Ground Motion Simulation of Three-dimensional Sedimentary Basin Based on Directly-beneath Fault Dynamic Source Model
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摘要: 沉积盆地与近断层地震共同作用会增加地震破坏的风险水平，尤其是盆地下方直下型断层发震情况。采用动力学震源模型刻画断层破裂发震过程，开展沉积盆地直下型断层谱元法地震动模拟研究，探讨不同断层面初始剪应力和成核区位置下三维沉积盆地地表响应规律。研究结果表明，断层面应力降对盆地地表地震动的影响显著，在断层面强度一定的情况下，随着初始剪应力的增大，即应力降增大，盆地地表峰值响应增大，原因在于应力降的改变影响了断层破裂释放能量，进而引起断层破裂速度改变，最终导致盆地地表响应发生变化；改变断层面成核区位置会对盆地内部地震动分布规律产生影响，当成核区位置从断层中间向断层左侧移动时，盆地左侧地震动逐渐减小，而右侧地震动逐渐增大，最终表现为盆地右侧地震动显著高于盆地左侧，原因在于改变成核区位置后，导致近断层地震动的方向性效应发生变化。Abstract: The combined action of sedimentary basin and near-fault earthquake will greatly increase the risk level of seismic damage, especially directly-beneath fault earthquake occurs under the basin. In this paper, the dynamic source model is used to depict the process of fault rupture and earthquake generation. This paper studies on the seismic simulation of sedimentary basin with directly-beneath fault by using the spectral element method, and discusses the surface response of the three-dimensional sedimentary basin under different initial shear stresses of fault and locations of nucleation area. The results show that the stress drop of the fault has a significant influence on ground motion in the sedimentary basin, when the initial shear stress increases, the stress drop increases, and the rupture velocity of fault increases obviously, which lead to amplification of the surface response inside the basin. Meanwhile, the locations of nucleation area also has an impact on its ground motion response, when the nucleation area moves from the middle of the fault to the left, the ground motion on the left side of the basin decreases gradually, and the ground motion on the right side increases gradually. The reason is that changing the location of the nucleation area leads to the change of the directivity effect of near-fault ground motion.1) 2
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引言
关于场地地震反应的分析已有大量研究成果，研究表明土壤在地震作用下会表现出材料非线性效应ADDIN EN.CITE.DATA（Joyner等，1975；Huang等，2001；Arslan等，2006；Hosseini等，2012）。等效线性化方法ADDIN EN.CITE.DATA（Schnabel等，1972；Idriss等，1992；Bardet等，2000；王笃国等，2016）是一种频域方法，通过在不同土体应变条件下选择等效阻尼比和剪切模量，将非线性问题转化为线性问题。当采用材料非线性本构模型描述土体非线性时，需采用时间积分算法求解非线性动力有限元方程。时间积分算法可分为隐式方法和显式方法。隐式算法每时刻需求解线性代数方程组，计算效率相对较低，如Wilson-θ法和Newmark法等。显式算法无需求解线性代数方程组，适合于强非线性和自由度数目较大的问题。研究者已提出多种显式时间积分算法ADDIN EN.CITE.DATA（Chung等，1994；王进廷等，2002；Belytschko等，2014）。作者近期提出一种二阶精度的单步显式算法，该算法适合变时步问题，在线弹性范围内稳定性较好。本文将该算法推广至求解非线性动力有限元方程中，并将其应用于地震波垂直入射时非线性地震反应分析。
1. 非线性动力有限元方程的显式时间积分算法
设已知非线性体系第${t_i}$时步的受力状态，求解第${t_{i + 1}}$时步的非线性结构动力学方程：
$${\boldsymbol{M}}{{\boldsymbol{\ddot u}}_{i + 1}}{\boldsymbol{ + C}}{{\boldsymbol{\dot u}}_{i + 1}} + {\boldsymbol{f}}_{i + 1}^S{\boldsymbol{ = }}{{\boldsymbol{f}}_{i + 1}}$$ (1) 式中M、C、${{\boldsymbol{f}}^S}$和${\boldsymbol{f}}$分别表示非线性体系的质量矩阵、阻尼矩阵、内力向量和外荷载向量；u表示位移，点号对时间t求导，i+1表示第${t_{i + 1}}$时刻。第i+1时刻时间步长为：
$${\boldsymbol{\Delta }}{t_i} = {t_{i + 1}} - {t_i}$$ (2) 文献显式方法求解非线性方程（1）的过程如下，第i+1时刻位移${{\boldsymbol{u}}_{i + 1}}$为：
$${{\boldsymbol{u}}_{i + 1}} = {{\boldsymbol{u}}_i} + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{t_i}{{\boldsymbol{\dot u}}_i} + \frac{{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{t_i}^2}}{2}{{\boldsymbol{\ddot u}}_i}$$ (3) 第i+1时刻位移增量$\mathit{\Delta }{{\boldsymbol{u}}_i}$、内力增量$\mathit{\Delta }{\boldsymbol{f}}_i^S$和内力全量${\boldsymbol{f}}_{i + 1}^S$分别为：
$$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{{\boldsymbol{u}}_i} = {{\boldsymbol{u}}_{i + 1}} - {{\boldsymbol{u}}_i}$$ (4) $$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{f}}_i^S = {\boldsymbol{f}}(\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{{\boldsymbol{u}}_i})$$ (5) $${\boldsymbol{f}}_{i + 1}^S = {\boldsymbol{f}}_i^S + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{f}}_i^S$$ (6) 第i+1时刻预估速度${{\boldsymbol{\dot {\tilde u}}}_{i + 1}}$、预估加速度${{\boldsymbol{\ddot {\tilde u}}}_{i + 1}}$、速度${{\boldsymbol{\dot u}}_{i + 1}}$和加速度${{\boldsymbol{\ddot u}}_{i + 1}}$分别为
$${{\boldsymbol{\dot {\tilde u}}}_{i + 1}} = {{\boldsymbol{\dot u}}_i} + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{t_i}{{\boldsymbol{\ddot u}}_i}$$ (7) $${{\boldsymbol{\ddot {\tilde u}}}_{i + 1}} = {{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}({{\boldsymbol{f}}_{i + 1}} - {\boldsymbol{C\dot {\tilde u}}}_{i + 1}^{} - {\boldsymbol{f}}_{i + 1}^S)$$ (8) $${{\boldsymbol{\dot u}}_{i + 1}} = {{\boldsymbol{\dot u}}_i} + \frac{{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{t_i}}}{2}({{\boldsymbol{\ddot u}}_i} + {{\boldsymbol{\ddot {\tilde u}}}_{i + 1}})$$ (9) $${{\boldsymbol{\ddot u}}_{i + 1}} = {{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}({{\boldsymbol{f}}_{i + 1}} - {\boldsymbol{C\dot u}}_{i + 1}^{} - {\boldsymbol{f}}_{i + 1}^S)$$ (10) 式（3）—式（10）为求解式（1）的显式算法。算法中需由位移增量计算内力增量，目前常用的应力计算方法包括向前欧拉法、向后欧拉法和完全隐式计算法等ADDIN EN.CITE.DATA（Sloan等，1992；2001；Ahadi等，2003）。下面给出式（5）由位移增量计算内力增量的过程，即一种带误差控制的修正欧拉算法。
对于每个有限单元，由位移增量$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{u}}_i^e$计算应变增量$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ ε}} }}_i^e$的表达式为：
$$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ ε}} }}_i^e = {{\boldsymbol{B}}^e}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{u}}_i^e$$ (11) 式中Be为应变矩阵。将ti时刻单元应变增量$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ ε}} }}_i^e$赋值给子步应变增量$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ ε}} }}_s^e$，ti时刻单元应力${\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ σ}} }}_i^e$赋值给${\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ σ}} }}_{i + 1}^e$，初始化子步应变增量和应力状态分别为：
$$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ ε}} }}_s^e \leftarrow \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ ε}} }}_i^e$$ (12) $${\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ σ}} }}_{i + 1}^e \leftarrow {\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ σ}} }}_i^e$$ (13) 每个子步中应力增量计算思路见图 1，具体计算公式如下：
$${\boldsymbol{D}}_1^e = {\boldsymbol{D}}({\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ σ}} }}_{i + 1}^e)$$ (14) $$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ σ}} }}_1^e = {\boldsymbol{D}}_1^e\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ ε}} }}_s^e$$ (15) $${\boldsymbol{D}}_2^e = {\boldsymbol{D}}({\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ σ}} }}_{i + 1}^e + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ σ}} }}_1^e)$$ (16) $$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ σ}} }}_2^e = {\boldsymbol{D}}_2^e\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ ε}} }}_s^e$$ (17) $$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ σ}} }}_s^e = \frac{{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ σ}} }}_1^e + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ σ}} }}_2^e}}{2}$$ (18) 式中${{\boldsymbol{D}}^e}$为单元应力-应变关系矩阵。判断每个子步中应力增量$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{{\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ σ}} }}_s}$是否符合精度要求的误差判断式为：
$${e_r} = \frac{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ σ}} }}_1^e - \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ σ}} }}_2^e} \right\|}}{{\left\| {{\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ σ}} }}_{i + 1}^e + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ σ}} }}_s^e} \right\|}}$$ (19) 判断误差er是否小于预先给定的判断值st，条件不满足时，缩小子步应变增量为：
$$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ ε}} }}_s^e \leftarrow A\sqrt {{{{s_t}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{s_t}} {{e_r}}}} \right. } {{e_r}}}} \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ ε}} }}_s^e$$ (20) 式中A为误差峰值系数。采用缩小的子步应变增量重新进行式（14）—式（19）的计算与判断，循环直至满足精度要求，更新剩余应变增量和应力状态分别为：
$$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ ε}} }}_i^e \leftarrow \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ ε}} }}_i^e - \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ ε}} }}_s^e$$ (21) $${\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ σ}} }}_{i + 1}^e \leftarrow {\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ σ}} }}_{i + 1}^e + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{\boldsymbol{ \pmb{\mathit{ σ}} }}_s^e$$ (22) 利用更新剩余应变增量和应力状态循环执行式（14）—式（20），直至剩余应变增量小于等于零结束。
利用求得的第i+1时刻单元应力可得到单元应力增量和内力增量分别为：
$$ \Delta \boldsymbol{\sigma }_i^e = \boldsymbol{\sigma }_{i + 1}^e - \boldsymbol{\sigma }_i^e $$ (23) $$ \Delta {\boldsymbol{f}}_i^S{\rm{ = }}\sum\limits_e {\int {{{\boldsymbol{B}}^{e{\rm{T}}}}\boldsymbol{\Delta }{\boldsymbol{\sigma }}_i^e{\bf{d}}A} } $$ (24) 2. 地震波垂直入射时场地非线性地震反应分析
本节将上述非线性有限元方程的显式时间积分算法应用于地震波垂直入射时场地非线性地震反应分析中。假定基岩为线弹性半空间，考虑基岩上覆土层的材料非线性，不考虑土体阻尼。在土层下部设置黏性边界条件模拟半空间基岩的辐射阻尼，并在该处以等效结点力的方式实现地震动输入。
计算模型见图 2，选取A点作为观测点。土体非线性材料本构模型选取邓肯-张模型，土体线弹性参数见表 1，未给出配套的非线性参数，故算例中的非线性参数参考实际情况选取，后续研究中将使用更真实表现土体非线性行为的本构模型及真实工程场地参数。算例中的大气压参数取100kPa，内摩擦角增量取0°。入射地震动分别选取狄拉克脉冲和实测地震动（Gilroy Array #3，Coyote Lake, 1979）。入射狄拉克脉冲见图 3，观测点结果见图 4，实测地震动见图 5，观测点结果见图 6。图 4、图 6中给出采用中心差分法的计算结果作为参考解，由图 4、图 6可知，本文算法与中心差分法计算结果吻合较好，说明本文算法的有效性。
图 2 大开车站沿线土层纵断面构造Figure 2. Site condition of the Daikai subway station in vertical direction表 1 土层参数Table 1. Parameters of soils土质 深度/
m$\rho $/
（g/cm3）cs /
（m/s）v
-EN
-Rf
-c/
（MPa）θ/（°） D
-F
-人工填土 0—1.0 1.9 140 0.33 0.33 0.758 0.084 26.9 1.06 0.021 全新世砂土 1.0—5.1 1.9 140 0.32 0.33 0.758 0.084 26.9 1.06 0.021 全新世砂土 5.1—8.3 1.9 170 0.32 0.36 0.768 0.120 31.0 1.11 0.015 更新世粘土 8.3—11.4 1.9 190 0.40 0.44 0.822 0.188 28.4 1.01 0.012 更新世粘土 11.4—17.2 1.9 240 0.30 0.44 0.822 0.188 28.4 1.01 0.012 更新世砂土 17.2—22.2 2.0 330 0.26 0.51 0.840 0.300 30.0 1.02 0.011 基岩 ＞22.2 2.0 330 0.26 - - - - - - 
图 3 狄拉克脉冲速度和加速度时程图Figure 3. Velocity and acceleration time history of the Dirac pulse
图 4 狄拉克脉冲入射时场地反应分析结果Figure 4. Results of site analysis under the incident of Dirac pulse
图 5 实测地震动速度和加速度时程图Figure 5. Velocity and acceleration time history of the seismic motion
图 6 实测地震动入射时场地反应分析结果Figure 6. Results of site reaction analysis under the incident of the seismic motion表 1中ρ、cs、v、EN、Rf、c、θ为模型参数，分别表示密度、剪切波速、泊松比、无量纲幂次、破坏比、土的内聚力、土的摩擦角。D、F为试验常数。
3. 结论
本文发展一种求解材料非线性结构动力学方程的显式时间积分算法，并应用于地震波竖直入射时非线性地震反应分析中，通过算例验证了该方法的有效性。该显式算法具有无需对角阻尼矩阵、单步、稳定性良好等优点。本文考虑了邓肯-张非线性弹性本构模型，下步研究可考虑将该显式算法扩展到弹塑性本构模型及更能反映土层真实变形的本构模型中。
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图 5 各观测点位错随时间变化曲线
Figure 5. The curves of displacement versus time corresponding to observation points
图 6 各观测点对应加速度时程曲线
Figure 6. The time-histories of acceleration corresponding to observation points
图 7 不同初始剪应力下地表P4观测点加速度时程曲线
Figure 7. The time-histories of acceleration at surface observation P4 with different initial shear stress
图 8 不同初始剪应力下地表观测点PGA及其放大系数曲线
Figure 8. The curves of PGA and amplification factor at surface observations with different initial shear stress
图 9 不同初始剪应力地表观测点P4加速度反应谱
Figure 9. The response spectrum of acceleration at surface observation P4 with different initial shear stress
图 10 不同初始剪应力断层破裂时间等值线图
Figure 10. The contour of fault rupture time with different initial shear stress
图 11 不同初始剪应力下地表速度波场快照图
Figure 11. The snapshots of velocity wavefield at surface with different initial shear stress
图 12 不同成核区位置断层破裂时间等值线图
Figure 12. The contour of fault rupture time with different location of nucleation area
图 13 不同成核区位置地表观测点PGA变化曲线
Figure 13. The curves of PGA at surface observations with different location of nucleation
图 14 不同成核区位置地表速度波场快照
Figure 14. Snapshots of velocity wave field at surface with different location of nucleation area
图 15 不同成核区位置地表水平峰值速度场及位移场分布
Figure 15. Distribution of peak ground velocity and displacement with different location of nucleation area
表 1 计算模型介质参数
Table 1. Parameters of the simulation model
介质密度/kg·m−3 剪切波速vS/m·s−1 压缩波速vP/m·s−1 厚度/km 深度/km 基岩 沉积盆地 基岩 沉积盆地 基岩 沉积盆地 3 000 2 400 3 200 300 5 500 500 0.3 0.3 3 000 2 400 3 200 500 5 500 800 0.3 0.6 3 000 2 400 3 200 800 5 500 1 500 0.4 1.0 3 000 — 3 200 — 5 500 — 29.0 30.0 
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表 2 观测点位置
Table 2. Location of observation points
观测点编号 坐标（x，y，z） P1（盆地外） （10 km，0.5 km，0） P2（盆地右边缘） （5 km，0.5 km，0） P3（盆地右1/4处） （2.5 km，0.5 km，0） P4（盆地中心） （0 km，0.5 km，0） P5（盆地左1/4处） （−2.5 km，0.5 km，0） P6（盆地左边缘） （−5 km，0.5 km，0）
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表 3 断层面上摩擦和应力参数
Table 3. Friction and stress parameters on the fault
断层参数 成核区外 成核区内 静摩擦系数 0.675 0.675 动摩擦系数 0.475 0.475 临界滑动距离/m 0.3 0.3 初始剪应力/MPa 66.0 81.6 初始正应力/MPa 120 120
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表 4 不同初始剪应力断层平均破裂速度
Table 4. Average rupture velocity of fault with different initial shear stress
初始剪应力/MPa 初始正应力/MPa S值 平均破裂速度vR/m·s−1 剪切波速vS/m·s−1 vR/vS 64 120 2.43 2 620 3 200 0.82 65 120 2.00 2 761 3 200 0.86 66 120 1.67 2 877 3 200 0.90 67 120 1.40 2 966 3 200 0.93 70 120 0.85 4 011 3 200 1.25 71 120 0.71 4 480 3 200 1.40
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