考虑脉冲参数随机性的近断层地震动降维建模

张钦; 刘子心; 刘章军

doi:10.11899/zzfy20230305

考虑脉冲参数随机性的近断层地震动降维建模

doi: 10.11899/zzfy20230305

张钦^1,,
刘子心²,
刘章军^1, ,

1.
武汉工程大学，土木工程与建筑学院, 武汉 430074
2.
防灾科技学院, 中国地震局建筑物破坏机理与防御重点实验室, 河北三河 065201

基金项目: 国家自然科学基金项目（51978543、52108444）；湖北省高等学校优秀中青年科技创新团队计划项目（T2020010）

详细信息

作者简介:
张钦，男，生于1998年。硕士研究生。主要从事工程结构抗震方面研究工作。E-mail：784338243@qq.com

通讯作者:
刘章军，男，生于1973年。教授，博士生导师。主要从事工程结构抗灾方面研究工作。E-mail：liuzhangjun73@aliyun.com

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出版历程
- 收稿日期: 2022-06-29
- 刊出日期: 2023-08-31

Dimension Reduction Modeling of Near-fault Ground Motion Considering Randomness of Pulse Parameters

Zhang Qin^1
,,
Liu Zixin²,
Liu Zhangjun^{1
, ,}

1.
School of Civil Engineering and Architecture, Wuhan Institute of Technology, Wuhan 430074, China
2.
Key Laboratory of Building Collapse Mechanism and Disaster Prevention, Institute of Disaster Prevention, China Earthquake Administration, Sanhe 065201, Hebei, China

摘要

摘要: 根据50组近断层脉冲型强震动记录，采用连续小波变换提取最强速度脉冲分量，建立最强速度脉冲峰值时刻的统计模型。对近断层地震动加速度高频分量的演变功率谱模型参数进行识别，并利用谱表示-随机函数方法实现了降维模拟，进而积分得到速度高频分量。对脉冲参数进行随机化处理，并采用改进Gabor小波模型随机模拟速度低频分量。将速度高频分量与低频分量叠加得到近断层地震动速度时程。数值算例表明，近断层地震动加速度代表性时程集合的幅值谱和反应谱均与实测记录拟合一致，验证了降维模拟方法的工程适用性。近断层脉冲型地震动的降维模拟与概率密度演化理论相结合，可实现工程结构的随机地震反应与抗震可靠性精细化分析。
- 近断层地震动 /
- 向前方向效应 /
- 速度脉冲识别 /
- 降维模拟
Abstract: Based on 50 groups of near-fault pulse-like ground motion records, the strongest velocity pulse component was extracted by continuous wavelet transform, and the statistical model of the peak time of strongest velocity pulse was established. At the same time, the parameters of the evolution power spectrum model of the high frequency component of near-fault ground motion acceleration are identified, and its dimension reduction simulation is realized by spectral representation-random function method, and then the high frequency component of velocity is obtained by integrating. Secondly, the pulse parameters are randomized and the improved Gabor wavelet model is used to simulate the low-frequency component of velocity. Finally, the process of near-fault ground motion velocity is obtained by superposing them. Numerical examples show that the amplitude spectrum and response spectrum of the representative time history set of near-fault ground motion acceleration are consistent with the measured records, which verifies the engineering applicability of the proposed method. The combination of dimension reduction simulation of near-fault pulse-like ground motion and probability density evolution theory can realize the subtle analysis of random seismic response and seismic reliability of engineering structures.
- Near-fault ground motion /
- Forward directivity /
- Velocity pulse identification /
- Dimension reduction simulation

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引言

全球范围内相继发生的大地震造成了近场区域内严重的工程结构破坏、人员伤亡和经济损失，引起了学术界对近断层地震动的广泛关注。由于接近震源，部分近断层地震动可能具有区别于远场地震动的速度大脉冲效应、方向性效应或上盘效应等特征，这也是造成工程结构破坏程度加剧的重要原因（刘启方等，2006；贾路等，2019）。

近断层地震动的向前方向效应和滑冲效应均会产生速度脉冲，目前众多学者开展了相关研究（Kalkan等，2006；罗金波等，2018）。Howard等（2005）将脉冲型地震动记录的加速度反应谱峰值对应的方向定义为最强脉冲方向；Shahi等（2014）将最大小波系数对应的方向定义为最强速度脉冲方向，相比于采用速度反应谱峰值定义最强脉冲方向，该方法能够更准确地反映速度脉冲特征；赵晓芬等（2018）提取了236组实测地震动记录的最强速度脉冲分量，给出了速度脉冲周期、速度脉冲峰值的回归关系式，但未区分脉冲产生的原因；李华聪等（2021）研究发现最强速度脉冲方向分量与垂直于断层走向分量的脉冲周期具有强相关性。此外，速度脉冲峰值时刻作为脉冲的关键特征之一，其重要性常被忽略，王宇航（2015）研究了其随断层距、震级的变化规律，并建议使用指数函数衰减模型。为此，本文在充分考虑断层类型、脉冲方向、脉冲产生原因的前提下，研究了速度脉冲峰值时刻与地震学参数的回归关系。

由于地震环境和场地条件限制，现有的近断层脉冲记录难以满足近场工程结构抗震分析需求（李启成等，2013；魏勇等，2018）。因此，人工模拟近断层脉冲型地震动受到广泛关注，其中，采用数学模型等效模拟实测记录中的低频脉冲成分是近断层脉冲型地震动模拟的主流方法。在此方面，Mavroeidis等（2003）提出的分段速度脉冲模型可模拟单个半波、2个半波及更多半波的脉冲形状，但该模型参数较多，操作复杂，不适合批量生成脉冲样本。田玉基等（2007）采用单一的连续函数形式刻画速度脉冲时程。杨福剑等（2019）基于小波包技术的随机地震动模拟方法，提出改进的参数化随机近断层脉冲型地震动模拟方法；Dickinson等（2011）建议的Gabor小波模型中的脉冲参数物理意义明确且较简单，易于参数识别和随机化处理，因此可利用该模型从随机过程模拟的角度批量生成脉冲样本。贾路等（2019）未结合实测脉冲型地震动记录对脉冲周期等脉冲参数及场地土卓越圆频率等高频模型参数进行识别；Yang等（2015）基于33条Chi-Chi地震记录，识别了K-T谱模型参数，但阻尼比建议值与规范要求差距较大。实际上，近断层地震动的速度大脉冲特性可能会影响高频分量的演变功率谱模型参数，如果直接采用远场地震动模型参数，可能导致模拟结果不够准确，但目前对该方面的研究较少。

针对上述研究现状，Shahi等（2014）在NGA-West2强震数据库中识别出244组速度脉冲记录，统计了244组脉冲记录对应的断层类型、速度脉冲产生原因及脉冲方向等信息，本文直接从中筛选出50组共100条断层类型为走滑断层、仅考虑向前方向效应且脉冲方向垂直于断层走向的地震动记录，提取其最强速度脉冲方向分量，并研究最强速度脉冲峰值时刻$ {t_{{\text{pk}}}} $与震级${M_{\text{W}}}$的变化规律。在演变功率谱模型和改进Gabor小波模型的基础上，对模型参数进行识别。采用含有1个基本随机变量的谱表示-随机函数降维模拟的方法对地震动高频分量进行模拟，结合含有4个基本随机变量的改进Gabor小波模型对低频脉冲分量进行模拟。将高频分量和低频分量直接叠加得到近断层脉冲型地震动速度时程，并通过与实测脉冲记录反应谱和幅值谱拟合验证本文方法的工程适用性。

1. 实测脉冲记录的挑选

Shahi等（2014）、陈笑宇等（2021）研究表明，在走滑断层中，向前方向性效应是引起脉冲型地震动的主要原因，且在倾滑断层中，易出现多脉冲的特殊情况。为简化计算，本文仅考虑断层类型为走滑断层的脉冲型地震动。同时，为避免不同脉冲方向对脉冲参数统计关系的影响（刘启方等，2006；Shahi等，2014；赵晓芬等，2021），本文仅选取脉冲方向垂直于断层走向的地震动记录。

本文筛选出50组共100条数据信息完备的实测脉冲记录，筛选原则如下：①震级${M_{\text{W}}}$为5.7～7.5级；②断层距R≤30 km；③场地条件为剪切波速V_s＞180 m/s；④每组地震动包含2个水平方向分量；⑤脉冲产生原因为向前方向性效应；⑥脉冲方向为垂直于断层走向。

2. 最强速度脉冲识别方法

首先按照98%能量持时，以地震动加速度时程累积能量达到总能量的1%和99%为地震动加速度时程的起点和终点，然后将实测地震动加速度时程积分得到对应的速度时程，按照Shahi等（2014）提出的连续小波变换方法提取最强速度脉冲方向分量。

对于水平任意方向上的速度分量，可由实测地震动记录中2个相互垂直的水平方向分量速度时程$ {V_1}(t) $和$ {V_2}(t) $线性组合得到，即：

$$ V(t,\alpha ) = {V_1}(t)\cos \alpha + {V_2}(t)\sin \alpha $$

(1)

式中，$ \alpha $为按照顺时针方向旋转的角度（$ {{{\text{rad}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{rad}}} {\text{s}}}} \right. } {\text{s}}} $）；$ V(t,\alpha ) $为旋转角$ \alpha $方向上的地震动速度分量。

利用连续小波变换方法对$ V(t,\alpha ) $进行变换：

$$ c(s,l,\alpha ) = \frac{1}{{\sqrt s }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {V(t,\alpha )\lambda \left( {\frac{{t - l}}{s}} \right){\text{d}}t} {\kern 1pt} {\kern 1pt} = \frac{1}{{\sqrt s }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left[ {{V_1}(t)\cos \alpha + {V_2}(t)\sin \alpha } \right]\lambda \left( {\frac{{t - l}}{s}} \right){\text{d}}t} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} $$

(2)

式中，$ c(s,l,\alpha ) $为$ V(t,\alpha ) $的小波系数；$ \lambda ( \cdot ) $为母小波函数；$ s $和$ l $分别为小波变换中的尺度参数和位移参数。

于是，最大小波系数可表示为：

$$ {c_{\max }}(s,l,\beta ) = \max \left[ {c(s,l,\alpha )} \right]{\kern 1pt} = \sqrt {c_1^2(s,l) + c_2^2(s,l)} {\kern 1pt} {\kern 1pt} $$

(3)

式中，$ {c_1}(s,l) $和$ {c_2}(s,l) $分别为$ {V_1}(t) $和$ {V_2}(t) $的小波系数。

因此，最大小波系数对应的最强速度脉冲方向$ \beta $为：

$$ \beta = \arctan \frac{{{c_2}(s,l)}}{{{c_1}(s,l)}} $$

(4)

脉冲因子$ {I_{\text{p}}} $可由地震动峰值速度比和能量比表示为：

$$ {I_{\text{p}}} = 9.384 \times \left( {0.76 - p - 0.0616{\rm{PGV}}} \right) \times \left( {p + 6.914 \times {{10}^{ - 4}}{\rm{PGV}} - 1.072} \right) - 6.179 $$

(5)

$$ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} p = 0.63{r_1} + 0.777{r_2}{\kern 1pt} {\kern 1pt} $$

(6)

$$ {\kern 1pt} {r_1} = \frac{{{{\rm{PGV}}_{{\text{res}}}}}}{{{\rm{PGV}}}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {r_2} = \frac{{{\rm{PGV}}_{{\text{res}}}^{\text{2}}}}{{{{\rm{PGV}}^{\text{2}}}}} $$

(7)

式中，$ {r_1} $和$ {r_2} $分别为提取最强速度脉冲后的残余地震动与原始地震动峰值比和能量比；$ {{\rm{PGV}}_{{\text{res}}}} $为残余地震动速度峰值，$ {\rm{PGV}} $为地震动最强速度脉冲峰值。

如果$ {I_{\text{p}}} > 0 $，表明此条地震波含有显著脉冲；如果$ {I_{\text{p}}} < 0 $，表明此条地震波不具有脉冲特征；如果$ {I_{\text{p}}} = 0 $，方法无效。为避免漏判，选取前5个最大的小波系数对应的方向分量，最终将$ {I_{\text{p}}} > 0 $且小波系数最大值对应分量定义为最强速度脉冲方向分量。

通过上述方法识别出最强速度脉冲分量后，最强速度脉冲峰值时刻$ {t_{{\text{pk}}}} $和最强速度脉冲峰值PGV可由统计分析直接得到。此外，最强速度脉冲周期$ {T_{\text{p}}} $一般利用小波伪周期估计（Bray等，2004）。近断层地脉冲型地震动如表1所示。

表 1 近断层脉冲型地震动记录信息

Table 1. Information of the measured records of near-fault pulse-like ground motions

RSN 编号	矩震级 M_W	断层距 R/km	脉冲周期 T_p/s	脉冲峰值 PGV/（cm·s⁻¹）	脉冲峰值时刻t_pk/s	RSN 编号	矩震级 M_W	断层距 R/km	脉冲周期 T_p/s	脉冲峰值 PGV/（cm·s⁻¹）	脉冲峰值时刻t_pk/s
150	5.7	3.10	1.23	49.60	2.725	1161	7.5	10.90	5.99	53.00	6.100
159	6.5	0.70	2.34	53.50	7.650	1176	7.5	4.80	4.95	90.60	11.750
161	6.5	10.40	4.40	36.70	8.880	4040	6.6	1.70	2.02	124.20	17.860
170	6.5	7.30	4.42	70.80	7.390	4065	6.0	2.90	1.22	35.80	4.915
171	6.5	0.10	3.42	116.40	4.980	4098	6.0	3.00	1.33	51.60	3.220
173	6.5	8.60	4.52	55.20	7.445	4100	6.0	3.00	1.08	57.90	3.185
178	6.5	12.90	4.50	55.80	8.210	4101	6.0	5.50	0.52	31.00	2.720
179	6.5	7.00	4.79	80.80	6.730	4102	6.0	3.60	1.02	43.50	3.115
180	6.5	4.00	4.13	96.50	7.195	4103	6.0	4.20	0.70	38.30	2.970
181	6.5	1.40	3.77	121.60	7.300	4107	6.0	2.50	1.19	81.90	3.445
182	6.5	0.60	4.38	111.90	5.880	4113	6.0	2.90	1.13	27.00	2.930
184	6.5	5.10	6.27	73.50	7.455	4115	6.0	2.60	1.19	56.50	3.120
185	6.5	7.50	4.82	73.40	7.075	4126	6.0	3.80	0.57	43.40	2.305
316	5.9	16.70	4.39	60.80	10.090	6887	7.0	18.10	12.60	59.90	31.130
451	6.2	0.50	1.07	76.80	3.585	6897	7.0	8.50	7.83	65.90	25.460
459	6.2	9.90	1.23	37.30	5.835	6911	7.0	7.30	9.92	106.10	24.840
568	5.8	6.30	0.81	68.30	1.405	6927	7.0	7.10	7.37	116.50	25.270
723	6.5	0.90	2.39	143.90	12.200	6928	7.0	25.70	10.60	30.20	21.590
838	7.3	34.90	9.13	28.80	14.960	6942	7.0	26.80	8.04	56.50	28.090
879	7.3	2.20	5.12	132.30	12.100	6960	7.0	13.60	9.39	63.80	26.220
900	7.3	23.60	7.50	55.80	18.440	6962	7.0	1.50	7.14	85.70	25.390
1106	6.9	1.00	1.09	105.60	7.820	6966	7.0	22.30	8.76	65.70	26.520
1114	6.9	3.30	2.83	103.00	9.850	6969	7.0	20.90	9.35	64.40	27.770
1119	6.9	0.30	1.81	95.60	5.390	6975	7.0	6.10	8.93	74.10	27.480
1120	6.9	1.50	1.55	153.20	6.170	8161	7.2	11.30	8.72	72.60	39.510

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3. 最强速度脉冲峰值时刻的统计分析

最强速度脉冲峰值时刻是速度脉冲的关键特征之一，因此本文主要研究最强速度脉冲峰值时刻的统计模型。由于接近震源，通常认为近断层地震动的低频脉冲加速度峰值时刻与高频加速度峰值时刻相同。杨庆山等（2014）根据峰值同步原则对近断层地震动高、低频分量进行叠加，即在时间轴上移动低频加速度时程，使其峰值时刻与高频加速度时程峰值时刻相同，由此得到平移后的低频加速度时程。但此方法不便于批量生成地震动样本。实际上，如果已知速度脉冲峰值时刻，可将高频速度时程与低频速度脉冲时程直接叠加得到近断层脉冲型地震动速度时程。该方法避免了峰值同步原则的繁琐步骤，简化了近断层脉冲型地震动的模拟。

首先对比研究$ t_{\mathrm{pk}} $与$M_{{\rm{W}}}$、R的相关性，结果表明，与R相比，$ M_{{\rm{W}}} $与$ t_{\mathrm{pt}} $的相关性更强，其Pearson、Spearman和Kendall相关系数分别为0.823 9、0.852 4和0.745 4。因此，本文仅考虑$ t_{{\rm{pk}}} $与$ M_{\mathrm{W}} $的相关性。根据非线性回归分析，本文采用三次多项式拟合$ t_{\mathrm{pt}} $与$ M_{{\rm{W}}} $得到式（8），并绘制$ {t_{{\text{pk}}}} $与$ {M_{\text{W}}} $回归模型，如图1所示。由图1可知，三次多项式拟合曲线符合实测值的变化趋势。另外，作为评判拟合效果的指标R-square高达0.8435，这也充分体现出了良好的拟合效果。

图 1 $ {t_{{\text{pk}}}} $与$ {M_{\text{W}}} $回归模型

Figure 1. Regression model between peak time$ {t_{{\text{pk}}}} $of the strongest velocity pulse and magnitude $ {M_{\text{W}}} $

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$$ \lg {t_{{\text{pk}}}} = - 0.9704M_{\text{W}}^{\text{3}} + 18.82M_{\text{W}}^{\text{2}} - 120.6{M_{\text{W}}} + 255.8 $$

(8)

4. 近断层脉冲型地震动降维模拟

本文对近断层脉冲型地震动高、低频分量分别进行模拟，对于其分界值，杨庆山等（2014）计算了11次地震、28条脉冲型地震动记录的功率谱密度，分析得到高、低频的分界限f_r = 2π rad/s。

4.1 时频非平稳模型的参数识别

4.1.1 全非平稳地震动演变功率谱模型识别

对于近断层脉冲型地震动的高频加速度时程模拟，选用可同时考虑地震动强度与频率非平稳特性的全非平稳演变功率谱模型，以全面准确地反映地震动过程的时-频非平稳特性，即：

$$ S_{ U_{{\rm{g}}}}(t, \omega)=|A(t, \omega)|^{2} S(\omega) $$

(9)

式中，${S_{ {U_{\rm{g}}}}}(t,\omega )$表示全非平稳地震动加速度过程${U_{\rm{g}}}(t)$的单边演变功率谱密度函数；$ A(t,\omega ) $表示时-频调制函数；$ S(\omega ) $表示（平稳）地震动加速度过程的单边功率谱密度函数。

对于时-频调制函数，采用Deodatis等（1989）提出并由刘章军等（2017）改进的模型：

$$ A(t, \omega)=\frac{\exp (-a \times t)-\exp [-(c \times \omega+b) \times t]}{\exp \left(-a \times t^*\right)-\exp \left[-(c \times \omega+b) \times t^*\right]} $$

(10)

$$ t^{*}=\frac{\ln (c \times \omega+b)-\ln (a)}{c \times \omega+(b-a)} $$

(11)

式中，$ \omega>0, t>0 $，参数$ b=a+0.001 $，$ c=0.005 $。参数$ a $控制地震动过程衰减快慢，单位为$ \mathrm{s}^{-1} $，一般地，$ a $越大，地震动过程衰减越快。

对于平稳地震动加速度过程的单边功率谱模型，本文采用Clough-Penzien模型（Clough等，2003）：

$$ S\left( \omega \right) = \frac{{\omega _{\text{g}}^4 + 4\zeta _{\text{g}}^2\omega _{\text{g}}^2{\omega ^2}}}{{{{\left( {{\omega ^2} - \omega _{\text{g}}^2} \right)}^2} + 4\zeta _{\text{g}}^2\omega _{\text{g}}^2{\omega ^2}}} \times \frac{{{\omega ^4}}}{{{{\left( {{\omega ^2} - \omega _{\text{f}}^2} \right)}^2} + 4\zeta _{\text{f}}^2\omega _{\text{f}}^2{\omega ^2}}} \times {S_0} $$

(12)

式中，$ \omega_{\mathrm{g}} $和$ \zeta_{\mathrm{g}} $分别为场地土的卓越圆频率和阻尼比；$ \omega_{\mathrm{f}} $和$ \zeta_{\mathrm{f}} $分别为基岩的卓越圆频率和阻尼比，一般取$ \omega_{\mathrm{f}}=0.1 \omega_{\mathrm{g}} $，$ \zeta_{\mathrm{f}}=\zeta_{\mathrm{g}} $；$ S_{ 0} $为谱强度因子，可表示为（Clough等，2003）：

$$ S_{ 0}=2 \times \frac{\bar{A}_{\max }^{2}}{r^{2} {\text{π}} \omega_{\mathrm{g}}\left(2 \zeta_{\mathrm{g}}+\dfrac{1}{2 \zeta_{\mathrm{g}}}\right)} $$

(13)

式中，$ \bar{A}_{\max } $为地震动峰值加速度均值；$ r $为峰值因子。

4.1.2 演变功率谱模型的参数识别

近断层脉冲型地震动高频成分的加速度时程和远场地震动加速度时程相似，一般可利用模拟远场地震动时的模型参数模拟近断层脉冲型地震动加速度高频分量。然而，考虑到近断层地震动显著的速度脉冲特性可能对其高频分量造成影响，因此，提取实测记录的高频分量，对时-频全非平稳模型进行参数识别（姜云木等，2021），以实现对近断层脉冲型地震动的精确模拟。

需说明的是，由于进行场地土的卓越圆频率和阻尼比识别时，对加速度记录均进行了调幅，因此需识别的参数不包含峰值因子$ \gamma $和地震动峰值加速度均值$ \bar{A}_{\max } $。此处，用$ \chi $表示所需识别的参数，即$ \chi=\left[\omega_{\mathrm{g}}, \zeta_{\mathrm{g}}, a\right] $，于是演变功率谱模型的频域能量分布函数为$ P(\omega, \chi) $（范增磊，2017）：

$$ P(\omega ,\chi ) = \int_0^\infty {{S_{ {U_{\rm{g}}}}}(t,\omega )} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {{{\rm{d}}t = }}\frac{{\left( {\dfrac{1}{{2b + 2c\omega }} + \dfrac{1}{{2a}} - \dfrac{2}{{a + b + c\omega }}} \right)S(\omega )}}{{{{\left\{ {\exp ( - a \times {t^*}) - \exp \left[ { - (c \times \omega \times b) \times {t^*}} \right]} \right\}}^2}}} $$

(14)

对于第i条实测记录能量分布函数$ P_{i}(\omega) $，可表示为第i条实测记录的平稳功率谱密度函数$ S_{ i}(\omega) $与强震持时$ T_{d,i} $的乘积（Liang等，2007；姜云木等，2021）：

$$ P_{i}(\omega)=\int_{0}^{T_{i}} S_{ u_{{\rm{g}}, i}}(t, \omega) {\rm{d}} t=S_{ i}(\omega) \times T_{d, i} $$

(15)

式中，$S_{u_{{\rm{g}}, i}}(t, \omega)$和$ S_{i}(\omega) $分别为第i条实测记录的演变功率谱和平稳功率谱；$ T_{i} $和$ T_{d, i} $分别为第i条实测记录的地震动总持时和强震持时。

强震持时$ T_{d,i} $可表示为（Vanmarcke等，1980）：

$$ T_{d, i}=\frac{\displaystyle\int_{0}^{T_{i}} u_{\mathrm{g}, i}^{2}(t) \mathrm{d} t}{\displaystyle\int_{0}^{\omega_{u,i}} S_{i}(\omega) \mathrm{d} \omega} $$

(16)

式中，$u_{{\rm{g}},i}(t)$为第i条实测地震记录加速度时程；$ \omega_{u, i} $为第i条实测地震记录时程的上限截止频率。

$$ \int_{0}^{\infty}\left|P_{i}(\omega)-P(\omega, \chi)\right|^{2} \mathrm{d} \omega \rightarrow \min $$

(17)

典型实测记录的能量分布曲线、均值曲线和标准差曲线与拟合的能量分布函数对比如图2所示。由图2可知，模拟值与实测值均拟合良好，验证了识别结果的有效性。对50条实测记录识别的参数向量取平均值，得到${\chi _m} = \left[ {15.7,0.887,0.59} \right] $。

图 2 高频能量分布拟合曲线

Figure 2. High frequency energy distribution fitting curve

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4.2 高频分量地震动加速度过程的降维模拟

引入基于谱表示的随机函数降维模拟方法（Liu等，2016，2018），以实现近断层地震动加速度高频分量的降维模拟。

对于零均值的实非平稳地震动过程$ U_{{\rm{g}}}(t) $，其源谱表示为：

$$ U_{\mathrm{g}}(t)=\sum_{k=1}^{N} \sigma_{k}\left[X_{k} \cos \left(\omega_{k} t\right)+Y_{k} \sin \left(\omega_{k} t\right)\right] $$

(18)

$$ \sigma_{k}=\sqrt{S_{ U_{g}}\left(t, \omega_{k}\right) \Delta \omega} $$

(19)

式中，$ \Delta \omega $为频率步长，$ \Delta \omega=\omega_{u} / N $，${\omega}_{\mathrm{u}}$为截断频率，N为截断项数。

$ \left\{X_{k}, Z_{k}\right\} $为1组标准正交随机变量，满足以下基本条件：

$$ E\left[X_{k}\right]=E\left[Y_{k}\right]=0 \text{，} E\left[X_{j} Y_{k}\right]=0 $$

(20)

$$ E\left[X_{j} X_{k}\right]=E\left[Y_{j} Y_{k}\right]=\delta_{j k} $$

(21)

式中，$ E[\cdot]$为数学期望；$ \delta_{j k} $为Kronecker-delta记号。

进一步，将标准正交随机变量$ \left\{X_{k}, Z_{k}\right\} $表达成以下的随机函数形式：

$$ X_{k}=\sqrt{2} \cos \left(\bar{k} \varTheta+\frac{{\text{π}} }{4}\right), Y_{k}=\sqrt{2} \sin \left(\bar{k} \varTheta+\frac{{\text{π}} }{4}\right) $$

(22)

式中，$ \overline k ,k = 1,2, \cdots ,N $；$ \varTheta $为在区间$ \left[ {0,2{\text{π}} } \right) $上服从均匀分布的基本随机变量。

可以证明，式（22）完全满足式（20）和式（21）定义的基本条件。$ \overline k $与$ k $存在某种确定性一一映射关系，采用Matlab软件工具箱中自带的函数rand（‘state’,0）和randperm（N）可实现该确定性的一一映射过程，即$ \overline k $与$ k $之间一一对应的确定性关系可表示为$ \overline k = {\rm{temp}}(k) $。由此可见，仅用1个基本随机变量即可模拟近断层地震动的高频分量，从而有效克服传统Monte Carlo模拟方法由于高维随机变量带来的挑战。

4.3 低频分量参数识别与降维模拟

采用Gabor小波模型最小二乘拟合提取50条脉冲时程时发现脉冲半波数$ N_{\mathrm{t}} $的初值难以判断，严重影响脉冲参数识别效率。为此，对脉冲半波数$ N_{\mathrm{c}} $和脉冲周期$ T_{{\rm{p}}} $的相关性进行研究，得出Pearson相关性和Spearman相关系数分别为0.08和0.1，这与Yang等（2015）研究结果一致。因此，本文对Dickinson等（2011）提出的Gabor小波模型进行改进，即：

$$ {V_{\rm{p}}} = {\rm{PGV}} \times \exp \left[ { - \frac{{{{\text{π}} ^2}}}{4}{{\left( {\frac{{t - {t_{{\rm{pk}}}}}}{{T_{\rm{N}}}}} \right)}^2}\cos \left( {2{\text{π}} \frac{{t - {t_{{\rm{pk}}}}}}{{{T_{\rm{p}}}}} - \varphi } \right)} \right] $$

(23)

式中，$ V_{{\rm{p}}} $、$ T_{\mathrm{p}} $、$ {t_{{\rm{pk}}}} $、$ T_{\rm{N}} $、$ \varphi $分别表示脉冲时程、最强速度脉冲周期、脉冲峰值时刻、脉冲半波持时、脉冲相位角。

需指出的是，$T_{\rm{N}}$代替2个不相关参数$ N_{\mathrm{c}} $和$ T_{{\rm{p}}} $的乘积，这样可通过观察半波持时直接输入$ T_{\rm{N}} $初值，从而在一定程度上提高了脉冲识别和模拟效率。

该改进模型将原模型中的2个独立随机变量$ N_{\mathrm{c}} $和$ T_{{\rm{p}}} $替换为1个随机变量$ T_{\rm{N}} $。对于式（23）中参数的概率分布，由于在高频分量建模中已将地震动持时设置为30 s，如果将速度脉冲峰值时刻作为随机变量，会出现脉冲峰值时刻大于30 s的情况，最终将PGV、T_N、$ \varphi $、$ T_{{\rm{p}}} $作为随机变量处理，其中，PGV服从广义极值分布，T_N服从对数正态分布，$ \varphi $服从正态分布，$ T_{{\rm{p}}} $服从威布尔分布，其频率直方图及拟合的概率分布如图3所示。

图 3 低频脉冲模型参数的经验分布函数

Figure 3. Empirical distribution functions of low- frequency pulse model parameters

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4.4 算法与选点步骤

在近断层脉冲型地震动降维模拟过程中，加速度高频分量采用演变功率谱密度模型，并按表2中模型参数进行模拟；速度低频脉冲分量结合表3参数取值并采用式（23）进行模拟，其中$ {t_{{\rm{pk}}}} $可由式（8）计算得到。最终将加速度高频分量转化为速度高频分量，并与速度低频分量叠加生成近断层脉冲型地震动速度时程。

表 2 近断层地震动高频分量模型参数取值

Table 2. Simulation parameters of high-frequency component in near-fault ground motion

参数	取值	参数	取值
频率离散点数N	1 600	地震动峰值加速度${ \overline{A}}_{\mathrm{max}} $	240 cm·s⁻²
截止频率上限$ \omega_{{\rm{u}}} $	50π rad·s⁻¹	峰值因子$ r $	2.6
截止频率下限$ \omega_{1} $	2π rad·s⁻¹	场地土卓越圆频率$ \omega_{{\rm{g}}} $	15.7 rad·s⁻¹
频率离散步长$ \Delta \omega $	0.094 rad·s⁻¹	场地土阻尼比$ \zeta_{{\rm{g}}} $	0.887
高、低频分界限$ f_{{\rm{r}}} $	2π rad·s⁻¹	基岩卓越圆频率$ \omega_{{\rm{f}}} $	1.57 rad·s⁻¹
地震动持时$ T $	30 s	基岩阻尼比$ \zeta_{{\rm{f}}} $	0.887
时间步长$ \Delta t $	0.02 s	样本数量$ n_{{\rm{sel}}} $	1 069

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表 3 近断层地震动低频脉冲成分模型参数取值

Table 3. Simulation parameters of low-frequency component in near-fault ground motion

模型参数	概率分布	概率分布系数
T_N	对数正态分布	M₁=1.028 1，S₁=0.903 4
$ \varphi $	正态分布	M₂=−0.66，S₂=2.80
PGV	广义极值分布	k=0.008 7，Sigma=24.64，M_u=58.47
$T_{\rm{p}} $	威布尔分布	S_c=4.998 4，S_a=1.405 5
注：M₁、S₁分别为对数正态分布的均值和标准差；M₂、S₂分别为正态分布的均值和标准差；Sigma、M_u、k分别为广义极值分布的尺度参数、位置参数和形状参数；S_c和S_a分别为威布尔分布的尺度参数和形状参数。

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构建近断层脉冲型地震动高、低频分量的基本随机变量集$ \varTheta_{i}(i=1,2,3,4,5) $。为生成近断层脉冲型地震动过程的代表性样本集合，须对基本随机变量集$ \varTheta_{i}(i=1,2,3,4,5) $进行代表性点集的选取。所以在5维空间中应用数论方法选取均匀离散的初始代表性点集$ \left\{\vartheta_{1, l}, \vartheta_{2, l}, \vartheta_{3, l}, \vartheta_{4, l}, \vartheta_{5, l}\right\}_{l=1}^{n_{\mathrm{sel}}}$（Li等，2007），并计算初始代表性点集的赋得概率$ P_l\left(l=1,2, \cdots, n_{\mathrm{sel}}\right)$，显然$P_l=1 / n_{\text {sel }} $。

对于初始代表性点集$\left\{\vartheta_{1, l}\right\}_{l=1}^{n_{\mathrm{sel}}}$，用于生成随机变量$ \{ {X_k},{Y_k}\} $。由于式（22）中的基本随机变量服从$ \left( {0,2\pi } \right] $上的均匀分布，因此有：

$$ {\theta _{1,l}} = 2{\text{π }}{\vartheta _{1,l}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {l = 1, \ldots ,{n_{{\text{sel}}}}} \right) $$

(24)

对于初始代表性点集${\vartheta _{2,l}}\text{～}{\vartheta _{5,l}}$，分别用于改进Gabor小波模型中的参数$ {\rm{PGV}},T_{\rm{N}},\varphi ,{T_{\text{p}}} $。根据表3，利用随机变量的等概率反变换，可得：

$$ {\theta _{2,l}} = {{\rm{PGV}}_l} = F_{{\rm{PGV}}}^{ - 1{\kern 1pt} }({\kern 1pt} {\vartheta _{2,l}}) $$

(25)

$$ {\theta _{3,l}} = {T_{{\rm{N}}l}} = F_{T_{\rm{N}}}^{ - 1{\kern 1pt} }({\kern 1pt} {\vartheta _{3,l}}) $$

(26)

$$ {\theta _{4,l}} = {\varphi _l} = F_\varphi ^{ - 1{\kern 1pt} }({\kern 1pt} {\vartheta _{4,l}}) $$

(27)

$$ {\theta _{5,l}} = {T_{{\text{p}},l}} = F_{{T_{\text{p}}}}^{ - 1{\kern 1pt} }({\kern 1pt} {\vartheta _{5,l}}) $$

(28)

式中，$ l = 1{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} ,{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} \ldots {\kern 1 pt} {\kern 1 pt} ,{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} {\kern 1 pt} {n_{{\text{sel}}}} $，$F_{{\rm{PGV}}}^{ - 1{\kern 1 pt} },F_{T_{\rm{N}}}^{ - 1{\kern 1 pt} },F_\varphi ^{ - 1{\kern 1 pt} },F_{{T_{\text{p}}}}^{ - 1{\kern 1 pt} }$分别表示${\rm{PGV}},T_{\rm{N}},\varphi ,{T_{\text{p}}}$最优累计分布函数的反函数。

由上述公式可得到具有随机性的改进Gabor小波模型参数及近断层脉冲型地震动过程的基本随机变量集$ \varTheta_{i}(i=1,2,3,4,5) $，将基本随机变量集$ {\varTheta _1} $的代表性点集$ \left\{\theta_{1, l}\right\}_{l=1}^{n_{\mathrm{sel}}} $代入随机函数式（22）中，通过一一映射的方式得到正交随机变量集。利用式（18）和式（19）可得到近断层脉冲型地震动加速度高频分量的代表性样本集合。取代表性点集$\left\{{\rm{P G V}}_{l}, T_{{\rm{N}}l}, \varphi_{l}, T_{{\rm{p}}, l}\right\}_{t=1}^{n_{\mathrm{sel}}}$用于生成低频速度脉冲时程集合，从而得到近断层脉冲型地震动加速度时程，实现了仅需5个基本随机变量即可精确模拟近断层脉冲型地震动过程。

降维模拟方法能够有效避免传统Monte Carlo方法带来的样本数量庞大与样本集合概率信息不完备的问题，仅需少量样本即可在全概率层面上反映近断层脉冲型地震动过程的概率特性，具有与概率密度演化方法（Li等，2006）结合的天然优势，为实现复杂工程结构在近断层脉冲型地震动作用下的精细化动力反应分析与可靠性评价提供基础。

5. 数值算例与验证

5.1 模型参数

假设工程所在地发生M_W6.5地震，由式（8）算得t_pk = 3.54 s。识别得到高频分量的演变功率谱模型参数$ a=0.59 $，其余参数如表2所示，低频脉冲成分参数取值如表3所示。

5.2 计算结果分析

本文采用降维模拟方法生成了1 069条近断层脉冲型地震动代表性样本。图4（a）所示为采用降维方法生成的高频分量代表性加速度时程，其具有显著的非平稳性；图4（b）所示为采用改进Gabor小波方法生成的低频分量代表性速度脉冲时程，其具有显著的速度脉冲特性。

图 4 近断层地震动高、低频分量代表性时程

Figure 4. Representative time-history of high and low frequency components of near-fault ground motions

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对于目标值，由于$ {U_{\rm{g}}}(t) $为1个零均值的随机过程，所以$ {U_{\rm{g}}}(t) $的目标均值为0，目标标准差是由演变功率谱即式（9）积分并开平方根得到的。同样地，式（23）经积分得到低频速度脉冲时程的目标均值与标准差。对于模拟值，由生成的1 069条代表性样本取均值和标准差即可得到。模拟值和目标值的对比如图5所示，由图5可知，高频分量与低频分量的模拟值与目标值误差均＜5%，满足工程要求，验证了降维模拟方法的精确性。

图 5 近断层地震动高、低频分量代表性样本集合均值、标准差的目标值与模拟值比较

Figure 5. Comparison of mean, standard deviation of representative time-history set of high and low frequency components upon near-fault ground motions with the target values

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图6（a）所示为将高频分量与低频分量进行叠加得到的近断层脉冲型地震动加速度时程，图6（b）和图6（c）分别为对加速度时程进行一次积分和二次积分得到的速度时程与位移时程。向前方向性效应在速度、位移波形图上通常表现为持时短且具有大幅值的脉冲，其引起的速度脉冲通常呈现双向往复形式。由图6（b）和图6（c）可知，降维模拟方法生成的近断层脉冲型地震动代表性样本具有向前方向性效应和速度大脉冲特征。

图 6 近断层地震动的代表性时程

Figure 6. The representative time-histories of near-fault ground motions

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为验证降维模拟方法的工程适用性，将模拟值与实测值进行比较。将实测记录与模拟结果均调幅至240 cm/s²，分别计算样本与实测记录的加速度反应谱和傅里叶幅值谱。实测记录的加速度反应谱和傅里叶幅值谱与模拟结果的对比如图7所示，由图7可知，实测地震动反应谱均值和幅值谱均值基本包含在模拟均值±1倍标准差范围内。

图 7 近断层地震动加速度反应谱、幅值谱模拟值与实测值的比较

Figure 7. Comparison of simulated value and measured value of response spectrum and amplitude spectrum of near-fault ground motion acceleration

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6. 结语

本文结合实测强震动记录，对近断层地震动脉冲特征，高、低频分量模型参数，频谱等进行研究，并利用降维模拟方法实现近断层脉冲型地震动的降维建模，主要得出以下结论：

（1）本文通过建立最强速度脉冲峰值时刻的统计模型，即可给定震级确定速度脉冲峰值时刻，简化了模拟步骤。

（2）对近断层地震动高、低频分量模型参数进行了识别，给出了高频分量模型参数建议值和低频分量模型参数概率分布。利用5个随机变量即可实现近断层脉冲型地震动的降维模拟，提高了模拟精度。

（3）数值算例表明降维模拟方法生成的代表性样本反应谱、幅值谱与实测记录拟合良好，验证了近断层脉冲型地震动降维模拟方法的工程适用性。

（4）降维模拟方法生成的地震动具有近断层地震动主要特征，即向前方向性效应和速度大脉冲特征，丰富了近断层区域结构随机地震反应分析和抗震研究的地震动输入。

图 1 $ {t_{{\text{pk}}}} $与$ {M_{\text{W}}} $回归模型

Figure 1. Regression model between peak time$ {t_{{\text{pk}}}} $of the strongest velocity pulse and magnitude $ {M_{\text{W}}} $

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图 2 高频能量分布拟合曲线

Figure 2. High frequency energy distribution fitting curve

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图 3 低频脉冲模型参数的经验分布函数

Figure 3. Empirical distribution functions of low- frequency pulse model parameters

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图 4 近断层地震动高、低频分量代表性时程

Figure 4. Representative time-history of high and low frequency components of near-fault ground motions

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图 5 近断层地震动高、低频分量代表性样本集合均值、标准差的目标值与模拟值比较

Figure 5. Comparison of mean, standard deviation of representative time-history set of high and low frequency components upon near-fault ground motions with the target values

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图 6 近断层地震动的代表性时程

Figure 6. The representative time-histories of near-fault ground motions

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图 7 近断层地震动加速度反应谱、幅值谱模拟值与实测值的比较

Figure 7. Comparison of simulated value and measured value of response spectrum and amplitude spectrum of near-fault ground motion acceleration

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表 1 近断层脉冲型地震动记录信息

Table 1. Information of the measured records of near-fault pulse-like ground motions

RSN 编号	矩震级 M_W	断层距 R/km	脉冲周期 T_p/s	脉冲峰值 PGV/（cm·s⁻¹）	脉冲峰值时刻t_pk/s	RSN 编号	矩震级 M_W	断层距 R/km	脉冲周期 T_p/s	脉冲峰值 PGV/（cm·s⁻¹）	脉冲峰值时刻t_pk/s
150	5.7	3.10	1.23	49.60	2.725	1161	7.5	10.90	5.99	53.00	6.100
159	6.5	0.70	2.34	53.50	7.650	1176	7.5	4.80	4.95	90.60	11.750
161	6.5	10.40	4.40	36.70	8.880	4040	6.6	1.70	2.02	124.20	17.860
170	6.5	7.30	4.42	70.80	7.390	4065	6.0	2.90	1.22	35.80	4.915
171	6.5	0.10	3.42	116.40	4.980	4098	6.0	3.00	1.33	51.60	3.220
173	6.5	8.60	4.52	55.20	7.445	4100	6.0	3.00	1.08	57.90	3.185
178	6.5	12.90	4.50	55.80	8.210	4101	6.0	5.50	0.52	31.00	2.720
179	6.5	7.00	4.79	80.80	6.730	4102	6.0	3.60	1.02	43.50	3.115
180	6.5	4.00	4.13	96.50	7.195	4103	6.0	4.20	0.70	38.30	2.970
181	6.5	1.40	3.77	121.60	7.300	4107	6.0	2.50	1.19	81.90	3.445
182	6.5	0.60	4.38	111.90	5.880	4113	6.0	2.90	1.13	27.00	2.930
184	6.5	5.10	6.27	73.50	7.455	4115	6.0	2.60	1.19	56.50	3.120
185	6.5	7.50	4.82	73.40	7.075	4126	6.0	3.80	0.57	43.40	2.305
316	5.9	16.70	4.39	60.80	10.090	6887	7.0	18.10	12.60	59.90	31.130
451	6.2	0.50	1.07	76.80	3.585	6897	7.0	8.50	7.83	65.90	25.460
459	6.2	9.90	1.23	37.30	5.835	6911	7.0	7.30	9.92	106.10	24.840
568	5.8	6.30	0.81	68.30	1.405	6927	7.0	7.10	7.37	116.50	25.270
723	6.5	0.90	2.39	143.90	12.200	6928	7.0	25.70	10.60	30.20	21.590
838	7.3	34.90	9.13	28.80	14.960	6942	7.0	26.80	8.04	56.50	28.090
879	7.3	2.20	5.12	132.30	12.100	6960	7.0	13.60	9.39	63.80	26.220
900	7.3	23.60	7.50	55.80	18.440	6962	7.0	1.50	7.14	85.70	25.390
1106	6.9	1.00	1.09	105.60	7.820	6966	7.0	22.30	8.76	65.70	26.520
1114	6.9	3.30	2.83	103.00	9.850	6969	7.0	20.90	9.35	64.40	27.770
1119	6.9	0.30	1.81	95.60	5.390	6975	7.0	6.10	8.93	74.10	27.480
1120	6.9	1.50	1.55	153.20	6.170	8161	7.2	11.30	8.72	72.60	39.510

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表 2 近断层地震动高频分量模型参数取值

Table 2. Simulation parameters of high-frequency component in near-fault ground motion

参数	取值	参数	取值
频率离散点数N	1 600	地震动峰值加速度${ \overline{A}}_{\mathrm{max}} $	240 cm·s⁻²
截止频率上限$ \omega_{{\rm{u}}} $	50π rad·s⁻¹	峰值因子$ r $	2.6
截止频率下限$ \omega_{1} $	2π rad·s⁻¹	场地土卓越圆频率$ \omega_{{\rm{g}}} $	15.7 rad·s⁻¹
频率离散步长$ \Delta \omega $	0.094 rad·s⁻¹	场地土阻尼比$ \zeta_{{\rm{g}}} $	0.887
高、低频分界限$ f_{{\rm{r}}} $	2π rad·s⁻¹	基岩卓越圆频率$ \omega_{{\rm{f}}} $	1.57 rad·s⁻¹
地震动持时$ T $	30 s	基岩阻尼比$ \zeta_{{\rm{f}}} $	0.887
时间步长$ \Delta t $	0.02 s	样本数量$ n_{{\rm{sel}}} $	1 069

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表 3 近断层地震动低频脉冲成分模型参数取值

Table 3. Simulation parameters of low-frequency component in near-fault ground motion

模型参数	概率分布	概率分布系数
T_N	对数正态分布	M₁=1.028 1，S₁=0.903 4
$ \varphi $	正态分布	M₂=−0.66，S₂=2.80
PGV	广义极值分布	k=0.008 7，Sigma=24.64，M_u=58.47
$T_{\rm{p}} $	威布尔分布	S_c=4.998 4，S_a=1.405 5
注：M₁、S₁分别为对数正态分布的均值和标准差；M₂、S₂分别为正态分布的均值和标准差；Sigma、M_u、k分别为广义极值分布的尺度参数、位置参数和形状参数；S_c和S_a分别为威布尔分布的尺度参数和形状参数。

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