Fragility Analysis of RC Frame Structures Based on Equivalent Linearization Method of SDOF System
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摘要: 通过有限元方法进行非线性动力时程分析获取解析的易损性曲线，计算量大且耗时。本文采用一种简化的计算方法，即基于单自由度的等效线性化模型，对钢筋混凝土框架结构进行地震易损性分析，并研究了该方法在结构高度上的适用性。通过选用5种典型的等效线性化模型对3栋不同高度的钢筋混凝土框架结构进行增量动力分析（IDA），得到了不同高度的结构在不同强度地震作用下结构的反应和易损性，并与OpenSees程序的计算结果进行对比，研究了等效线性化模型应用于RC框架结构易损性分析在高度上的适用性。分析结果表明：对于10层及以下的框架结构，基于单自由度的等效线性化模型在结构地震易损性分析中具有较好的适用性；对于更高层数的结构，由于高阶振型反应对整体结构反应的影响增大，基于单自由度等效线性化模型的易损性分析结果会出现明显的偏差。Abstract: Obtaining the analytical fragility curves through nonlinear dynamic time history analysis of FEA model is computationally intensive and time-consuming. In this paper, we used a simplified calculation method, namely the equivalent linearization method based on single degree of freedom, to analyze the seismic vulnerability of reinforced concrete frame structures and the applicability of this method for structures with different heights. The incremental dynamic analysis (IDA) for three reinforced concrete frame structures with different heights was carried out by using five typical equivalent linearization methods. The response and vulnerability of structures with different heights under different earthquakes were obtained. Compared with the results of OpenSees program, the applicability of the equivalent linearization method to the vulnerability analysis of RC frame structure is investigated. The result shows that for RC structures with height less than 10 stories, the equivalent linearization method based on single degree of freedom has good applicability for structural seismic vulnerability prediction. For higher structures, the influence of the high-order mode response on the overall structural response increases and the vulnerability analysis result based on the single-degree-of-freedom equivalent linearization method shows a significant deviation.
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Key words:
- RC frame structure /
- Equivalent linearization /
- Single degree of freedom /
- IDA /
- Fragility
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引言
由于城市轨道交通的功能性和城市土地资源的紧缺性，地铁车站往往位于建筑物密集区域，在地震作用下，地铁车站结构、土、邻近地表建筑构成了复杂的相互作用体系（王国波等，2015）。地铁车站或地表建筑的存在均将改变相邻地上或地下建筑结构的地震环境，定量分析与评价这种地震环境改变对建筑结构地震响应的影响，对于工程结构抗震设计具有重要参考价值。
已有学者开展了地下结构与地表建筑的动力相互作用研究，如Pitilakis等（2014）研究了地铁隧道与单自由度地表建筑之间的动力相互作用，结果表明，地表建筑的存在可使隧道衬砌弯矩和轴力增量最大值达25%和30%；王国波等（2014，2015）对隧道-土体-地表结构相互作用体系进行了分析，研究发现，隧道对地表框架结构地震响应的影响主要与隧道半径有关，较大的隧道半径可阻隔地震波的传播，从而起一定减震作用；Wang等（2018）首次采用振动台试验研究了隧道与地表建筑间的地震响应规律，试验结果表明，隧道的存在在一定程度上阻碍了地震波的传播，从而降低了地表建筑（尤其是中低层建筑）地震反应，地表建筑的存在会抑制土层和地下结构地震反应；李延涛等（2020）对隧道-土-相邻上部结构进行了振动台试验研究，阐述了在上部结构存在的条件下上下平行隧道地震响应特征；张季等（2020，2021a）对软土-隧道-地表框架结构体系进行了地震作用下的动力反应分析，研究发现，地表建筑对隧道衬砌动应力峰值的放大倍数最高可达80.7%；邱滟佳等（2021）基于地铁车站-土-地表建筑整体模型的动态平衡特性，分析得到了地表建筑对地铁车站地震响应影响的机制，并据此进一步推导了受周边建筑影响的地铁车站简化抗震设计方法；Jin等（2022）采用波函数展开法研究了SH波作用下地下刚性隧道与邻近地表建筑动力相互作用规律，结果表明，相互作用会放大或缩小某些特定的频率和隧道-地表建筑间距下的地表建筑地震响应，地表建筑的相对地震响应幅值较原单一地表建筑可放大约40%。
上述研究表明，地上、地下建筑间的动力相互作用对彼此抗震性能的影响是不可忽略的。值得注意的是，实际地震波往往以一定角度斜入射至工程场地，场地地震动往往呈空间非一致性（黄景琦等，2014），而地震动的空间非一致性可能对土-结构动力相互作用机制造成较大影响（王国波等，2022）。因此，对于地下地铁车站而言，研究斜入射地震波作用下的车站结构-土-邻近地表建筑相互作用规律更具科学意义和工程参考价值，然而对该问题的研究较少。
因此，为探索斜入射地震波作用下地铁车站、土、地表建筑动力相互作用规律，本文采用基于频域刚度矩阵的自由场地震反应算法（后文简称刚度矩阵法）（张季等，2021b），采用ABAQUS有限元软件建立任意角度斜入射SV波作用下2层3跨双柱岛式地铁车站-土-地表框架结构动力响应数值分析模型，研究不同场地类别下地震波入射角对地铁车站-土-地表框架结构动力相互作用的影响规律，以期为地铁车站及邻近地表建筑抗震设计提供参考。
1. 数值模拟方法与模型参数
1.1 人工边界与地震动输入方法
采用黏弹性边界（刘晶波等，2007）消除有限元模型截断处的能量反射。在ABAQUS软件中，黏弹性边界可通过在模型人工截断边界上施加并联的接地弹簧和阻尼器元件实现，弹簧和阻尼器元件相关参数按下式取值：
$$ {K}_{{\rm{n}}}=\frac{1}{1+A}\frac{\lambda +2G}{2r}\text{，}{C}_{{\rm{n}}}=B\rho {c}_{{\rm{p}}} $$ (1) $$ {K}_{{\rm{t}}}=\frac{1}{1+A}\frac{G}{2r}\text{，}{C}_{{\rm{t}}}=B\rho {c}_{{\rm{s}}} $$ (2) 式中，C、K分别为阻尼系数和刚度系数；Kn、Kt分别表示施加于边界法向和切向的弹簧刚度系数；Cn、Ct分别表示施加于边界法向和切向的阻尼元件阻尼系数；ρ为土层密度；λ和G为拉梅常数；cp和cs分别为土的压缩波速和剪切波速；r为散射源至人工边界的距离；经验参数A、B 分别取0.8和1.1（杜修力等，2006）。
采用刘晶波等（1998）研究提出的地震动输入方法，将地震动输入转化为作用于黏弹性人工边界节点上的等效节点力
$ {\sigma }_{{\rm{l}}}（t） $ ，其计算公式为：$$ {\sigma }_{{\rm{l}}}(t)={\sigma }_{0}(x,y,t)+C\dot{u}(x,y,t)+Ku(x,y,t) $$ (3) 式中，
${\sigma }_{0}(x,y,t)\mathrm{、}u(x,y,t)$ 、$ \dot{u}\left(x,y,t\right)\mathrm{分}\mathrm{别} $ 为自由场节点处应力、位移、速度。本文采用刚度矩阵法计算等效节点力，该方法可准确求解层状地基中任意角度斜入射SV波的地震响应，求解过程详见张季等（2021b）的研究。值得注意的是，SV波斜入射时存在波形转换情况，当SV波小于某个角度入射时，将在土层界面上同时反射SV波和P 波，当SV波大于某个角度入射时，仅在土层界面上反射SV波，这个角度即为SV波临界角θcr，其与泊松比
$ \nu $ 有关，由下式确定：$$ {\theta }_{{\rm{cr}}}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\sqrt{\frac{1-2\nu }{2\left(1-\nu \right)}}\right) _{ } $$ (4) 当泊松比为0.333时，SV波临界角为30°。
1.2 模型参数
地铁车站-土-地表框架结构模型如图1所示，图中dS表示车站右侧边缘与地表框架结构左侧边缘的水平距离，dB表示车站埋深，H表示土层厚度，θ表示SV波入射角。本文取计算工况dS=0、5、10、15、20 m，dB=5 m，θ=0°、15°、30°、40°、50°、60°、70°。地上8层框架结构模型尺寸及参数详见张季等（2020）的研究，框架混凝土强度等级为C30，密度为2.5×103 kg/m3，弹性模量为3×104 MPa，泊松比为0.25；钢筋强度等级为HRB335，密度为7.8×103 kg/m3，弹性模量为2×105 MPa。地表框架结构基础假定为刚体，不考虑基础与下卧土体间的相对滑移，采用绑定连接方式连接基础与土体。
车站结构横断面如图2所示，单元尺寸约按0.2 m确定，中柱等效折减后C30混凝土弹性模量取3.29×103 MPa，密度取2.74×102 kg/m3。地铁车站与土之间的接触为有限滑动硬接触，即法向接触采用硬接触，切向接触服从Coulomb摩擦定律，土体与结构接触面摩擦系数μ取0.4（庄海洋等，2019）。
参考《建筑抗震设计规范》（GB 50011—2010）（中华人民共和国住房和城乡建设部等，2010），设计了Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ类场地，土层参数如图3所示，各层土均设为线弹性材料，3类场地土层厚度依次为60、60、85 m。土层有限元模型深度取至上述土层厚度，水平方向宽度取200 m。
取输入地震动为El Centro波和Kobe波，其加速度幅值均调幅为0.1 g，调幅后的加速度时程曲线如图4所示。计算时输入地震动截止频率取20 Hz，并按照地震波最小波长的1/10 确定土层有限元网格尺寸，土层最小单元尺寸约为0.65 m。
2. 结果分析
2.1 自由场地震响应
为便于后续分析，首先给出3类场地自由场（不存在地上或地下结构的场地）随入射波角度变化的地震反应特征。取自由场地表中点（对应于地铁车站中心正上方地表位置）水平向和竖向加速度幅值进行分析，其随SV波入射角变化曲线如图5所示。
图 5 自由场地表中点加速度峰值随入射角变化曲线Figure 5. Curve of peak acceleration of midpoint on the surface of free field varying with incident angle由图5可知，在El Centro波和Kobe波作用下，3类场地加速度幅值随入射角的变化特征总体上是类似的。对于水平向加速度，当入射角由0°变至临界角30°时，场地越软，加速度幅值越大，且加速度幅值总体上随着入射角的增大而减小；当入射角由临界角30°变至40°左右时，在Ⅱ、Ⅲ类场地中，加速度幅值随入射角的增大而增大；当入射角继续增大时，加速度幅值随入射角的增大逐渐减小。对于竖向加速度，当入射角由0°变至40°左右时，加速度峰值随入射角的增大逐渐增大；当入射角＞40°时，加速度峰值随入射角的增大逐渐减小。值得注意的是，对于Ⅱ类场地，水平向加速度峰值最大值均出现在SV波超临界角范围内，El Centro波入射时加速度峰值最大值出现在40°入射工况，为0.184 g，是垂直入射时加速度峰值0.121 g的1.52倍，Kobe波入射时加速度峰值最大值出现在35°入射工况，为0.126 g，是垂直入射时加速度峰值0.108 g的1.17倍。这表明在较硬的场地中，SV波以超临界角入射时，场地将受到更大的地震作用，可知地下结构在较硬的Ⅱ类场地中的地震作用效应更显著。
2.2 地表框架结构对地铁车站地震响应的影响
2.2.1 车站内力
图6～图8分别给出了3类场地不同dS条件下地铁车站侧墙（图中截面1和截面3）和车站上层中柱底端（图中截面2）弯矩、轴力随入射角的变化曲线，为便于比较，图中分别给出了无地表框架结构时车站3个截面弯矩、轴力随入射角的变化曲线。为便于标识，以数字1、2、3分别代表代表截面1、截面2、截面3，以E代表El Centro波入射、K代表Kobe波入射，以M表示弯矩，以N代表轴力，如图6（a）中“M1E”，表示El Centro波入射下截面1处的弯矩值。
图 6 Ⅱ类场地中地铁车站内力幅值随入射角变化曲线Figure 6. Amplitudes of internal forces of subway station varying with incident angles in class Ⅱ site
图 7 Ⅲ类场地中地铁车站内力幅值随入射角变化曲线Figure 7. Amplitudes of internal forces of subway station varying with incident angles in class Ⅲ site
图 8 Ⅳ类场地中地铁车站内力幅值随入射角变化曲线Figure 8. Amplitudes of internal forces of subway station varying with incident angles in class Ⅳ site由图6可知，在Ⅱ类场地中，车站3个截面处的内力峰值均不同程度地受地表框架结构的影响。
对于左侧墙截面1，当无地表框架结构时，弯矩最大值出现在入射角为30°～40°时，轴力最大值出现在入射角为40°左右，这些最大值均出现在SV波超临界角范围；存在地表框架结构时的地铁车站弯矩、轴力幅值和变化趋势与无地表框架结构时较相近，幅值相差≤10%。
对于中柱截面2，当无地表框架结构时，地铁车站弯矩在入射角为0°时最大，总体上随入射角的增大而减小。地铁车站轴力在入射角为50°时最大，当入射角＜50°时，轴力随入射角的增大而增大；当入射角＞50°时，轴力随入射角的增大而减小。当存在地表框架结构时，地铁车站弯矩幅值虽较无地表框架结构时略有增加，但随入射角的变化趋势与无地表框架结构时基本相同；地铁车站轴力幅值与无地表框架结构时具有较大差异，尤其是地表框架结构紧邻地铁车站（dS=0 m）时且入射波0°入射的情况，El Centro波入射时的地铁车站轴力幅值较无地表框架结构时增大了3倍，Kobe波入射时的地铁车站轴力幅值较无地表框架结构时增大了约1.5倍，地铁车站轴力随入射角的变化趋势与无地表框架结构时有显著差异。
对于右侧墙截面3，当无地表框架结构时，地铁车站弯矩、轴力随入射角的变化趋势与左侧墙截面1类似；当存在地表框架结构时，地铁车站弯矩、轴力随入射角的变化趋势与无地表框架结构时类似，但弯矩、轴力幅值总体上随着地表框架结构与地铁车站间距的减小而增大，弯矩最大增幅达86%，轴力最大增幅达270%。
由图7可知，Ⅲ类场地中，有、无地表框架结构时，地铁车站弯矩与轴力随入射角的变化特征总体上与Ⅱ类场地类似。从内力幅值来看，地表框架结构的存在会增大靠近框架结构的侧墙与中柱弯矩和轴力，当地表框架结构与地铁车站间距越小，增幅越大，地铁车站弯矩被地表框架结构放大幅度最高达49%，轴力被地表框架结构放大幅度最高达370%。
由图8可知，Ⅳ类场地中，地铁车站内力受地表框架结构的影响显著。总体来说，当地表框架结构与地铁车站距离较近时（如dS=0 m），地铁车站具有更大的内力幅值，如Kobe波以0°入射时，地表框架结构的存在使地铁车站侧墙截面1弯矩增大了1.5倍，使中柱截面2轴力增大了7.3倍，使侧墙截面3轴力增大了1.7倍。需注意，当El Centro波入射时，地表框架结构的存在反而降低了中柱截面2和侧墙截面3弯矩。
上述现象表明，地表框架结构的存在既可能对地铁车站侧墙内力具有增大作用，也可能具有降低作用，但当地表框架结构紧邻地铁车站时，无论何类场地或何种入射波，地表框架结构对车站中柱轴力均具有显著的放大效应，且该效应会改变中柱轴力随入射角的变化规律，总体上使中柱轴力在SV波0°入射时和超临界角10°左右入射时（入射角为40°左右）具有相当的幅值。
2.2.2 车站层间位移角
图9、图10分别给出了El Centro波、Kobe波作用下地铁车站层间位移角随入射角变化曲线。由图9可知，当入射波为El Centro波时，当无地表框架结构时，车站层间位移角总体上随入射角的增加逐渐减小。当存在地表框架结构时，对于Ⅱ类场地，地表框架结构对车站层间位移角具有放大效应，当地表框架结构紧邻地铁车站时（dS=0 m），车站最大层间位移角出现在入射角为30°时，此时的位移角幅值较无地表框架结构时增大71%；对于Ⅲ类场地，地表框架结构主要对车站上层层间位移角具有放大效应，当dS=0 m且入射角为0°时，放大效应最明显，增幅约20%，下层层间位移角与无地表框架结构时相当；对于Ⅳ类场地，地表框架结构对车站层间位移角具有缩小效应，且地表框架结构距车站越近，缩小效应越明显，上、下层层间位移角最大缩小幅度分别达30%和21%。
图 9 El Centro波作用下车站层间位移角随入射角变化曲线Figure 9. Variation curves of story drift ratio versus incident angle under El Centro wave
图 10 Kobe波作用下车站层间位移角随入射角变化曲线Figure 10. Variation curves of story drift ratio versus incident angle under Kobe wave当入射波为Kobe波时，地铁车站层间位移角随入射角的变化规律与El Centro波入射时基本一致，但放大、缩小幅值有一定差别，如当SV波以0°入射时，Ⅱ类场地中地铁车站层间位移角最大放大幅值达74%，Ⅳ类场地中地铁车站层间位移角最大缩小幅值达24%。
上述现象表明，地表框架结构对地铁车站变形效应的影响是复杂的。就本文模型而言，在较硬场地中，地表框架结构对地铁车站层间位移角响应具有显著的放大效应，且会改变层间位移角与入射角的关系特征；而在较软的场地中，地表框架结构反而降低了车站层间位移角响应。这是因为地铁车站-土-地表框架结构体系的动力特性是复杂的，体系中任意子结构动力特性发生变化均会对整体动力特性产生复杂影响，在同一地震波作用下，体系地震反应存在差异，如本文Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ类场地对应的自由场一阶自振周期分别为0.38、0.53、0.96 s，当自由场中仅存在地铁车站时，Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ类场地一阶自振周期缩短为0.35、0.51、0.82 s，而当场地中同时存在地铁车站和地表框架结构时，dS=0 m时的Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ类场地一阶自振周期分别延长至0.68、0.91、1.25 s。上述场地在受到相同的地震波作用下，由于模型整体动力特性发生变化，地震响应不同，如含地铁车站和地表框架结构的Ⅱ类场地卓越周期与输入波反应谱卓越周期最接近，表现出地表框架结构对地铁车站层间位移角具有显著的放大效应；含地铁车站和地表框架结构的Ⅳ类场地自振周期与输入波反应谱卓越周期相差最大，表现出地表框架结构对地铁车站层间位移角产生缩小效应；而Ⅲ类场地地表框架结构对地铁车站层间位移角的影响介于Ⅱ、Ⅳ类场地之间。
2.3 地铁车站对地表框架结构层间位移角的影响
3类场地中不同dS条件下的地表框架结构最大层间位移角随入射角变化曲线如图11所示。由图11可知，无论是El Centro波入射还是Kobe波入射，3类场地中均表现出地铁车站对地表框架结构最大层间位移角的放大作用，总体上来看，地铁车站与地表框架结构距离越近，放大作用越明显。当El Centro波入射时，Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ类场地中地铁车站对地表框架结构最大层间位移角的放大幅度最大值分别达49%、30%、49%；当Kobe波入射时，Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ类场地中地铁车站对地表框架结构最大层间位移角的放大幅度最大值分别达28%、42%、52%，上述放大作用最明显的工况均为入射角为0°。Ⅳ类场地放大作用最大的原因在于地表框架结构一阶自振周期为0.87 s，当其位于仅含地铁车站的Ⅳ类场地（一阶自振周期为0.82 s）上时，地表框架结构与下卧地基产生了共振现象。
图 11 地表框架结构最大层间位移角随入射角变化曲线Figure 11. Variation curves of maximum story drift ratio of aboveground frame structure versus incident angle由图11还可知，在Ⅱ、Ⅲ类场地中，地表框架结构最大层间位移角在入射角为0°和40°时均具有较大幅值。由于土层泊松比为0.33，SV波40°入射时对应于超临界角入射情况，此时场地还具有较大的竖向地震作用（图5），即入射角为40°时， 地表框架结构既受到较大的竖向地震作用，同时还具有较大的层间位移角变形。在相当的层间位移角变形条件下，竖向地震作用会加重结构地震损伤，因此，对于Ⅱ、Ⅲ类场地，垂直入射（入射角0°）和超临界角（入射角40°左右）入射时，均应为地表框架结构地震响应分析的不利工况。
3. 结论
本文通过ABAQUS有限元软件建立了地铁车站-土-地表框架结构地震响应分析模型，采用刚度矩阵法获得了任意角度斜入射SV波作用下地铁车站与紧邻地表框架结构间的动力相互作用规律，得出以下结论：
（1）地表框架结构的存在可能增大或降低地铁车站侧墙内力幅值，但对于地铁车站中柱轴力而言，主要表现出放大效应，尤其是Ⅳ类场地中当地表框架结构与地铁车站紧邻时放大效应最显著，且放大效应会改变轴力随入射角的变化规律，总体上使车站中柱轴力在SV波垂直入射时和超临界角10°左右入射时均具有相当的幅值。
（2）地表框架结构对地铁车站层间位移角的影响与场地条件、输入波频谱特性等密切相关，就本文模型而言，在较硬的场地中，地表框架结构对地铁车站层间位移角响应具有显著的放大效应，且改变了车站层间位移角与入射角的关系特征，在较软的场地中，地表框架结构会减小车站层间位移角响应。
（3）地铁车站的存在对地表框架结构层间位移角具有放大作用，总体上，地铁车站与地表框架结构的距离越近，放大作用越显著。
（4）在较硬的Ⅱ、Ⅲ类场地中，SV波垂直入射时和超临界角10°左右入射均应为地上或地下结构地震响应分析的不利工况。
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图 6 顶点位移统计均值和最大层间位移角统计均值关系图
Figure 6. The relationship between mean values of roof displacement and mean values of inter-story drift ratio
表 1 柱尺寸及配筋
Table 1. Sizes and reinforcement of columns
5层结构1层 2层 3～5层 
500×500 mm 500×500 mm 500×500 mm
10层结构1～3层 4～5层 6～8层 9～10层 
700×700 mm 700×700 mm 650×650 mm 650×650 mm
15层结构1层 2～7层 8～15层 
700×700 mm 700×700 mm 650×650 mm 
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表 2 对数回归分析的参数结果
Table 2. Results of parameters from logarithmic regression analysis
层数 方法 a b $\beta $ 5
层R&H 0.83676 −4.0223 0.4665 退化 0.82756 −4.0423 0.4591 G&S 1.0745 −3.4258 0.6621 Kowalsky 1.0226 −3.5449 0.6149 Iwan 0.92018 −3.7250 0.5102 OpenSees 1.0078 −3.7162 0.4922 10
层R&H 0.89648 −4.2811 0.6235 退化 0.88171 −4.3166 0.5990 G&S 0.99393 −3.9680 0.7445 Kowalsky 0.96367 −4.0314 0.7292 Iwan 0.93816 −4.0919 0.6768 OpenSees 0.97903 −4.0231 0.4738 15
层R&H 0.92646 −4.5607 0.6187 退化 0.91607 −4.5822 0.6051 G&S 0.99907 −4.3595 0.7181 Kowalsky 0.97238 −4.3966 0.6967 Iwan 0.94396 −4.3783 0.7116 OpenSees 0.90681 −4.0942 0.4959
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表 3 结构破坏状态对应的最大层间位移角
Table 3. The maximum inter-story drift ratio corresponding to the damage states of the structure
破
坏
状
态轻
微
破
坏中
等
破
坏严
重
破
坏
倒
塌层间位移角$\theta $ 0.002 0.005 0.01 0.02
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1. 邬泽，卢广，庄海洋，唐柏赞. 既有上部结构向下增建地下结构抗震性能研究. 振动与冲击. 2025(02): 245-253 . 
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