引言

现有大量震害调查、强震动观测数据及理论研究表明，局部场地条件对地震动强度与频谱成分等基本特性具有显著影响，进而影响工程结构震害程度。因此，科学合理地评估局部场地效应，是合理确定重大工程抗震设防要求从而确保其地震安全性的关键技术问题。目前在局部场地效应分析中，通常假定地震波是垂直入射的，而实际上，地震波从震源传播至地表的过程中，在传播路径、局部场地条件等因素的影响下，到达近地表的地震波并不一定总是竖直向上，尤其是当震源距离场地的距离较近时。为了更好地解决非垂直入射波作用时的问题，已有学者采用解析方法和数值方法开展研究。Lee等（2006）、Liu等（2010）、Tsaur等（2009，2011）利用波函数展开法、复变函数和多级坐标法等解析方法考虑了规则几何体中出平面波的散射问题。在数值计算方面，Heymsfield（2000）利用边界积分方程法研究了SH波倾斜入射时倾斜基岩对地表位移的影响，发现地表位移幅值在SH波入射角为60°时达到最大。刘晶波等（2006）利用时间离散步长和水平视波速进行有限元网格剖分，并根据行波传播特点提出了SH波斜入射时弹性半空间自由波场一维化有限元方法。陈维（2007）根据SH波在分层界面的反射规律，结合精确黏弹性边界条件提出了各层均匀线弹性介质在SH波斜入射下的时域有限元方法。范留明等（2014）基于分层均匀介质中的理论地震图合成方法，提出了成层半空间出平面自由波场界面子波算法。高智能等（2017）在刘晶波等（2006）算法的基础上，研究了土层介质Rayleigh阻尼对SH波斜入射下水平成层弹性介质自由场的影响。以上关于出平面地震波斜入射时场地自由场的分析多是将土体看作线弹性体，考虑土体动力非线性特性的局部场地效应研究相对较少。廖河山等（1994）采用多层屈服面运动硬化本构模型及特征线数值求解方法，建立了SH波倾斜入射时层状半空间的非线性响应模型。尤红兵等（2009）结合动力刚度矩阵和等效线性化方法分析了斜入射地震波的场地非线性地震反应。王笃国等（2016）基于等效线性化频域方法及二维应变空间理论，提出了地震波斜入射下成层介质非线性自由场数值求解方法。目前考虑土体非线性的地震波斜入射研究主要分析了地震波入射角度对峰值加速度的影响，针对地震波入射角度对地震动频谱特性影响的研究不多，尤其是缺乏对实际工程中较为关注的地震反应谱参数的影响研究。本文基于平面波位移场理论推导了SH波斜入射时的频域传递矩阵，进而编制了SH波斜入射下水平成层场地非线性地震反应等效线性化计算程序，并在此基础上研究了SH波入射角度对地表峰值加速度和场地地震动反应谱的影响，以期为更合理地评估输入地震波随机性对场地地震动参数的影响提供相关参考。同时，本文基于等效线性化方法求解的地震波斜入射成层场地自由场，能够为大型复杂场地斜入射有限元计算提供更为协调的外域自由场。

1.   SH波斜入射下的等效线性化方法

1.1   基本原理

设SH平面谐波以入射角$ \phi $从基岩向土层入射。在稳态情况下，入射SH波位移函数$ {u}_{3 n}^{\left(i\right)} $为：

式中，$ {{E}}_{{n}} $其中为上行波波幅系数；$ {\omega } $为入射波频率；$ {{k}}_{1} $和$ {{k}}_{2{{\rm{s}}}{n}} $为不同方向的圆波数，具体表示为：

式中，${c}_{{\rm{s}}n}=\sqrt{{\mu }_{n}/{\rho }_{n}}$为基岩剪切波波速。

由$ {u}_{3 n}^{\left(i\right)} $产生的波场步骤如下：

（1）对于整个基岩半空间，SH波位移场包括入射波场和反射波场，可以表示为：

式中，${{F}}_{{n}}$其中为下行波波幅系数。

对于成层土层，第j层SH波位移场为：

式中，$ {{E}}_{{j}} $和$ {F}_{{j}} $为第j层上行波及下行波波幅系数；$ {c}_{{\rm{s}}j}=\sqrt{{\mu }_{j}/{\rho }_{j}} $为第j层介质剪切波波速。

定义第j层土层波幅矢为${{{{\boldsymbol{H}}}_{{{j}}}}}$：

（2）根据相邻层介面上的位移连续及应力连续条件，将式（3）和式（4）代入整理后得到各层波幅矢之间的关系：

式中，$ {h}_{j} $为第j层土层层厚。

由此可得第j层波幅矢${{ {{\boldsymbol{H}}}_{j} }}$和最顶层波幅矢${{ {{\boldsymbol{H}}}_{1}}}$之间的转换关系为：

式中，${{{{\boldsymbol{T}}}_{{{j1}}}}}$为土层波幅矢量转换矩阵，也称为频域传递矩阵，其与各土层力学性质、土层厚度及入射圆频率有关。同样可得输入波幅矢${{{{\boldsymbol{H}}}_{{{n}}} }}$和第一层波幅矢${{{{\boldsymbol{H}}}_{{{1}}}}}$之间的转换关系如下：

（3）根据自由表面应力为0的边界条件，即$ {\left.{\tau }_{32}\right|}_{{x}_{2}=0}=0 $，可得：

所以顶层土层波幅矢可以写为：

将式（13）代入式（4）并令$ {x}_{2}=0 $，则自由地面位移为：

另外，将式（13）代入式（11），其结果可以写成如下形式：

由此可推得由$ {E}_{n} $计算$ {E}_{1} $的公式为：

综上，在已知基岩半空间入射下，根据式（9）、式（13）、式（17）可得任意土层地震反应的稳态位移、稳态剪应变，再经傅里叶逆变换可得任意土层暂态加速度反应及剪应变。在此基础上，利用王笃国等（2016）提出的SH波斜入射下土体等效剪应变确定方法及剪切模量比和阻尼比随应变幅值变化关系，通过迭代计算便可求得SH波斜入射下成层场地土层非线性地震反应。

1.2   方法验证

依据以上地震波斜入射下在水平层状场地中传播的基本原理，基于Fortran95语言及Intel Visual Fortran（IVF）环境编制了相应的计算程序。为了验证本文计算结果的有效性，采用本文方法与王笃国等（2016）提出的方法进行对比，其中，输入地震波、土层计算模型、成层介质力学参数等均采用该文献提供的数据。对SH波以0°、10°、20°、30°、40°、50°、60°、70°角度斜入射的情况进行地震反应计算，如图1所示。由图1可知，本文方法计算得到的地表峰值加速度随入射角度变化规律与文献结果基本一致，从而证明了本文方法的有效性。

图 1  SH波不同角度入射下自由表面加速度峰值变化比较

Figure 1.  Compare of the peak acceleration excited by SH wave with different angles

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2.   结果分析

2.1   输入地震波的确定

本文从美国太平洋地震工程研究中心（PEER）选取8条基岩台站强震观测记录作为输入地震波，基本信息如表1所示，加速度时程曲线如图2所示，峰值加速度均在0.22 g（220 gal）左右，加速度反应谱曲线如图3所示。

表 1  天然地震波基本信息

Table 1.  Basic information of natural ground motions

编号	地震名称	震级/级	台站名称	震中距/km	记录分量
1	1979年美国Imperial Valley-06地震	6.5	Parachute Test Site	12.69	225
2	1999年台湾集集地震	7.6	TCU046	16.74	EW
3	1978年伊朗Tabas地震	7.3	Tabas	2.05	L1
4	1999年台湾集集地震	7.6	TCU075	0.89	EW
5	2004年日本新泻地震	6.6	TYMH05	175.52	NS
6	1999年美国Hector Mine地震	7.1	Amboy	43.05	090
7	1999年台湾集集地震	7.6	TCU101	2.11	EW
8	2010年墨西El Mayor-Cucapah地震	7.2	El Centro Array #12	11.26	000

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图 2  天然地震波加速度时程曲线

Figure 2.  Acceleration time-history curves of input ground motions

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图 3  天然地震波加速度反应谱曲线

Figure 3.  Acceleration Spectrum curves of input ground motions

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2.2   场地放大效应

本文选取日本千叶场地（以下简称“场地1”）、北京某工程场地（以下简称“场地2”）建立典型土层结构模型，场地土层厚度、剪切波速及土层密度如表2、表3所示。依据GB 50011—2010《建筑抗震设计规范》（2016年版），场地1土层覆盖层厚度为40 m，等效剪切波速为253 m/s，属于Ⅱ类场地；场地2土层覆盖层厚度为128 m，等效剪切波速为203 m/s，属于Ⅲ类场地。场地1站点土剪切模量和阻尼比与应变关系曲线采用Katayama等（1990）提供的数据，场地2站点土剪切模量和阻尼比与应变关系曲线采用其地震安全性评价报告提供的参数，如图4所示。

表 2  千叶场地计算模型参数

Table 2.  Model parameters of the Chiba-ken site

土层编号	土类名称	剪切波速/ （m·s−1）	密度/（g·cm−3）	层厚/m
1	亚黏土	140	1.75	5
2	砂质黏土	320	1.80	5
3	细砂	320	2.00	14
4	细砂	420	2.10	16
5	基岩输入	540	2.20	—

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表 3  地铁17号线某站场计算模型参数

Table 3.  Model parameters of the Line 17 Subway site

土层编号	土类名称	剪切波速/ （m·s−1）	密度/（g·cm−3）	层厚/m
1	粉质黏土	192	1.90	10
2	细砂	236	1.95	25
3	粉质黏土	331	2.00	10
4	细砂	355	2.00	26
5	粉质黏土	362	2.05	12
6	粉质黏土	416	2.10	17
7	粉质黏土	467	2.15	28
8	基岩输入	505	2.20	—

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图 4  场地土剪切模量比和阻尼比随剪应变变化曲线

Figure 4.  The curve shows change of shear modulus ratio and damping ratio change with shear strain

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定义地震波以某一角度入射下的地表峰值加速度与地震波垂直入射下的地表峰值加速度比值为PGA放大系数：

式中，$ {A}_{\text{max,obq}} $表示地震波斜入射下的地表峰值加速度；$ {A}_{\text{max,ver}} $表示地震波垂直入射下的地表峰值加速度。

定义地震波以某一角度入射下的地表地震动反应谱与地震波垂直入射下的地表地震动反应谱比值为反应谱放大系数：

式中，${S}_{ \text{a,obq}}\left(T\right)$表示地震波斜入射下各周期点对应的反应谱值；${S}_{ \text{a,ver}}\left(T\right)$表示地震波垂直入射下各周期点对应的反应谱值。

以上PGA及反应谱放大系数均为地震波斜入射相对于垂直入射的放大效应，可以用来表示地震波入射角度对地震动的放大作用。

场地1的PGA放大系数（R_a）随入射角度变化曲线如图5所示，其中，黑色线表示平均值。由图5可知，随着入射角度的增大，R_a增大，当入射角度为45°～60°时，R_a达到1.15以上，即当地震波以45°～60°入射时的地表地震动峰值较地震波垂直入射时的地表地震动峰值高出15%以上，这种对峰值加速度放大最大的角度可称为最不利角度。由此可见，需要考虑地震波入射角度对场地地震动参数计算结果的影响。

图 5  地震波入射角度对峰值加速度放大系数的影响

Figure 5.  Influence of incident angle on PGA amplification coefficient

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为了更深入地了解地震波入射角度对加速度反应谱的影响，本文研究了地震波以60°入射下的反应谱放大系数R_s，其中，黑色线表示平均值。由图6可知，针对同一场地，在不同地震波斜入射下，反应谱放大频段基本相同；输入地震波的随机性对地震动反应谱放大效应具有一定影响，该影响在较高频范围较显著；在Ⅱ类场地条件下，周期＜0.5 s对应的反应谱比多大于1.1，周期点0.4 s处的反应谱比均值高达1.5，该周期范围往往是建筑工程抗震设计关心的范围；在Ⅲ类场地条件下，反应谱比最大值接近1.4，但相较于Ⅱ类场地，Ⅲ类场地反应谱比最大值对应的周期明显向长周期移动（周期超过了1.0 s），且影响的周期范围也变宽，这与场地卓越周期及输入地震波频谱特性有关。

图 6  所有地震波以60°入射下的反应谱谱比曲线

Figure 6.  Spectral ratio curves under the inputs of natural ground motions at 60°incidence

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1978年伊朗Tabas地震地震波反应谱谱比曲线（图6中橙红色虚线所示的R_s3）与反应谱平均谱比曲线相近。因此，为了考虑地震波输入强度的影响，本文将Tabas地震地震波最大加速度分别调整为0.10、0.40 g进行输入，计算结果如图7所示。由图7可知，在Ⅱ类场地条件下，随着入射波强度的增强，同一入射角度的PGA放大系数及反应谱放大系数均相应增加；在Ⅲ类场地条件下，地震波输入强度从0.10 g增至0.22 g时，同一入射角度的PGA放大系数有所增加，但在地震波输入强度0.40 g下，PGA放大系数及反应谱放大系数均较0.10 g、0.22 g时小，这与强震输入下土体强非线性有关；在强非线性条件下，斜入射放大的周期范围向长周期方向移动；对于同一场地，不同入射角度放大的周期范围基本一致。总体来说，地震波输入强度对地震波入射角度的放大效应有显著影响。同时，无论在何种场地类别和地震波输入强度下，地震波输入角度对实际工程关心的周期段反应谱放大效应均影响明显。实际工程中，尤其是距离发震断层较近且需要考虑行波效应的空间结构抗震设计，需要高度重视地震波入射角度对场地地震动参数的影响。

图 7  不同强度地震波斜入射下反应谱放大系数

Figure 7.  Magnification of response spectrum under oblique incidence with different intensities of seismic waves

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3.   结论

本文在推导SH波斜入射下传递矩阵的基础上，基于等效线性化方法研究了入射角度对成层场地地震动特性的影响，研究结果表明，地震波入射角度对成层场地地表峰值加速度影响明显，在大多数情况下，地震波斜入射的地表峰值加速度大于垂直入射；地震波斜入射下反应谱特性变化明显，入射角度不仅影响反应谱谱比幅值，也影响着谱比曲线形状，入射角度对反应谱的放大效应通常发生在工程感兴趣的周期范围，而对于不同场地类型，入射角度对Ⅲ类场地周期影响范围明显宽于Ⅱ类场地。

地震波入射角度对成层场地地表峰值加速度放大系数和加速度反应谱放大系数均有影响，影响程度虽受输入地震波强度和场地自身特性影响，但总体来说，地震波以一定角度斜入射下的放大效应大于垂直入射。因此，进行场地效应评估时要考虑入射角度的不确定性对场地地震动参数的影响，从而为重大工程提供更合理的抗震设防参数。