Analysis of Seismic Statistical Characteristics Based on POT Model in Kunlun Mountain Area
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摘要: 极值统计是研究较少发生但一旦发生即产生极大影响的随机事件的有效方法。本文以地震活动频繁的昆仑山地区作为研究区域，建立了基于广义帕累托分布的超阈值（POT）模型，并讨论了该地区若干地震活动性参数，包括强震震级分布、潜在震级上限、强震平均复发间隔、一定周期内的强震发震概率、一定时期内的重现水平和超定值重现震级。经统计分析得到：该地区震级阈值选定为MS5.5，超阈值期望震级为MS6.81，潜在震级上限高达MS9.08，MS8.0的平均复发间隔仅为66.8年，未来3年该地区发生MS5.5～MS6.5的概率在80%以上，百年重现水平即可达到历史最大震级MS8.1。
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关键词:
- 广义帕累托分布 /
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超阈值(
POT)模型 / - 潜在震级上限 /
- 重现水平
Abstract: Extreme value statistics is an effective method to study random events that rarely occur but can cause great impact once they occur. This article takes the Kunlun Mountains area with frequent seismic activities as the research area. We establish a peaks over threshold (POT) model based on the generalized Pareto distribution. Then we discuss several seismic activity parameters, including: strong earthquakes magnitude distribution, upper limit of potential magnitude, average recurrence period, probability of strong earthquakes in a certain period in the future, the recurrence level and expected recurrence magnitude in a certain period. According to statistical analysis, the magnitude threshold of the region is selected as MS5.5. The expected magnitude over the threshold is MS6.81 and the upper limit of potential magnitude is MS9.08. The average recurrence period of MS8.0 is only 66.8 years. The probabilities of MS5.5 ~ MS6.5 are all above 80%. The 100-year return period can reach the historical maximum magnitude MS8.1. -
引言
配置多重复合箍筋的高强混凝土柱是新型抗侧力构件（雷自学等，2010；黄永安，2019；黄永安等，2019；邢国华等，2020），其主要特征是在柱中核心区配置复杂箍筋和纵筋，与约束混凝土共同组成“加芯柱”，从而改善结构抗震性能，这已得到理论和试验验证（范重等，2001；Yin等，2012；张微敬等，2013）。
对试验滞回曲线进行抽象简化获得的数学模型，即为恢复力模型，包括恢复力骨架曲线和滞回规则（郭子雄等，2004b；张艳青等， 2017，2018）。该模型服务于结构或构件在地震作用下的弹塑性分析，是结构设计不可或缺的关键元素。理想的恢复力模型应能较好地反映构件在地震作用下的真实特性，通常包括强度退化、刚度退化等方面特性。
董三升等（2012）对6根高强混凝土加芯柱进行拟静力试验，研究了试件破坏形态、滞回特性和延性性能，通过分析骨架曲线关键特征，建立了高强混凝土加芯柱三折线恢复力模型，但模型特征值的确定方法未考虑不同分区混凝土约束情况的差异。目前有关框架柱恢复力模型的研究成果仅基于某些特定的截面类型（郭子雄等，2004a；阎石等，2005；李正良等，2010；齐岳等，2010），针对复杂配箍形式框架柱恢复力模型的研究较少。邢国华等（2020）对高强混凝土多重复合芯柱进行了低周往复荷载试验研究，结果表明，高强混凝土多重复合芯柱具有良好的滞回延性和耗能性能，但该研究缺乏对高强混凝土多重复合芯柱恢复力模型及特性的研究。鉴于上述局限性，本文根据8根高强混凝土多重复合芯柱拟静力试验结果，结合理论分析和数值回归方法，提出适用于该类芯柱的恢复力模型。
1. 试验概况
本试验共制作8根高强混凝土多重复合芯柱试件，参数变量为轴压比、配箍率、配箍形式和箍筋间距，配筋详情及尺寸参数如图1、表1所示。芯柱试件选用强度等级为C50的商品混凝土，实测混凝土立方体抗压强度为54.3 MPa。其他材料性能、应变观测方法、加载设备等详情见邢国华等（2020）的研究。为反映高强混凝土多重复合芯柱在实际结构中的受力情况，低周往复荷载试验采用悬臂梁式加载方式，加载装置如图2所示。荷载采用位移控制模式加载，首先以2 mm为级差逐级递增的方式加载，每级位移循环1次；位移达10 mm后，以10 mm为级差逐级加载，每级位移循环3次，当水平承载力降低至峰值荷载的85%时，停止加载，宣告试件破坏。
表 1 试件主要参数Table 1. Main parameters of specimens试件编号 外芯 内芯 内芯箍筋间距s/mm 纵筋配筋率ρl/% 体积配箍率ρw/% 轴力Nt/kN 试验轴压比n 柱高H/mm CC — — 100 2.83 1.68 1 270 0.19 1 200 C-C-100 圆形 — 100 3.58 1.87 1 270 0.19 1 200 C-DC-100 圆形 圆形 100 3.90 1.96 1 270 0.19 1 200 C-DC-HA-100 圆形 圆形 100 3.90 1.96 3 180 0.48 1 200 C-DC-200 圆形 圆形 200 3.90 0.98 1 270 0.19 1 200 C-RC-100 方形 圆形 100 3.90 2.02 1 270 0.19 1 200 C-DR-100 方形 方形 100 3.90 2.04 1 270 0.19 1 200 C-SC-100 螺旋 圆形 100 3.90 2.03 1 270 0.19 1 200 注：试件编号“C-DC-HA-100”中“C”表示芯柱试件，“DC”表示内芯和外芯均采用圆形箍筋形式的芯柱，“HA”表示高轴压比试件，“100”表示箍筋间距为100 mm，“RC”表示外芯和内芯分别为方形和圆形箍筋形式的芯柱；“DR”表示外芯和内芯均采用方形箍筋形式的芯柱；“SC”表示外芯和内芯分别为螺旋型和圆形箍筋形式的芯柱。 高强混凝土多重复合芯柱试件最终破坏形态如图3所示，其中低轴压比试件（n=0.19）发生了弯剪破坏，破坏过程如下：受荷初期，柱底出现弯曲裂缝，荷载与位移呈线性关系，试件处于弹性阶段；随着位移的增大，弯曲裂缝水平延伸，裂缝宽度增大，荷载-位移曲线加、卸载刚度逐渐减小，曲线偏离斜直线后逐渐向位移轴方向倾斜；位移继续增大，水平裂缝发生倾斜，塑性铰区竖向裂缝与原有水平裂缝相互贯穿成龟裂状，随后最外围纵筋和外芯纵筋依次屈服，裂缝宽度继续增大，同时原有裂缝斜向延伸交错形成X状，混凝土保护层剥落，钢筋外露；试件达到峰值承载力后，刚度退化明显加快，水平荷载呈不同下降趋势；试件破坏时，受压区外围纵筋压曲，保护层混凝土大面积剥落，内芯纵筋未屈服。
试件C-DC-HA-100发生了剪切破坏，破坏过程如下：受荷初期，由于试件轴向压力大，竖向约束效应较好，裂缝出现相对较晚，荷载-位移曲线呈线性变化，试件处于弹性阶段；随着位移的增大，塑性铰区出现裂缝，但由于大轴力作用（Nt=3 180 KN），裂缝延伸长度较短；继续加载，荷载-位移曲线加、卸载刚度逐渐减小，曲线偏离斜直线后逐渐向位移轴方向倾斜；试件进入破坏阶段，荷载-位移曲线刚度退化迅速，斜裂缝发育充分，并沿横截面贯通，试件刚度退化严重，破坏时脆性明显，柱脚混凝土大块掉落，外围纵筋全部外露并向外凸起成灯笼状，外围箍筋外露崩开。
2. 骨架曲线
根据高强混凝土多重复合芯柱试验测量骨架曲线（图4），可准确标定峰值荷载Pm及峰值位移Δm。因此，为研究芯柱骨架曲线特征规律，本文以峰值点（Pm，Δm）为基准，将试验测量骨架曲线进行无量纲化处理（图5），将8根芯柱试件试验骨架曲线进行线性拟合并理想化为图6所示的三折线模型，对应的3个特征点分别为屈服点A（0.52，0.89）、峰值点B（1.00，1.00）、破坏点C（0.85，Δu/Δm）。其中，屈服点A坐标根据能量法（Park，1988）由拟合曲线确定，确定方法如图7所示。
三折线骨架模型分为弹性段OA、强化段AB及下降段BC，对应的刚度分别由式（1）～（3）计算，各阶段计算公式分别为式（4）～（6）。
$${k}_{1}=\frac{P_{\mathrm{y}} / P_{\mathrm{m}}}{\varDelta_{\mathrm{y}} / \varDelta_{\mathrm{m}}}=\frac{0.89}{0.52}=1.71$$ (1) $${k}_{2}=\frac{1-P_{\mathrm{y}} / P_{\mathrm{m}}}{1-\varDelta_{\mathrm{y}} / \varDelta_{\mathrm{m}}}=\frac{1-0.89}{1-0.52}=0.23$$ (2) $${k}_{3}=\frac{P_{\mathrm{u}} / P_{\mathrm{m}}-1}{\varDelta_{\mathrm{u}} / \varDelta_{\mathrm{m}}-1}=\frac{0.15 \varDelta_{\mathrm{m}}}{\varDelta_{\mathrm{m}}-\varDelta_{\mathrm{u}}}$$ (3) $$\frac{{{P_{}}}}{{{P_{\rm{m}}}}} = {{{k}}_1}\frac{{{\varDelta _{}}}}{{{\varDelta _{\rm{m}}}}} = 1.71\frac{{{\varDelta _{}}}}{{{\varDelta _{\rm{m}}}}}$$ (4) $$\frac{{{P_{}}}}{{{P_{\rm{m}}}}} = 0.89 + {{{k}}_2}\left({\frac{{{\varDelta _{}}}}{{{\varDelta _{\rm{m}}}}} - 0.52} \right) = 0.23\frac{{{\varDelta _{}}}}{{{\varDelta _{\rm{m}}}}} + 0.77$$ (5) $$\frac{{{P_{}}}}{{{P_{\rm{m}}}}} = 1 + {{{k}}_3}\left({\frac{{{\varDelta _{}}}}{{{\varDelta _{\rm{m}}}}} - 1} \right) = 1 - 0.15\frac{{{\varDelta _{}} - {\varDelta _{\rm{m}}}}}{{{\varDelta _{\rm{u}}} - {\varDelta _{\rm{m}}}}}$$ (6) 3. 特征值计算
根据高强混凝土多重复合芯柱试验结果，当试件受拉侧最外围纵筋达到屈服强度时，可认为芯柱试件达到屈服荷载（冯鹏等，2017），此时相应的柱端位移为屈服位移。骨架曲线峰值点和破坏点基于屈服点确定，计算方法如下。
3.1 确定材料本构关系
3.1.1 受压混凝土
考虑芯柱内部多重复合箍筋的约束作用，根据核心区混凝土所受侧向约束作用的差异，将截面划分为高约束区、中约束区、低约束区、无侧向约束区，如图8所示。
混凝土本构关系采用Mander等（1988）提出的模型，约束混凝土抗压强度计算公式如下：
$${f'_{{\rm{cc}}}} = {f'_{{\rm{co}}}}K$$ (7) $$K = - 1.254 + 2.254\sqrt {1 + \frac{{7.94{f'_{{\rm{el}}}}}}{{{f'_{{\rm{co}}}}}}} - 2\frac{{{f'_{{\rm{el}}}}}}{{{f'_{{\rm{co}}}}}}$$ (8) 式中：
${f'_{{\rm{cc}}}}$ 为约束混凝土峰值抗压强度；${f'_{{\rm{co}}}}$ 为无侧向约束混凝土轴心抗压强度；$K$ 为侧向约束系数；${f'_{{\rm{el}}}}$ 为侧向约束应力，各区域采用叠加方法计算，具体公式为式（9）～（11）。低约束区：
$${f'_{{\rm{el}}}} = {f'_{{\rm{el,s}}}}$$ (9) 中约束区：
$${f'_{{\rm{el}}}} = {f'_{{\rm{el,s}}}} + {f'_{{\rm{el,d}}}}$$ (10) 高约束区：
$${f'_{{\rm{el}}}} = {f'_{{\rm{el,s}}}} + {f'_{{\rm{el,d}}}} + {f'_{{\rm{el,h}}}}$$ (11) 式中：
${f'_{{\rm{el,s}}}}$ 、${f'_{{\rm{el,d}}}}$ 、${f'_{{\rm{el,h}}}}$ 分别表示低约束区、中约束区、高约束区复合箍筋提供的侧向约束应力。约束混凝土单轴受压应力-应变关系计算如下：
$${f'_{\rm{c}}} = \frac{{{f'_{{\rm{cc}}}}xr}}{{r - 1 + {x^r}}}$$ (12) $$x = \frac{{{\varepsilon '_{\rm{c}}}}}{{{\varepsilon _{{\rm{cc}}}}}}$$ (13) $${\varepsilon _{{\rm{cc}}}} = {\varepsilon _{{\rm{co}}}}\left[ {1 + 5\left({\frac{{{f'_{{\rm{cc}}}}}}{{{f'_{{\rm{co}}}}}} - 1} \right)} \right]$$ (14) $$r = \frac{{{E'_{\rm{c}}}}}{{{E'_{\rm{c}}} - {E'_{{\rm{sec}}}}}}$$ (15) $${E'_{\rm{c}}} = 5\;000\sqrt {{f'_{{\rm{co}}}}} $$ (16) $${E'_{{\rm{sec}}}} = \frac{{{f'_{{\rm{cc}}}}}}{{{\varepsilon _{{\rm{cc}}}}}}$$ (17) 式中：
${f'_{\rm{c}}}$ 为约束混凝土抗压强度；${\varepsilon' _{\rm{c}}}$ 为混凝土压应变；${\varepsilon _{{\rm{cc}}}}$ 为约束混凝土峰值应变；${\varepsilon _{{\rm{co}}}}$ 为无约束混凝土峰值应变，取0.002；${E'_{\rm{c}}}$ 为无约束混凝土弹性模量；${E'_{{\rm{sec}}}}$ 为约束混凝土割线模量。关键参数计算结果如表2所示。
表 2 侧向约束系数和约束混凝土强度Table 2. Confinement factors and strength of confined concrete试件名称 ${f'_{{\rm{el,s}}}}$ ${f'_{{\rm{el,d}}}}$ ${f'_{{\rm{el,h}}}}$ ${K_{\rm{s}}}$ ${K_{\rm{d}}}$ ${K_{\rm{h}}}$ ${f'_{{\rm{co}}}}$ ${f'_{{\rm{ccs}}}}$ ${f'_{{\rm{ccd}}}}$ ${f'_{{\rm{cch}}}}$ CC 2.03 — — 1.29 — — 43.4 56.1 — — C-C-100 2.03 2.66 — 1.29 1.37 — 43.4 56.1 59.6 — C-DC-100 2.03 2.66 3.46 1.29 1.37 1.47 43.4 56.1 59.6 63.7 C-DC-HA-100 2.03 2.66 3.46 1.29 1.37 1.47 43.4 56.1 59.6 63.7 C-DC-200 2.03 2.23 2.31 1.29 1.32 1.33 43.4 56.1 57.2 57.7 C-RC-100 2.03 2.38 3.19 1.29 1.34 1.44 43.4 56.1 58.1 62.3 C-DR-100 2.03 2.38 2.88 1.29 1.34 1.40 43.4 56.1 58.1 60.7 C-SC-100 2.03 2.78 3.58 1.29 1.39 1.48 43.4 56.1 60.2 64.3 注：${K_{\rm{s}}}$、${K_{\rm{d}}}$、${K_{\rm{h}}}$分别对应低约束区、中约束区、高约束区侧向约束因子；${f'_{{\rm{ccs}}}}$、${f'_{{\rm{ccd}}}}$、${f'_{{\rm{cch}}}}$分别对应低约束区、中约束区、高约束区混凝土峰值应力 3.1.2 受拉混凝土
受拉混凝土应力-应变曲线根据Belarbi等（1994）建议的模型计算，计算公式如下：
$${f_{\rm{c}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{E_{\rm{c}}}{\varepsilon _{\rm{c}}}}&{{\rm{, }}\quad {\varepsilon _{\rm{c}}} \leqslant {\varepsilon _{{\rm{cr}}}}} \\ {{E_{\rm{c}}}{\varepsilon _{{\rm{cr}}}}{{\left({\dfrac{{{\varepsilon _{{\rm{cr}}}}}}{{{\varepsilon _{\rm{c}}}}}} \right)}^{0.4}}}&{{\rm{, }}\quad {\varepsilon _{\rm{c}}} > {\varepsilon _{{\rm{cr}}}}} \end{array}} \right.$$ (18) $${E_{\rm{c}}} = 3\;320\sqrt {{f'_{{\rm{co}}}}} + 6\;900$$ (19) 式中：
${f_{\rm{c}}}$ 为混凝土拉应力；${E_{\rm{c}}}$ 为混凝土弹性模量；${\varepsilon _{\rm{c}}}$ 为混凝土拉应变；${\varepsilon _{{\rm{cr}}}}$ 为混凝土开裂应变，取0.000 08。3.1.3 受拉钢筋
考虑钢筋屈服后的应变硬化效应，受拉钢筋选用Sezen等（2008）建议的本构模型，计算公式如下：
$${f_{\rm{s}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{E_{\rm{s}}}{\varepsilon _{\rm{s}}}}&{{\rm{, }} \quad0 \leqslant {\varepsilon _{\rm{s}}} \leqslant {\varepsilon _{\rm{y}}}} \\ {{f_{\rm{y}}} + 0.02{E_{\rm{s}}}\left({{\varepsilon _{\rm{s}}} - {\varepsilon _{\rm{y}}}} \right)}&{{\rm{, }} \quad{\varepsilon _{\rm{y}}} < {\varepsilon _{\rm{s}}} \leqslant {\varepsilon _{{\rm{sh}}}}} \\ {{f_{{\rm{su}}}} + \left({{f_{{\rm{sh}}}} - {f_{{\rm{su}}}}} \right){{\left({\dfrac{{{\varepsilon _{{\rm{su}}}} - {\varepsilon _{\rm{s}}}}}{{{\varepsilon _{{\rm{su}}}} - {\varepsilon _{{\rm{sh}}}}}}} \right)}^2}}&{{\rm{, }}\quad {\varepsilon _{{\rm{sh}}}} < {\varepsilon _{\rm{s}}} \leqslant {\varepsilon _{{\rm{su}}}}} \\ 0&{{\rm{, }}\quad {\varepsilon _{\rm{s}}} > {\varepsilon _{{\rm{su}}}}} \end{array}} \right.$$ (20) 式中：
${f_{\rm{s}}}$ 为钢筋拉应力；${E_{\rm{s}}}$ 为钢筋弹性模量；${\varepsilon _{\rm{s}}}$ 为钢筋拉应变；${f_{\rm{y}}}$ 为钢筋屈服应力；${\varepsilon _{\rm{y}}}$ 为钢筋屈服应变；${\varepsilon _{{\rm{sh}}}}$ 取$4{\varepsilon _y}$ ；${\varepsilon _{{\rm{su}}}}$ 为极限应变；${f_{{\rm{sh}}}}$ 为钢筋达到应变${\varepsilon _{{\rm{sh}}}}$ 时的应力；${f_{{\rm{su}}}}$ 为极限应力。3.1.4 受压钢筋
基于式（20），受压钢筋考虑受压屈曲效应（Dhakal等，2002）的影响，应力-应变关系按下式计算：
$${f'_{\rm{s}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{E_{\rm{s}}}{\varepsilon '_{\rm{s}}}}&{{\rm{,}}\quad 0 < {\varepsilon '_{\rm{s}}} < {\varepsilon _{\rm{y}}}} \\ {{\sigma _{\rm{t}}}\left[ {1 - \left({1 - \dfrac{{{f_{\rm{i}}}}}{{{f_{{\rm{it}}}}}}} \right)\left({\dfrac{{{\varepsilon '_{\rm{s}}} - {\varepsilon _{\rm{y}}}}}{{{\varepsilon _{\rm{i}}} - {\varepsilon _{\rm{y}}}}}} \right)} \right]}&{{\rm{,}}\quad {\varepsilon _{\rm{y}}} \leqslant {\varepsilon '_{\rm{s}}} \leqslant {\varepsilon _{\rm{i}}}} \\ {\max \left\{ {{f_{\rm{i}}} - 0.02{E_{\rm{s}}}\left({{\varepsilon '_{\rm{s}}} - {\varepsilon _{\rm{i}}}} \right), 0.2{f_{\rm{y}}}} \right\}}&{{\rm{,}} \quad{\varepsilon '_{\rm{s}}} > {\varepsilon _{\rm{i}}}} \end{array}} \right.$$ (21) $$\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{f_{\rm{i}}}}}{{{f_{{\rm{it}}}}}} = {\alpha _{\rm{c}}}\left({1.1 - 0.016{\lambda _{\rm{p}}}} \right);}&{\dfrac{{{f_{\rm{i}}}}}{{{f_{{\rm{it}}}}}} \geqslant 0.2} \end{array}$$ (22) $$\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{\varepsilon _{\rm{i}}}}}{{{\varepsilon _{\rm{y}}}}} = 55 - 2.3{\lambda _{\rm{p}}};}&{\dfrac{{{\varepsilon _{\rm{i}}}}}{{{\varepsilon _{\rm{y}}}}} \geqslant 7} \end{array}$$ (23) $${\alpha _{\rm{c}}} = 0.75 + \frac{{{\varepsilon _{{\rm{su}}}} - {\varepsilon _{{\rm{sh}}}}}}{{300{\varepsilon _{\rm{y}}}}}$$ (24) $${\lambda _{\rm{p}}} = \sqrt {\frac{{{f_{\rm{y}}}}}{{100}}\frac{{{L_{\rm{b}}}}}{D}} $$ (25) 式中：
${f'_{\rm{s}}}$ 为钢筋压应力；${\varepsilon '_{\rm{s}}}$ 为钢筋压应变；${\sigma _{\rm{t}}}$ 为钢筋拉应变为${\varepsilon '_{\rm{s}}}$ 时的应力；${f_{{\rm{it}}}}$ 为钢筋应变为${\varepsilon _{\rm{i}}}$ 时的应力；${L_{\rm{b}}}$ 为纵筋压屈长度，本文取箍筋净距；$D$ 为纵筋直径。3.2 建立平衡方程
根据平截面假定，芯柱试件截面内应变分布如图9所示，最外侧受拉纵筋屈服时，截面内各点轴向应变按式（26）计算。
$$\varepsilon (y,z) = {\varepsilon _0} + \left({\frac{h}{2} - y} \right){\varphi _{\rm{y}}}$$ (26) 式中：
$\varepsilon (y,z)$ 为坐标y、z的函数；${\varepsilon _{\rm{0}}}$ 为截面中心应变；$h$ 为截面高度；${\varphi _{\rm{y}}}$ 为截面屈服曲率。当最外围纵筋达屈服应变${\varepsilon _{\rm{y}}}$ 时，截面中心应变${\varepsilon _{\rm{0}}}$ 按下式计算：$${\varepsilon _0} = {h_0}{\varphi _{\rm{y}}} - \frac{h}{2}{\varphi _{\rm{y}}} + {\varepsilon _{\rm{y}}}$$ (27) 式中：
${h_0}$ 为截面最外侧受拉纵筋至受压边缘的距离。根据静力平衡条件对截面轴力N及弯矩M进行计算，公式如下：
$$\begin{split} & \displaystyle\sum N = 0 \\ & N = \displaystyle\sum\limits_{{i}} {\displaystyle\sum\limits_{{j}} {{\sigma _{{{ij}}}}{n_{{{ij}}}}{A_{{\rm{s}},{{j}}}}} } + \displaystyle\iint {{f_{\rm{c}}}(y,z){\rm{d}}y{\rm{d}}z} + \iint {{f'_{{c}}}(y,z){\rm{d}}y{\rm{d}}z} \end{split} $$ (28) $$\begin{split} & \displaystyle\sum M = 0 \\ & M = \displaystyle\sum\limits_{{i}} {\displaystyle\sum\limits_{{j}} {{\sigma _{{{ij}}}}{n_{{{ij}}}}{A_{{\rm{s}},{{j}}}}\left({\frac{h}{2} - {y_{{{ij}}}}} \right)} } + \displaystyle\iint {{f_{\rm{c}}}(y,z)\left({\frac{h}{2} - y} \right){\rm{d}}y{\rm{d}}z} + \displaystyle\iint {{f'_{\rm{c}}}(y,z)\left({\frac{h}{2} - y} \right){\rm{d}}y{\rm{d}}z} \end{split} $$ (29) 式中：
${{i}} = 1,2,3$ 表示钢筋分别位于低约束区、中约束区、高约束区；j表示纵筋所处位置；$\sigma $ 为纵筋应力；$n$ 为截面相同高度处纵筋数量；${A_{\rm{s}}}$ 为单个纵筋截面面积；${f'_{\rm{c}}}$ 为混凝土拉应力；${f_{\rm{c}}}$ 为混凝土压应力；$h$ 为截面高度；$y$ 和z分别为y轴和z轴的坐标投影。3.3 计算屈服荷载及相应位移
根据图10所示计算流程，使用Matlab软件编程，按照式（30）计算屈服荷载
${P_{\rm{y}}}$ ，同时输出芯柱试件屈服时相应的截面屈服曲率${\varphi _{\rm{y}}}$ 、屈服弯矩${M_{\rm{y}}}$ 、截面中心应变${\varepsilon _{0{\rm{y}}}}$ 。$${P_{\rm{y}}} = {M_{\rm{y}}}/H$$ (30) 式中：
$H$ 为柱计算高度。试件屈服时，弯曲变形引起的柱端位移
${\varDelta _{{\rm{f }}}}$ 根据Priestley等（1987）提出的模型计算，公式如下：$${\varDelta _{{\rm{f }}}}{\rm{ = }}\frac{1}{3}{\varphi _{\rm{y}}}{H^2}$$ (31) 式中：
${\varphi _{\rm{y}}}$ 为截面屈服曲率。试件屈服时，剪切变形引起的柱端位移
${\varDelta _{{\rm{v }}}}$ 采用Lehman（2000）提出的模型计算，公式如下：$${\varDelta _{\rm{v}}} = \int\limits_H {\frac{{{P_{\rm{y}}}{\rm{d}}x}}{{{G_{{\rm{eff}}}}{A_{{\rm{eff}}}}}} = \frac{{{P_{\rm{y}}}H}}{{{G_{{\rm{eff}}}}{A_{{\rm{eff}}}}}}} $$ (32) $${G_{{\rm{eff}}}}(x) = \frac{{{E_{\rm{c}}}}}{{2(1 + v)}}$$ (33) $${A_{{\rm{eff}}}} = b\frac{{{{\varepsilon '_{\rm{cuy}}}}}}{{{\varphi _{\rm{y}}}}}$$ (34) $${\varepsilon '_{{\rm{cuy}}}} = {\varepsilon _{{\rm{0y}}}} + \frac{h}{2}{\varphi _{\rm{y}}}$$ (35) 式中：
${G_{{\rm{eff}}}}$ 为有效剪切模量；${A_{{\rm{eff}}}}$ 为有效截面面积；${{{E}}_{{\rm{c}}}}$ 为混凝土弹性模量；$\nu$ 为泊松比，取0.3；$b$ 为柱截面宽度；${\varphi _{\rm{y}}}$ 为截面屈服曲率；$\varepsilon '_{{\rm{cuy}}}$ 为试件屈服时柱底截面受压边缘应变。试件屈服时，纵筋滑移引起的柱端位移
${\varDelta _{{\rm{s }}}}$ 采用Sezen等（2008）提出的模型计算，公式如下：$${\varDelta _{\rm{s}}}{\rm{ = }}\frac{{{\varepsilon _{\rm{y}}}{f_{\rm{y}}}{d_{\rm{z}}}H}}{{8{u_{\rm{b}}}\left({{h_0} - x} \right)}}$$ (36) 式中：
${\varepsilon _{\rm{y}}}$ 为钢筋屈服应变；${f_{\rm{y}}}$ 为钢筋屈服应力；${d_{\rm{z}}}$ 为纵筋直径；${u_{\rm{b}}}$ 为有效粘结应力，取$1.0\sqrt {{f'_{{\rm{co}}}}}$ ；$x$ 为截面受压区高度，取${\varepsilon '_{{\rm{cuy}}}}/{\varphi _{\rm{y}}}$ 。根据叠加原理，高强混凝土多重复合芯柱屈服位移
${\varDelta _{{\rm{y }}}}$ 按下式计算：$${\varDelta _{{\rm{y }}}} = {\varDelta _{{\rm{f }}}} + {\varDelta _{{\rm{v }}}} + {\varDelta _{{\rm{s }}}}$$ (37) 3.4 计算峰值荷载和峰值位移
三折线骨架模型中屈服点A坐标为（0.52，0.89），从而建立屈服点（Δy，Py）与峰值点（Δm，Pm）的联系，如式（38）～（41）所示。
$${P_{\rm{y}}} = 0.89{P_{\rm{m}}}$$ (38) $${\varDelta _{\rm{y}}} = 0.52{\varDelta _{\rm{m}} }$$ (39) $${P_{\rm{m}}} = 1.12{P_{\rm{y}}}$$ (40) $${\varDelta _{\rm{m}}} = 1.92{\varDelta _{\rm{y}}}$$ (41) 3.5 计算极限荷载和极限位移
极限荷载Pu取为峰值荷载Pm的85%：
$${P_{\rm{u}}} = 0.85{P_{\rm{m}} }$$ (42) 采用多元线性回归法，建立位移延性系数μ与芯柱试件各参数之间的联系，具体函数关系式如下：
$$\mu = 8.76 - 0.01s - 0.72{\rho _{\rm{l}}} - 0.66{\rho _{\rm{w}}} - 2.34n$$ (43) 与试验结果对比，位移延性系数计算值平均误差<10%，精度良好，如表3所示。
表 3 计算结果与试验结果对比Table 3. Comparison between calculated and measured results试件名称 屈服荷载Py/kN 屈服位移Δy/mm 峰值荷载Pm/kN 峰值位移Δm/mm 极限荷载Pu/kN 极限位移Δu/mm 位移延性系数μ CC 试验值 484.8 13.0 551.0 25.3 468.3 55.4 4.3 计算值 470.8 12.7 529.0 24.4 449.7 52.7 4.1 C-C-100 试验值 517.5 14.8 591.1 23.7 502.5 58.8 4.0 计算值 502.2 14.3 564.3 27.4 479.6 49.9 3.5 C-DC-100 试验值 554.1 17.7 622.6 39.5 529.2 55.2 3.1 计算值 516.1 19.7 579.9 37.9 492.9 63.2 3.2 C-DC-HA-100 试验值 743.4 16.0 857.4 27.9 728.8 43.5 2.7 计算值 791.2 16.7 889.0 32.0 755.7 50.3 3.0 C-DC-200 试验值 576.2 11.1 651.5 29.5 553.7 40.9 3.7 计算值 507.9 14.2 568.8 27.4 483.5 35.8 2.5 C-RC-100 试验值 581.2 14.1 649.4 24.7 552.0 48.2 3.4 计算值 530.0 15.6 595.5 29.9 506.2 49.3 3.2 C-DR-100 试验值 553.2 15.1 631.2 26.4 536.6 48.2 3.2 计算值 522.9 15.6 587.5 29.9 499.4 49.0 3.1 C-SC-100 试验值 578.7 15.5 652.2 34.4 554.4 53.9 3.5 计算值 532.8 17.6 598.6 33.8 508.8 55.5 3.2 根据各试件位移延性系数计算极限位移Δu，公式如下：
$${\varDelta _{\rm{u}}} = \mu {\varDelta _{\rm{y}}}$$ (44) 3.6 对比骨架曲线
图11所示为骨架曲线对比结果，各特征点计算结果如表3所示。对比分析试件特征点可知，随着箍筋间距的增大，芯柱水平承载力降低，这是因为箍筋间距增大会导致内部核心混凝土约束系数减小，降低约束混凝土峰值应力；随着配筋率的增大，芯柱承载力显著提高，这是因为内部多重复合箍筋对混凝土的约束作用增大，提高了混凝土峰值应力，且在核心区配置的纵筋提供了一定抗弯承载力；随着轴压比的增大，高强混凝土多重复合芯柱承载力增大，变形能力降低。上述结论与试验结果反映的规律一致，且计算结果与试验结果吻合良好，故本文建议的恢复力模型为高强混凝土多重复合芯柱抗震性能分析提供了基础资料和依据。
图 11 试验骨架曲线与计算骨架曲线比较Figure 11. Comparison of skeleton curves from test and simulation results4. 恢复力模型
高强混凝土多重复合芯柱在低周往复荷载作用下的试验结果能够反映构件在实际荷载作用下的强度、刚度、耗能性能等基本特征（李升才等，2014；姜磊等，2020），本文以8根芯柱试件滞回数据为原型，从刚度退化和强度退化角度研究芯柱滞回特性。
4.1 刚度退化
观察芯柱试件滞回曲线发现，水平荷载达到屈服荷载前，试件处于弹性阶段，残余变形基本为零，荷载-位移曲线为线性变化；荷载达到屈服荷载后，试件卸载刚度开始退化，并随着位移的增大，刚度退化加剧，如图12所示。根据试验结果获取每级位移循环下的卸载刚度，以卸载刚度与试件弹性段刚度比值为研究对象，使用拟合方法获取试件卸载刚度与位移函数关系，进而得到式（45）所示卸载刚度计算公式。
$$\frac{{{K_{\rm{u}}}}}{{{K_{\rm{y}}}}} = {\rm{2}}{\rm{.916\;2}} - {\rm{3}}{\rm{.047\;5}}\frac{\varDelta }{{{\varDelta _{\rm{y}}}}} + {\rm{2}}{\rm{.075\;8}}{\left({\frac{\varDelta }{{{\varDelta _{\rm{y}}}}}} \right)^2} - {\rm{0}}{\rm{.700\;3}}{\left({\frac{\varDelta }{{{\varDelta _{\rm{y}}}}}} \right)^3} + {\rm{0}}{\rm{.114\;3}}{\left({\frac{\varDelta }{{{\varDelta _{\rm{y}}}}}} \right)^4} - {\rm{0}}{\rm{.007\;2}}{\left({\frac{\varDelta }{{{\varDelta _{\rm{y}}}}}} \right)^5}$$ (45) 式中：
${K_{\rm{u}}}$ 为卸载刚度；${K_{\rm{y}}}$ 为试件弹性刚度；$\varDelta $ 为水平位移；${\varDelta _{\rm{y}}}$ 为屈服位移。4.2 强度退化
试件在同级位移作用下，荷载的往复循环会造成强度退化，从而造成滞回环包围面积减小，邢国华等（2020）对高强混凝土多重复合芯柱试件强度退化情况进行了分析，试件强度退化系数平均值为95.4%，表明同级位移作用下试件强度退化幅度较小。因此，在同级位移作用下，是否考虑强度退化对高强混凝土多重复合芯柱恢复力模型精度的影响较小。为便于简化计算，本文在构建高强混凝土多重复合芯柱恢复力模型时，不考虑同级位移作用下强度退化的影响。
4.3 滞回规则
综合对比分析试验骨架曲线与滞回规律后，构建高强混凝土多重复合芯柱恢复力模型，如图13所示。该模型中，点1和点5为正向屈服点（Δy，Py），点3为反向屈服点（−Δy，−Py），点2和点6为正向峰值荷载点（Δm，Pm），点4为反向峰值荷载点(−Δm，−Pm)，点7和点11为正向极限破坏点（Δu，Pu），点9为反向极限破坏点（−Δu，−Pu），具体路径表述如下：
（1）当芯柱试件水平荷载低于屈服强度时，加载和卸载均沿骨架曲线弹性段进行（图13中0～1段和0～3段），加、卸载刚度均为骨架曲线弹性段刚度ke。
（2）当芯柱试件水平荷载位于屈服荷载Py和峰值荷载Pm之间时，加载路径沿骨架曲线进行（图13中1～2和3～4段），卸载时直接指向反向屈服点3，此后继续向屈服点3反向加载；达到点3后沿骨架曲线行进，进行反向加载（图13中3～4段）。在此阶段，反向卸载及正向再加载时直接指向正向屈服点5，此后沿骨架曲线进行加载。
（3）当芯柱试件水平荷载超过峰值荷载Pm后，沿骨架曲线加载至点7，然后卸载归零并反向加载至与辅助线L2交于点8，继续加载至点9；此后反向卸载归零并正向加载至与辅助线L1交于点10，继续加载至点11，随后按骨架曲线继续行进。
具体路径按图13中数字编号依次行进，其中，辅助线L1、L2分别对应纵坐标为0.25Pm和−0.25Pm的水平直线。
4.4 模型验证
试验与计算滞回曲线对比结果如图14所示，由图14可知，高强混凝土多重复合芯柱滞回曲线模拟结果与试验结果整体趋势大致相同，每级位移循环下的滞回环较接近，但仍存在一定误差，原因如下：（1）试验材料与加载过程中损伤的离散性均会造成试验滞回曲线不完全对称，而计算滞回曲线是完全对称的；（2）恢复力模型的骨架曲线为简化后的三折线型，与试验过程中连续变化的荷载-位移曲线有所偏差；（3）数据拟合是基于正、反向骨架曲线的平均值，且试验数据有限。
图 14 试验滞回曲线与计算滞回曲线比较Figure 14. Comparison between test and calculation results of hysteretic curves5. 结论
本文根据高强混凝土多重复合芯柱在低周往复荷载作用下的试验结果，构建了芯柱试件恢复力模型，并与试验结果进行对比，得出以下结论：
（1）高强混凝土多重复合芯柱在低轴压比（n=0.19）作用下发生了延性较好的弯剪破坏，破坏时截面最外侧纵筋压屈，核心区内芯纵筋未屈服，破坏过程相似；高轴压比试件（n=0.48）发生了剪切破坏，破坏时刚度退化迅速，脆性明显。
（2）基于高强混凝土多重复合芯柱的试验结果分析，考虑不同区域混凝土约束效果的差异，结合纵筋受压屈曲特性的影响，采用三折线模型确定了芯柱试件骨架曲线。对比发现，计算骨架曲线与试验骨架曲线吻合良好。
（3）根据试验结果，分析了芯柱刚度退化特性，构建了高强混凝土多重复合芯柱恢复力模型，并与试验滞回曲线进行对比，可知滞回曲线计算结果与试验结果整体趋势大致相同，关键特征吻合良好，合理反映了高强混凝土多重复合芯柱滞回性能，具有一定工程参考意义。
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图 4 昆仑山地区震级的阈值超出量模型诊断结果
Figure 4. Model fitting diagnosis chart of Kunlun mountains area
图 6 本文模型与泊松（指数）分布比较
Figure 6. Comparison between the model in this paper and the poisson （exponential） distribution
表 1 超阈值震级基本信息
Table 1. Basic information of over threshold magnitudes
最小值 四分之一分位数 中位数 平均值 四分之三分位数 最大值 极差 标准差 5.59 5.80 6.00 6.20 6.43 8.10 2.51 0.58 
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表 2 G-R关系计算结果
Table 2. Calculation results of G-R relationship
起始时间/年 $ {M_{\min }} $ a b ${M_{{\rm{theo}}} }$ 1923 2.5 12.956 5 1.536 9 8.43
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表 3 不同震级复发间隔及发震概率
Table 3. Recurrence cycle and occurrence probability of different magnitudes
震级MS/级 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 平均复发间隔/年 0.5 0.9 1.8 4.4 13.8 66.8 882.9 1年内发震概率 0.886 4 0.687 5 0.427 1 0.203 6 0.070 1 0.014 9 0.001 1 3年内发震概率 0.998 5 0.969 5 0.812 0 0.494 9 0.196 0 0.043 9 0.003 4 5年内发震概率 1.000 0 0.997 0 0.938 3 0.679 7 0.304 8 0.072 2 0.005 6 10年内发震概率 1.000 0 1.000 0 0.996 2 0.897 4 0.516 7 0.139 1 0.011 3
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表 4 重现水平
Table 4. Recurrence level
项目 周期/年 1 2 5 10 20 50 100 重现水平（MS） 6.11 6.57 7.06 7.37 7.64 7.92 8.10 95%置信区间 （5.89，6.33） （6.29，6.85） （6.77，7.35） （7.03，7.71） （7.23，8.05） （7.37，8.47） （7.43，8.77） 超定值期望震级（MS） 6.69 7.05 7.46 7.71 7.92 8.15 8.30
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