 阻尼比 0.05 0.3 正态 弹性模量/MPa 1 350 0.15 正态 抗压强度/kPa 2 448.29 0.17 对数正态 抗拉强度/kPa 235.938 0.2 对数正态 密度/(kg·m−3) 1 600 0.1 正态 混凝土材料参数 密度/(kg·m−3) 2 400 0.07 正态 结构几何参数 层高/m 3.3 0.05 — 墙厚/mm 240 0.05 —
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表 4 输入参数及标准化
Table 4. Input parameters and standardization
输入参数 下限值 平均值 上限值 砌体阻尼比 输入值 0.035 0.05 0.065 标准化 −1 0 1 砌体弹性模量/MPa 输入值 1 147.5 1 350.0 1 552.5 标准化 −1 0 1 砌体抗压强度/kPa 输入值 2 032.08 2 448.29 2 864.50 标准化 −1 0 1 砌体抗拉强度/kPa 输入值 188.750 235.938 283.126 标准化 −1 0 1 砌体材料密度/(kg·m−3) 输入值 1 440 1 600 1 760 标准化 −1 0 1 混凝土密度/(kg·m−3) 输入值 2 328 2 400 2 568 标准化 −1 0 1 层高/m 输入值 3.135 3.300 3.465 标准化 −1 0 1 墙厚/mm 输入值 228 240 252 标准化 −1 0 1
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表 5 Plackett-Burman试验设计
Table 5. A case of Plackett-Burman test design
项目 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 砌体阻尼比 −1 1 −1 −1 1 1 −1 1 −1 −1 1 1 砌体密度 −1 −1 1 −1 −1 1 −1 1 1 1 1 −1 混凝土密度 −1 −1 1 1 1 1 −1 −1 1 −1 −1 1 砌体抗拉强度 −1 1 1 1 −1 1 1 −1 −1 −1 1 −1 砌体弹性模量 −1 1 −1 −1 1 1 1 −1 1 1 −1 −1 墙厚 −1 1 1 −1 −1 −1 1 1 1 −1 −1 1 层高 −1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1 1 1 砌体抗压强度 −1 −1 −1 1 −1 1 1 1 −1 1 −1 1
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表 6 中心复合试验设计
Table 6. A case of central composite test design
运行序 砌体弹性模量 砌体密度 砌体抗拉强度 1 1 1 −1 2 −1 −1 −1 3 1 0 0 4 0 1 0 5 1 −1 −1 6 −1 1 −1 7 0 0 0 8 1 1 1 9 −1 −1 1 10 −1 1 1 11 −1 0 0 12 1 −1 1 13 0 −1 0 14 0 0 1 15 0 0 −1
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表 7 中心复合设计输出结果
Table 7. Output results from the central composite design
运行序 最大层间位移角（×10−7） 0.05 g 0.1 g 0.15 g ... 0.35 g 0.4 g $ {\hat y_{u1}} $ $ {\hat y_{\sigma 1}} $ $ {\hat y_{u2}} $ $ {\hat y_{u2}} $ $ {\hat y_{u3}} $ $ {\hat y_{\sigma 3}} $ ... ... $ {\hat y_{u7}} $ $ {\hat y_{\sigma 7}} $ $ {\hat y_{u8}} $ $ {\hat y_{\sigma 8}} $ 1 3 949.9 2 209.4 8 740.6 3 417.6 35 780 10 027 ... ... 29 832 7 952.2 35 779 1 002 2 2 998.8 1 969.57 7 020.4 2 665.2 28 183 6 577 ... ... 24 316 6 219.3 28 182 6 577.2 3 4 499.3 1 736.1 9 200.1 3733.5 39 739 12 563 ... ... 33 441 9 797.4 39 739 12 563 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 15 4 235.6 1 558.1 8 759.3 2 412.7 39 003 12 186 ... ... 32 472 9 523.8 39 003 12 186
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表 8 响应面模型检验结果
Table 8. Verification of response surface model
响应面标号 $ {R^2} $/% $ R_{\mathrm{A}}^2 $/% 1 99.59 98.31 2 98.61 97.52 3 98.36 97.62 4 98.76 97.32 5 97.79 96.80 6 98.26 97.82 7 97.12 96.32 8 95.30 93.25
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表 9 极限状态限值
Table 9. Limitation value of limited state
极限状态 轻微破坏（LS1） 中等破坏（LS2） 严重破坏（LS3） 毁坏（LS4） $ {\theta _{\max }} $ 1/2 000 1/1 600 1/700 1/350
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陈力波,黄才贵,谷音,2018. 基于改进响应面法的公路简支梁桥地震易损性分析. 工程力学,35(4):208−218. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2017.06.0512Chen L. B., Huang C. G., Gu Y., 2018. Seismic vulnerability analysis of simply supported highway bridges based on an improved response surface method. Engineering Mechanics, 35(4): 208−218. (in Chinese) doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2017.06.0512 黄琼,2014. 基于响应面法的钢筋混凝土框架结构有限元模型修正研究. 兰州:兰州理工大学.Huang Q., 2014. Finite element model updating of reinforced concrete frame structure based on response surface method. Lanzhou:Lanzhou University of Technology. (in Chinese) 李龙师,2020. 松原查干花震区农村房屋抗震性能研究及震害预测. 哈尔滨:中国地震局工程力学研究所.Li L. S., 2020. Seismic Capacity Analysis and Earthquake damage prediction of rural houses in Chaganhua earthquake area of Songyuan City. Harbin:Institute of Engineering Mechanics,China Earthquake Administration. (in Chinese) 吕大刚,刘洋,于晓辉,2019. 第二代基于性能地震工程中的地震易损性模型及正逆概率风险分析. 工程力学,36(9):1−11,24.Lü D. G., Liu Y., Yu X. H., 2019. Seismic fragility models and forward-backward probabilistic risk analysis in second-generation performance-based earthquake engineering. Engineering Mechanics, 36(9): 1−11,24. (in Chinese) 宋帅,钱永久,钱聪,2018. 桥梁地震需求中随机参数的重要性分析方法研究. 工程力学,35(3):106−114. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2016.11.0856Song S., Qian Y. J., Qian C., 2018. Research on methods for importance analysis of random parameter in bridge seismic demand. Engineering Mechanics, 35(3): 106−114. (in Chinese) doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2016.11.0856 孙柏涛,张桂欣,2012. 汶川8.0级地震中各类建筑结构地震易损性统计分析. 土木工程学报,45(5):26−30.Sun B. T., Zhang G. X., 2012. Statistical analysis of the seismic vulnerability of various types of building structures in Wenchuan M 8.0 earthquake. China Civil Engineering Journal, 45(5): 26−30. (in Chinese) 熊立红,吴文博,孙悦,2012. 汶川地震作用下约束砌体房屋的抗震能力分析. 土木工程学报,45(S2):103−108.Xiong L. H., Wu W. B., Sun Y., 2012. Seismic performance of confined masonry buildings during the Wenchuan earthquake. China Civil Engineering Journal, 45(S2): 103−108. (in Chinese) 杨卫忠,2008. 砌体受压本构关系模型. 建筑结构,38(10):80−82.Yang W. Z., 2008. Constitutive relationship model for masonry materials in compression. Building Structure, 38(10): 80−82. (in Chinese) 杨玉成,杨柳,高云学等,1982. 现有多层砖房震害预测的方法及其可靠度. 地震工程与工程振动,2(3):75−86.Yang Y. C., Yang L., Gao Y. X., et al., 1982. Method of damage prediction for existing multi story brick buildings and its reliability. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2(3): 75−86. (in Chinese) 叶继红,江力强,2021. 考虑多重不确定性的我国多层冷成型钢结构地震风险评估. 土木工程学报,54(2):74−83,126.Ye J. H., Jiang L. Q., 2021. Seismic risk assessment of mid-rise cold-formed steel structures in China considering various uncertainties. China Civil Engineering Journal, 54(2): 74−83,126. (in Chinese) 于晓辉,2012. 钢筋混凝土框架结构的概率地震易损性与风险分析. 哈尔滨:哈尔滨工业大学.Yu X. H., 2012. Probabilistic seismic fragility and risk analysis of reinforced concrete frame structures. Harbin:Harbin Institute of Technology. (in Chinese) 于晓辉,吕大刚,2012. 考虑结构不确定性的地震倒塌易损性分析. 建筑结构学报,33(10):8−14.Yu X. H., Lü D. G., 2012. Seismic collapse fragility analysis considering structural uncertainties. Journal of Building Structures, 33(10): 8−14. (in Chinese) 张令心,李孟达,刘洁平等,2018. 考虑结构不确定性的框剪结构地震易损性分析. 自然灾害学报,27(4):112−118.Zhang L. X., Li M. D., Liu J. P., et al., 2018. Seismic fragility analysis of frame-shear wall structures considering structural parameter uncertainty. Journal of Natural Disasters, 27(4): 112−118. (in Chinese) 张尚荣,谭平,杜永峰等,2014. 基于响应面法的层间隔震结构地震易损性分析. 振动与冲击,33(15):42−48.Zhang S. R., Tan P., Du Y. F., et al., 2014. Seismic fragility analysis of inter-story isolation structures based on response surface method. Journal of Vibration and Shock, 33(15): 42−48. (in Chinese) 周强,2012. 砌体结构抗震试验及弹塑性地震反应分析. 哈尔滨:哈尔滨工程大学.Zhou Q., 2012. Seismic test and elastic-plastic seismic response analysis of masonry structure. Harbin:Harbin Engineering University. (in Chinese) 周强,闵全环,熊拥军等,2018. 江西典型村镇既有房屋抗震性能分析. 自然灾害学报,27(1):96−105.Zhou Q., Min Q. H., Xiong Y. J., et al., 2018. Seismic performance analysis of existing typical rural buildings in Jiangxi. Journal of Natural Disasters, 27(1): 96−105. (in Chinese) 朱震宇,2015. 砌体墙抗震性能分析模型及其工程应用. 上海:上海交通大学.Zhu Z. Y., 2015. Analysis model of seismic behavior of masonry walls and its engineering application. Shanghai:Shanghai Jiao Tong University. (in Chinese) Choudhury T., Kaushik H. B., 2018. Seismic response sensitivity to uncertain variables in RC frames with infill walls. Journal of Structural Engineering, 144(10): 04018184. doi: 10.1061/(ASCE)ST.1943-541X.0002190 Demirel İ. O., 2010. A nonlinear equivalent frame model for displacement based analysis of unreinforced brick masonry buildings. Ankara: Middle East Technical University. FEMA, 2009. Quantification of building seismic performance factors. Washington: Federal Emergency Management Agency. Freeny A., 1988. Empirical model building and response surfaces. Technometrics, 30(2): 229−231. doi: 10.1080/00401706.1988.10488371 Gokkaya B. U., Baker J. W., Deierlein G. G., 2016. Quantifying the impacts of modeling uncertainties on the seismic drift demands and collapse risk of buildings with implications on seismic design checks. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 45(10): 1661−1683. Loukas Y. L., 2001. A Plackett-Burman screening design directs the efficient formulation of multicomponent DRV liposomes. Journal of Pharmaceutical and Biomedical Analysis, 26(2): 255−263. doi: 10.1016/S0731-7085(01)00419-8 Montgomery D. C., 2001. Design and analysis of experiments. 5th ed. New York: John Wiley & Sons, Inc. Parisi F., Augenti N., 2012. Uncertainty in seismic capacity of masonry buildings. Buildings, 2(3): 218−230. doi: 10.3390/buildings2030218 Towashiraporn P., 2004. Building seismic fragilities using response surface metamodels. Atlanta: Georgia Institute of Technology. -
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