引言

近年来，基于性能的地震工程（Performance-Based Earthquake Engineering，PBEE）理念（Deierlein等，2003；Porter，2003；Moehle等，2004）受到了地震工程与工程抗震领域的广泛关注，其主要思想是将结构的抗震设计从简单的、确定性方法向多样化、多层次功能目标以及可修复能力等进行过渡（Pathak等，2020）。在PBEE框架下，国内外学者开展了大量地震危险性分析、结构地震响应分析、结构损伤分析（结构地震响应和结构损伤分析亦统称为地震易损性分析）及地震灾害损失评估工作（Dong等，2014；袁万城等，2016；冯莉等，2020；于晓辉等，2022），相关成果为确定结构的薄弱环节、抗震加固、风险评估等提供了重要支撑（Muntasir Billah等，2015；李宏男等，2018）。

另一方面，基于可靠度理论进行工程结构设计与评估已成为主要趋势（李杰，2018），其将结构自身的抗力与承受的外界荷载视为随机变量，建立功能函数分析两者的相对关系，并要求最终满足某一给定的可靠度指标。在此地震作用被视为一种随机作用，未明确地震作用下结构应当达到的可靠度水平（Yoon等，2019）。从本质上看，易损性与可靠度均从概率意义上刻画了结构完成某种既定目标的能力，并基于概率方法定量评定了工程结构的某种性能，如果通过概率方法将两者结合，在一定可靠度水平下进行结构易损性分析，则可为基于性能的结构设计提供更加明确的目标。

为此，本文首先阐释易损性与可靠度相结合的理论基础，然后通过地震危险性（重现期）设定地震作用下的目标可靠度，基于概率方法对结构原可靠度进行修正，再利用结构易损性分析确定不同抗震目标下的地震动水平，最终提出基于可靠度与易损性的地震动输入参数确定方法，并以一座三跨连续梁桥为例进行应用说明。

1.   基于易损性与可靠度的地震动修正方法

地震易损性作为PBEE的重要组成部分，表达了在不同强度的地震荷载工况下，结构发生各种程度破坏的概率（陆新征等，2010），建立了地震动强度与破坏程度间的关系，实现了对结构抗震性能的量化估计。但另一方面，我国当前所采用的工程结构可靠度设计方法中，尚未明确提出地震作用下的结构可靠度要求。如上文所述，地震易损性从概率意义上刻画了结构在不同地震设防水准下结构完成预定抗震目标的能力，表达了经典可靠度理论中“荷载”与“抗力”的关系（吕大刚等，2006），即地震危险性相当于结构的“广义荷载”，地震易损性则相当于“广义抗力”。从这个意义上讲，我们可以通过地震重现期（代表地震危险性）为结构设定地震作用下的“目标可靠度”，利用该目标可靠度对结构所具备的初始可靠度进行修正，再将修正的参数与地震易损性结合，即可得到不同地震危险性下基于易损性与可靠度分析的地震动输入参数。该方法基本原理如图1所示。

图 1  基于易损性与可靠度的地震动修正流程

Figure 1.  Flowchart of the proposed calibration method

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1.1   地震易损性

通常认为结构易损性曲线服从双参数的对数正态累积分布（Karim等，2001），可表示为：

式中，$ \mathrm{\Phi }\left[\cdot \right] $为标准正态累计分布函数；$ a $和$ b $分别为易损性函数的均值与标准差。

$ a $和$ b $的值可由“云图法”得到（Shome等，1998），即结构的地震需求服从对数正态分布，且工程需求参数的中值$ \overline {{M}_{\mathrm{E}\mathrm{D}\mathrm{P}}} $与地震动强度参数$ {T}_{\mathrm{I}\mathrm{M}} $之间满足如下指数关系：

式中，$ \alpha 、\beta $为估计参数，可以通过最小二乘回归分析得到。将式（2）改写为式（3）所示线性回归函数，即结构概率性地震需求模型：

由于在不同地震下地震需求模型的对数标准差$ b $不同，根据Mackie等（2003）可假定在全部地震动PGA范围内对数标准差为一个定值，采用式（4）进行计算：

式中，$ {b}_{{\mathrm{EDP}}|{\mathrm{IM}}} $表示在给定PGA范围内地震响应的条件对数标准差；$ {D}_{i} $为结构在第i条地震波作用下的需求响应峰值；N为时程分析次数。因此，地震易损性函数可表示为：

式中，$ {T}_{\mathrm{c}} $和$ {b}_{\mathrm{c}} $表示指定损伤极限状态（抗震能力）的均值和对数标准差。

1.2   结构失效概率与初始可靠度

根据经典可靠度理论，假设抗力与荷载随机变量R和S服从标准正态分布且相互独立，功能函数Z=R-S亦服从标准正态分布，则Z的概率密度函数为表示为：

结构的失效概率与初始可靠度β满足：

其中，抗力随机变量R主要考虑构件几何尺寸与材料力学性能的变异，荷载随机变量S则为外部随机荷载产生的效应，再采用JC法即可计算出构件所具备的初始可靠度水准β。

1.3   基于地震重现期的目标可靠度

地震学中常用泊松随机过程来描述t年内某地区发生地震的次数（Ghosh等，2015），则发生n次地震的概率P（n）可表示为：

那么，t年内该地区不发生地震的概率为：

该地区在t年内至少发生一次地震的概率，即超越概率为：

以上各式中$ v $为地震年平均发生概率，其与重现期$ {T}_{0} $互为倒数。因此重现期T₀与超越概率满足：

考虑到地震发生的偶然性，可以适当降低其可靠度水准。为便于后续对比不同重现期下的目标可靠度，本文将结构失效概率设为重现期的倒数，因此地震作用下的目标可靠度$ {\beta }{'} $可表达为：

1.4   地震超越概率与失效概率的联合分布函数

设地震的超越概率密度函数为$ f\left(t\right) $，$ f\left(t\right) $服从泊松分布，则在重现期T₀和设计基准期100年条件下，其与结构可靠度功能密度函数$ \varnothing \left(Z\right) $联合概率函数为：

由前文知，代入相关参数即可对公式（13）进行求解。由推导过程可以看出，联合概率函数$ F\left(t,Z\right) $正是利用地震重现期下的目标可靠度$ {\beta }{{'}} $对结构初始$ \beta $进行修正，由此计算出结构的最终可靠度水准$ {\beta }'' $。

1.5   基于地震易损性与可靠度的地震动输入确定

定义修正系数$ \alpha $为考虑地震发生概率（重现期）的结构可靠度水准$\beta '' $与初始可靠度水准$ \beta $的比值，即$ {\alpha =\beta }''/\beta $。将$ \alpha $代入公式$ {u}'_{\mathrm{D}\mathrm{I}}=\alpha \cdot {u}_{\mathrm{D}\mathrm{I}} $中对结构原损伤指标进行修正，修正后的损伤指数$ {u}'_{\mathrm{D}\mathrm{I}} $所对应的地震动PGA即为一定地震危险性下基于地震概率需求与结构可靠度水准的地震动输入参数。

2.   实桥工程案例分析

2.1   桥梁有限元模型

现以山区公路常用的连续梁桥为例，对基于可靠度与易损性的地震动修正方法进行说明。本文依托实桥跨径为40 m+70 m+40 m，上部为单箱单室箱梁结构，主梁采用C50混凝土，下部矩形截面桥墩采用C30混凝土，墩高10 m，墩身纵筋和箍筋均采用HRB400钢筋，直径分别为Φ28 mm和Φ16 mm，间距0.5 m。场地设防烈度为VII度，桥址区场地条件为III类。

基于OpenSees平台对主梁、桥墩、支座等重要构件进行模拟，考虑材料非线性、几何非线性和接触非线性，建立桥梁有限元模型，如图2所示。其中，主梁采用弹性梁柱单元Elastic Beam Column模拟，支座采用零长度单元Zero Length模拟，桥墩采用纤维截面Nonlinear Beam Column单元模拟，将截面离散为保护层混凝土、核心混凝土以及钢筋纤维。混凝土采用Conerete 02 Kent-Park本构模型，钢筋采用Steel 02本构模型，桥墩墩身纤维截面如图3所示。本例修正以结合墩柱构件的可靠度为主，故不考虑桩-土相互作用，将墩底固结。

图 2  OpenSees桥梁有限元模型

Figure 2.  Finite element model of the bridge in OpenSees

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图 3  墩柱纤维截面

Figure 3.  Fiber section of the pier

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2.2   桥梁易损性曲线

根据桥梁设计反应谱及场地条件，并适当考虑地震动峰值及频率成分涵盖范围，本文从美国太平洋地震中心PEER选取了6条基础地震动记录（表1），其地震加速度反应谱曲线、平均反应谱曲线与设计反应谱曲线对比如图4所示。从图中可以看出，所选地震动记录以高频成分为主，加速度反应谱与设计反应谱在短周期段吻合较好，且平均反应谱与设计反应谱基本吻合，能够反映本文连续梁桥（自振周期T=0.35 s）的地震响应特性，可采用增量动力IDA方法进行结构地震反应分析。通过IDA调幅获得120条PGA在0.03～0.6 g范围内的地震动，为提高加载效率并获得结构的最大地震反应，本文截取每条记录中PGA最大的30 s作为地震动持时。

表 1  基础地震动记录

Table 1.  Ground motions set as benchmark

序号	地震记录	记录地点	震中距/km	PGA/g
1	Borrego	El Centro Array #9	56.88	0.066
2	Kern County	LA - Hollywood Stor FF	114.62	0.042
3	San Fernando	2516 Via Tejon PV	55.2	0.026
4	San Fernando	LB - Terminal Island	58.99	0.029
5	San Fernando	Port Hueneme	68.84	0.027
6	San Fernando	San Juan Capistrano	108.01	0.043

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图 4  地震反应谱

Figure 4.  Seismic response spectrum

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采用Hwang等（2001）提出的桥墩顶部位移延性比作为地震损伤指标，即某地震水平下最大墩顶位移与受拉钢筋首次屈服时的墩顶位移之比。其破坏状态分为无破坏、轻微破坏、中等破坏、严重破坏和完全破坏5个等级，相应的损伤指标如表2所示。

表 2  桥梁损伤状态描述及损伤指标

Table 2.  Bridge damage states and their measurements by displacement ductility ratios

损伤状态	具体描述	准则	位移延性比
无破坏	墩柱无明显裂缝， 钢筋无屈服	$ 0 < \mu \leqslant {\mu }_{\mathrm{c}\mathrm{y}1} $	$ 0 < \mu \leqslant 1 $
轻微破坏	墩柱表面出现明显裂缝，最外侧钢筋首次出现理论屈服	$ {\mu }_{\mathrm{c}\mathrm{y}1} < \mu \leqslant {\mu }_{\mathrm{c}\mathrm{y}} $	$ 1 < \mu \leqslant 1.12 $
中等破坏	表层混凝土部分脱落，墩柱产生非线性变形，墩底塑性铰开始形成	$ {\mu }_{\mathrm{c}\mathrm{y}} < \mu \leqslant {\mu }_{\mathrm{c}4} $	$ 1.12 < \mu \leqslant 1.97 $
严重破坏	塑性铰完全形成，保护层混凝土全部剥落，核心混凝土部分开裂，纵筋大量屈服	$ {\mu }_{\mathrm{c}4} < \mu \leqslant {\mu }_{\mathrm{c}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}} $	$ 1.97 < \mu \leqslant 4.97 $
完全破坏	核心混凝土压碎，箍筋断裂	$ {\mu }_{\mathrm{c}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\leqslant \mu $	$ 4.97\leqslant \mu $

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用Xtract软件对墩底截面进行弯矩曲率分析，计算得到首次屈服曲率为$ 0.791\times {10}^{-3} $、等效屈服曲率为$ 0.8837\times {10}^{-3} $、混凝土压应变为0.004时的曲率为$ 3.15\times {10}^{-3} $。再对结构进行地震动作用下的非线性时程分析，最终得到桥墩易损性曲线如图5所示。

图 5  地震易损性曲线

Figure 5.  Seismic fragility curve

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参考JTG/T 2231—01—2020《公路桥梁抗震设计规范》的设防目标及以往桥梁震害调查资料，本文分别将80%概率出现轻微损伤、60%概率出现中度损伤和40%概率出现重度损伤作为桥墩的3种抗震性能目标，相应的地震动PGA分别为0.21 g、0.18 g、0.23 g，取其平均值0.21 g作为基于桥梁易损性的地震动输入参数，对原桥墩截面重新进行抗震设计。以抗震规范E1地震作用为例，采用能力保护方法进行墩柱截面抗震设计。主墩墩顶地震作用为5029.34 kN，墩高10 m，墩底弯矩为50293.44 kN·m。纵向配筋细节如图6所示。与原设计截面相比，基于易损性的抗震设计考虑了地震随机性及不同抗震性能，增大了纵桥向的截面钢筋配筋率。在钢筋和混凝土材料类别不变的情况下，主筋由62根增加至74根，钢筋间距由12.5 cm减小至11 cm。

图 6  墩柱横截面配筋细节

Figure 6.  Details of reinforcements in the cross section of the pier

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2.3   桥梁初始可靠度计算

将截面尺寸、纵向钢筋及混凝土强度等几何参数和材料参数视作随机变量（张明等，2015），采用蒙特卡罗法生成5000组随机样本数据，计算墩底抗力R的均值与标准差；然后考虑上部结构传递下来的恒载和活载，计算墩柱所承受的荷载效应S。其中，恒载考虑结构自重加二期恒载，活载按照JTG D60—2015《公路桥涵设计通用规范》车道荷载模型，考虑车道横向折减，进行3个车道布载计算，计算恒载、活载作用下墩底的弯矩标准值，再参考JTG 2120—2020《公路工程结构可靠性设计统一标准》荷载效应建议系数值，计算墩柱荷载效应S的均值和标准差。R和S的统计特征参数值如表3所示。最后采用JC法计算得到墩柱的初始可靠度$ \beta =3.3039 $。

表 3  抗力和荷载效应的统计特征参数

Table 3.  Statistics parameters for resistance and load effect

随机变量类别	均值/（kN·m）	标准差
抗力	$ {\mu }_{{M}_{{\mathrm{R}}}}=48\;863.72 $	$ {\sigma }_{{M}_{{\mathrm{R}}}}=2\;855.02 $
恒载	$ {\mu }_{{M}_{{\mathrm{G}}}}=19\;722.05 $	$ {\sigma }_{{M}_{{\mathrm{G}}}}=8\;492.84 $
活载	$ {\mu }_{{M}_{{\mathrm{Q}}}}=1\;105.61 $	$ {\sigma }_{{M}_{{\mathrm{Q}}}}=173.55 $

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2.4   不同地震重现期下的可靠度修正

按照前文提出的理论计算方法，本文通过设定不同的地震重现期$ {T}_{0} $来考虑不同地震设防水准（即地震危险性）。同时，桥梁活荷载的设计基准期取为100年。以$ {T}_{0}=75 $年为例阐述该重现期下墩柱可靠度的修正过程，其他重现期的修正可靠度与修正系数计算结果如表4所示。

表 4  不同地震重现期下的修正可靠度与修正系数

Table 4.  Calibrated reliability index and calibration coefficient for various return periods

重现期$ {T}_{0} $	设计基准期t	修正后$ {\beta }'' $	初始$ \beta $	修正系数$ \alpha $
1000	100	3.9141	3.3039	1.1847
475	100	3.7441	3.3039	1.1332
100	100	3.4304	3.3039	1.0383
75	100	3.3888	3.3039	1.0257
50	100	3.3445	3.3039	1.0123
25	100	3.3091	3.3039	1.0016
10	100	3.3039	3.3039	1.0000
5	100	3.3039	3.3039	1.0000

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$ {T}_{0}=75 $时，由式（12）可计算得到$ {\beta }{{'}} $=2.217。因此，在桥梁设计基准期100年内发生地震且墩柱的失效概率为：

根据式（7）计算得到墩柱初始可靠度$ \beta =3.3039 $，失效概率$ {P}_{{\mathrm{f}}}=4.77\times {10}^{-4} $，代入式（14）即可得到$ {P}_{{\mathrm{f}}}''=3.51\times {10}^{-4} $，$ \mathrm{对}\mathrm{应}\mathrm{的}{\beta }''=3.3888 $。

2.5   地震动PGA输入的修正

利用表4中不同重现期对应的修正系数α，对结构损伤指标进行修正，再结合结构的易损性曲线，得到不同地震危险性下考虑结构可靠度水准的地震动PGA。通过前文的易损性计算可得，修正前$ {u}_{\mathrm{D}\mathrm{I}} $与PGA满足ln（$ {u}_{\mathrm{D}\mathrm{I}} $）=1.3013 ln（PGA）+2.4567，经本文方法修正后其关系满足ln（$ {u}'_{\mathrm{D}\mathrm{I}} $）=1.2939 ln（PGA）+2.375。限于篇幅，本文仅展示重现期为1000年、475年和50年时各参数的修正结果（表5～表7）。由表可知，在文中的3种抗震性能目标下，经本文方法修正后考虑地震重现期的PGA均值分别为0.25 g、0.24 g和0.22 g，略高于仅考虑易损性时的0.21 g。3种抗震性能与地震重现期代表了不同的抗震设防目标，与传统的抗震规范地震动参数取值方法相比，本文提出的基于地震易损性与结构可靠度进行地震动参数修正的方法，能够将地震危险性、结构的抗震性能目标与可靠度需求紧密结合，为结构不同层次的抗震设计提供了思路与参考。

表 5  重现期为1000年时的地震动参数修正值（${\boldsymbol{ \alpha }} $ = 1.1847）

Table 5.  Calibrated peak ground accelerations for the return period of 1000 a（${\boldsymbol{ \alpha }} $ = 1.1847）

损伤状态	修正前			修正后
	PGA/g	$ {u}_{\mathrm{D}\mathrm{I}} $		$ {u}'_{\mathrm{D}\mathrm{I}} $	PGA/g
80%轻微损伤	0.210	1.531		$ \alpha \cdot DI=1.814 $	0.253
60%中度损伤	0.183	1.280		$ \alpha \cdot DI=1.516 $	0.220
40%重度损伤	0.229	1.714		$ \alpha \cdot DI=2.030 $	0.276

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表 6  重现期为475年时的地震动参数修正值（$ {\boldsymbol{\alpha}} $ = 1.1332）

Table 6.  Calibrated peak ground accelerations for the return period of 475 a（${\boldsymbol{ \alpha}} $ = 1.1332）

损伤状态	修正前			修正后
	PGA/g	$ {u}_{\mathrm{D}\mathrm{I}} $		$ {u}'_{\mathrm{D}\mathrm{I}} $	PGA/g
80%轻微损伤	0.210	1.531		$ \alpha \cdot DI=1.735 $	0.244
60%中度损伤	0.183	1.280		$ \alpha \cdot DI=1.450 $	0.213
40%重度损伤	0.229	1.714		$ \alpha \cdot DI=1.942 $	0.266

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表 7  重现期为50年时的地震动参数修正值（${\boldsymbol{ \alpha}} $ =1.0123）

Table 7.  Calibrated peak ground accelerations for the return period of 50 a（${\boldsymbol{ \alpha }} $ = 1.0123）

损伤状态	修正前			修正后
	PGA/g	$ {u}_{\mathrm{D}\mathrm{I}} $		$ {u}'_{\mathrm{D}\mathrm{I}} $	PGA/g
80%轻微损伤	0.210	1.531		$ \alpha \cdot DI=1.550 $	0.224
60%中度损伤	0.183	1.280		$ \alpha \cdot DI=1.296 $	0.195
40%重度损伤	0.229	1.714		$ \alpha \cdot DI=1.735 $	0.244

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3.   结论

本文在基于性能的地震工程PBEE和经典可靠度理论框架下，阐释了结构易损性与可靠度相结合的可能性及其理论基础，通过设定地震重现期下的目标可靠度，基于概率方法对结构原可靠度进行修正，再结合地震易损性分析，确定不同抗震目标下的地震动水平，提出了基于可靠度与易损性的地震动输入参数确定方法，最后以一座三跨连续梁桥为例，对该方法进行应用说明，主要得到以下结论：

（1）地震易损性与结构可靠度均从概率意义上刻画了结构完成某种既定目标的能力，通过概率方法将两者结合，在一定可靠度水平下进行结构易损性分析，可为基于性能的结构设计提供更加明确的目标。

（2）本文提出的基于地震易损性与结构可靠度的地震动参数修正方法，将地震危险性、结构抗震性能目标、地震作用及一般荷载作用紧密结合，为结构不同层次的抗震设计提供了思路与方法。

（3）在文中的3种抗震性能目标（80%轻微损伤、60%中度损伤和40%重度损伤）下，考虑地震重现期修正后的PGA均值分别为0.25 g、0.24 g和0.22 g，高于仅考虑易损性时的0.21 g。

（4）结构的地震易损性分析是基于性能的抗震设计中的重要一环，结构可靠度理论与其具有较多共同特点，将三者相互结合，是产生基于可靠度和性能的全生命周期抗震设计理论的新思路。