Preliminary Study on the Spatial Coherency of Surface Wave
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摘要: 本文选取台湾LSST、SMART-1台阵地震记录，分别计算不同间距S波和面波相干系数，采用Loh提出的相干函数模型对计算结果进行参数拟合。研究结果表明，当台站间距
$ d < \text{50}\;{\rm{m}} $ 时，面波和S波相干系数基本相同；当台站间距$d = \text{500}\;{\rm{m}}$ 时，面波相干系数小于S波相干系数，且随着台站间距的增大，二者的差别逐渐增大；当台站间距$ d > \text{500}\;{\rm{m}}$ 时，面波空间相干性几乎不存在，可不考虑。本文给出的面波相干函数模型参数可作为大型盆地中的长大结构抗震分析时合成地震动场的参考。Abstract: In this paper, seismic records of Taiwan LSST array and SMART-1 array were selected to calculate the S-wave and surface wave coherence coefficients at different station distances. And then the coherence function model proposed by Loh was used to fit the calculation results. After comparison and analysis, we found that when the distance d < 50 m, the coherency coefficients of surface wave and S-waves are basically the same; when the distance d = 50 m , the coherency coefficients of surface wave is smaller than that of S-wave, and as the distance increases, the differences gradually increase. When the distance d > 500 m, the spatial coherency of the surface wave hardly exists, so no further consideration is needed. Finally, the surface wave coherency model parameters were given in this paper, which can be used as a reference for the synthetic ground motion field in the seismic analysis for long and large structures in large basins.-
Key words:
- S-wave /
- Surface wave /
- Spatial coherency /
- SMART-1 array /
- LSST array
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引言
场地条件不仅影响地震波的传播，也影响地震动的空间相干性。Toksöz等（1991）、Schneider等（1992）和Imtiaz（2015）分别比较了不同基岩场地和土层场地加速度记录的S波空间相干性，发现不同场地地震动相干性具有很大差别，通常对土层场地空间相干性的关注度较高。土层场地得到的强震记录一般包含P波、S波、面波和各种反射尾波（coda波），特别是盆地中，地震记录中的面波占比较大，Zerva等（2011）分析了新西兰Wainuiomata Parkway山谷的台阵记录，发现地震波在该山谷中的运动以面波为主。多数相干函数研究选取S波时间窗进行统计分析（Harichandran等，1986；Hao，1989，1993；Loh等，1990），也有少部分研究直接采用整条地震记录进行计算（刘先明等，2004；李英民等，2013），但由不同地震波波形得到的相干函数模型参数具有较大差别（马俊玲等，2018）。然而，目前在地震波中不易完全分离出面波，且没有纯粹的面波，面波虽占比较大，但其中夹杂着其他波形。由于盆地台阵强震记录较少，面波相干性的研究并不多。Riepl等（1997）利用希腊Thessaloniki东北部冲积河谷EURO-SEISTEST台阵的小震记录，分析了S波、coda波和噪声等不同波形对相干性的影响。Imtiaz（2015）利用希腊KoutavosArgostoli冲积河谷场地MUSIQUE台阵的地震记录，分析了面波对相干系数的影响。Ding等（2015）和Todorovska等（2015）利用基于面波频散特征的合成地震波计算了相干系数，并与已有模型进行了比较。但这些研究并未给出面波的相干性关系，仅研究了S波的相干性，无法满足各类场地、工程结构的抗震分析应用，因此有必要对面波相干性进行研究。
本文选取台湾SMART-1台阵（Abrahamson等，1987）和LSST台阵（Abrahamson等，1991）地震加速度记录，计算面波（混杂一些其他波形）加速度相干系数，并与S波相干系数进行比较分析。
1. 数据来源与分析
SMART-1台阵（图1）最初由1个中心测点和内外3个同心圆周测点组成，置于中心测点的台站被称为C00中央台站，3个同心圆半径分别为200、1 000、2 000 m，由内向外依次为圆I、圆M、圆O；分别在露头基岩上增加了E01、E02、E03、E04站点。LSST台阵（图2）坐落在SMART-1台阵中圈M和外圈O之间，接近SMART-1台阵的O08站（图1），以120°的间隔沿三臂呈放射状展开，每个臂长约50 m，各安装5个加速度计，3个方向的台站分别命名为FA1、FA2和FA3。
图 1 SMART-1台阵和LSST台阵相对位置示意Figure 1. Relative positions of SMART-1 array and LSST arraySMART-1台阵位于我国台湾省宜兰县罗东镇兰阳平原的冲积河谷，地形平坦，各台站土层厚度不同，存在明显的横向介质不一致现象，虽然与传统的由地表暴露沉积岩折叠和冲积河谷产生的盆地不同，但在该台阵的强震记录中，存在着较丰富的面波成分。Darragh（1988）对SMART-1加速度记录数据进行了分析，结果表明，对于水平分量，约＜2.5 Hz的地震波能量主要来源于Rayleigh波，2.5～6 Hz的地震波能量主要来源于SH波和Love波。Abrahamson等（1991）分析了SMART-1多次地震的加速度数据，结果表明，在某些时间窗中，面波占主要成分。Abrahamson等（1991）给出了LSST台阵得到的各次地震记录的S波时间窗，Abrahamson等（1991）、Zerva等（1997）、Liao（2006）给出了SMART-1台阵得到的地震记录的S波时间窗。由于建台时间不同，SMART-1台阵和LSST台阵记录的地震编号不同。本文选取了发生于1986年5月20日地震的加速度进行分析，其中震级ML=6.5，震中距70 km，震源深度16 km。对于这次地震，SMART-1台阵的地震记录编号为Event-40，LSST台阵的地震记录编号为Event-7。综合SMART-1台阵与LSST台阵的分布，本文进行地震动空间相干性分析时，考虑的台站间距为3～2 000 m。受篇幅限制，仅给出部分台站东西向加速度时程，如图3所示，其中，SMART-1台阵数据采样间隔为0.01 s，LSST台阵数据采样间隔为0.005 s，S波时间窗为5 s，S波以后的波形主要成分可认为是面波（包括一些其他波形）。
图 3 东西向加速度时程及S波时间窗Figure 3. Acceleration traces of EW components and the S-wave time window we used若假定
$ a\left(t\right) $ 为加速度时程，定义时程曲线与x轴围成的面积为能量：$$ \begin{array}{c}I\left(t\right)=\dfrac{{\displaystyle\int }_{0}^{t}{a}^{2}\left(t\right){\rm{d}}t}{{\displaystyle\int }_{0}^{T}{a}^{2}\left(t\right){\rm{d}}t}\end{array} $$ (1) 式中，T为地震动总持时，
$ I\left(t\right) $ 为数值范围在0～1的函数。假定
$ {T}_{{{\rm{P}}}} $ 、$ {T}_{\mathrm{S}} $ 和$ {T}_{\mathrm{f}} $ 分别为P波、S波和面波的时间长度，假设1条地震的时间记录长度为$ \left|0-T\right| $ ，P波从时刻t=0开始，P波截止时刻$ {t}_{1} $ 为S波的起始时刻，则P波时间长度${T}_{{\rm{P}}}$ =$ \left|{t}_{1}-0\right| $ ，假设S波截止时刻为$ {t}_{2} $ ，则S波时间长度$ {T}_{\mathrm{S}} $ =$ \left|{t}_{2}-{t}_{1}\right| $ ；同理，面波积分时间长度$ {T}_{\mathrm{f}} $ =$ \left|T-{t}_{2}\right| $ 。由式（1）可分别得到P波、S波和面波的能量
${E}_{{\rm{P}}}$ 、$ {E}_{\mathrm{S}} $ 和$ {E}_{\mathrm{f}} $ ，各波形能量与整条波能量之比为能量占比，如S波能量占比为:$$ \begin{array}{c}\alpha =\dfrac{I\left({t}_{{\rm{P}}}\right)}{I\left(T\right)}=\dfrac{{\displaystyle\int }_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{a}^{2}\left(t\right){\rm{d}}t}{{\displaystyle\int }_{0}^{T}{a}^{2}\left(t\right){\rm{d}}t}\end{array} $$ (2) Event-40、Event-7地震波各分量东西（EW）向和南北（NS）向能量占比如图4所示，其中Event-7地震波缺失FA2-4台站数据。由图4可知，绝大多数记录中，P波能量占比较小，S波能量占比较大，而面波（包含少量其他波形）占比为20%～40%。一般地，对于一些沉积层较厚的大型盆地，面波占比将更大。
2. 相干函数计算方法
基于强震台阵观测资料，假定
$ {x}_{\mathrm{j}}\left(t\right) $ 和$ {x}_{\mathrm{k}}\left(t\right) $ 为场点j和k的2个时间历程，根据随机振动理论，相干函数具体计算方法（Zerva，2009）如下：（1）计算
$ {x}_{\mathrm{j}}\left(t\right) $ 和$ {x}_{\mathrm{k}}\left(t\right) $ 的傅里叶谱$ {A}_{\mathrm{j}}\left(f\right) $ 和$ {A}_{\mathrm{k}}\left(f\right) $ 。（2）计算自功率谱
$ {S}_{\mathrm{j}}\left(f\right) $ 和$ {S}_{\mathrm{k}}\left(f\right) $ ：$$ \begin{array}{c}{S}_{\mathrm{j}}\left(f\right)={A}_{\mathrm{j}}\left(f\right){A}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{*}}\left(f\right)\end{array} $$ (3) $$ \begin{array}{c}{S}_{\mathrm{k}}\left(f\right)={A}_{\mathrm{k}}\left(f\right){A}_{\mathrm{k}}^{*}\left(f\right)\end{array} $$ (4) 式中，
$ {A}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{*}}\left(f\right) $ 和$ {A}_{\mathrm{k}}^{*}\left(f\right) $ 分别为$ {A}_{\mathrm{j}}\left(f\right) $ 和$ {A}_{\mathrm{k}}\left(f\right) $ 的复共轭，且自功率谱$ {S}_{\mathrm{j}}\left(f\right) $ 和$ {S}_{\mathrm{k}}\left(f\right) $ 为实数。（3）计算互功率谱
$ {S}_{\mathrm{j}\mathrm{k}}\left(f\right) $ ：$$ \begin{array}{c}{S}_{\mathrm{j}\mathrm{k}}\left(f\right)={A}_{\mathrm{j}}\left(f\right){A}_{\mathrm{k}}^{*}\left(f\right)\end{array} $$ (5) 式中，互功率谱
$ {S}_{\mathrm{j}\mathrm{k}}\left(f\right) $ 为复数。（4）对
$ {S}_{\mathrm{j}}\left(f\right) $ 、$ {S}_{\mathrm{k}}\left(f\right) $ 和$ {S}_{\mathrm{j}\mathrm{k}}\left(f\right) $ 进行平滑处理，得到平滑后的$ {\overline{S}}_{\mathrm{j}}\left(f\right) $ 、${\overline{S}}_{\mathrm{k}}\left(f\right)$ 和${\overline{S}}_{\mathrm{j}\mathrm{k}}\left(f\right)$ 。（5）定义
$ {x}_{\mathrm{j}}\left(t\right) $ 和$ {x}_{\mathrm{k}}\left(t\right) $ 的相干函数为：$$ \begin{array}{c}{\gamma }_{\mathrm{j}\mathrm{k}}\left(f\right)=\dfrac{{\overline{S}}_{\mathrm{j}\mathrm{k}}\left(f\right)}{\sqrt{{\overline{S}}_{\mathrm{j}}\left(f\right){\overline{S}}_{\mathrm{k}}\left(f\right)}}\end{array} $$ (6) 由于互功率谱
${\overline{S}}_{\mathrm{j}\mathrm{k}}\left(f\right)$ 为复数，自功率谱$ {\overline{S}}_{\mathrm{j}}\left(f\right) $ 和$ {\overline{S}}_{\mathrm{k}}\left(f\right) $ 为实数，所以式（6）中$ {\gamma }_{\mathrm{j}\mathrm{k}}\left(f\right) $ 为复数，且$0\leqslant \left|{\gamma }_{\mathrm{j}\mathrm{k}}\left(f\right)\right|\leqslant 1$ ，取相干函数绝对值：$$ \begin{array}{c}\left|{\gamma }_{\mathrm{j}\mathrm{k}}\left(f\right)\right|=\dfrac{\left|{\overline{S}}_{\mathrm{j}\mathrm{k}}\left(f\right)\right|}{\sqrt{{\overline{S}}_{\mathrm{j}}\left(f\right){\overline{S}}_{\mathrm{k}}\left(f\right)}}\end{array} $$ (7) $ \left|{\gamma }_{\mathrm{j}\mathrm{k}}\left(f\right)\right| $ 被称为迟滞相干系数，大多数情况下所讨论的均为迟滞相干系数，并将迟滞相干系数称为相干系数。根据LSST台阵和SMART-1台阵的分布，分别计算12种不同间距的地震动相干系数。本文考虑的不同台站间距及对应的台站如表1、2所示。
表 1 LSST台阵台站间距和相应的台站对Table 1. Station spacing and station pairs of LSST array台站间距d/m 台站对 3 FA1-1—FA1-2，FA2-1—FA2-2，FA3-1—FA3-2 6 FA1-2—FA1-3，FA1-3—FA1-4，FA2-2—FA2-3，
FA3-2—FA3-3，FA3-3—FA3- 49 FA1-1—FA1-3，FA2-1—FA2-3，FA3-1—FA3-3 36 FA1-3—FA1-5，FA2-3—FA2-5，FA3-3—FA3-5 45 FA1-1—FA1-5，FA2-1—FA2-5，FA3-1—FA3-5 86 FA1-5—FA2-5，FA2-5—FA3-5，FA3-5—FA1-5 表 2 SMART-1台阵台站间距和相应的台站对Table 2. Station spacing and station pairs of SMART-1 array台站间距d/m 台站对 104 I03—I04，I04—I05，I05—I06，I06—I07 200 C00—I03，C00—I06，C00—I09，C00—I12 282 I03—I06，I06—I09，I09—I12 400 I01—I07，I03—I09，I06—I12 517 M03—M04，M05—M06 800 I03—M03，I05—M05，I06—M06 利用式（3）～（7）可计算各台站对中S波和面波的相干系数，将丁海平等（2018，2020）的研究作为截止频率选取依据，本文截止频率取为10 Hz。不同台站间距下S波和面波相干系数如图5、6所示，其中实线表示东西(EW)方向的相干系数，虚线表示南北(NS)方向的相干系数。在此基础上，利用Loh相干函数模型（Loh等，1990）对计算结果进行参数拟合：
图 6 不同台站间距的面波相干系数Figure 6. Coherency coefficients of surface wave for different distances$$ \begin{array}{c}\left|\gamma \left(f,d\right)\right|={\rm{exp}}\left[-\left(a+b{f}^{2}\right)d\right]\end{array} $$ (8) 式中，
$ f $ 为频率，$ d $ 为台站间距，$ a $ 和$ b $ 为拟合参数。根据拟合结果，分别计算不同台站间距下S波和面波相干系数曲线，如图7所示，图7中实线为S波相干系数，虚线为面波相干系数。
图 7 不同间距下S波和面波拟合相干系数对比Figure 7. Comparison of the coherency coefficients of S-wave and surface wave for different distances由图6、7可知，面波相干系数存在随频率的增大及台站间距的增大而减小的趋势，这与现有相干系数的认识一致。当台站间距
$d < \text{40} \;{\rm{m}}$ 时，频率$ f < $ 2 Hz的相干系数几乎接近1，频率f > 2 Hz的相干系数基本为0.9～1.0，图5中S波也有类似结果，这也从另一个角度证明了结构尺寸较小时，考虑地震波的一致输入是合理的。由图7可知，当台站间距较小时，如
$d < \text{50}\; {\rm{m}}$ ，S波和面波的相干系数差别较小；随着台站间距的增大，二者的差别越来越大。相对地，面波相干系数随着台站间距的增大衰减较快。当台站间距较大时，面波相干系数随频率的变化不明显，这说明当台站间距达一定值时，面波相干性较小。因此，本文取$3\;{\rm{m}} < d < \text{500}\;{\rm{m}}$ 不同台站间距的面波记录进行统计回归，得到基于Loh相干函数模型的拟合参数$ a $ =1.479、$ b $ =0.001 28。3. 结论与讨论
本文选取了同一场地不同台站间距的台湾SMART-1台阵和LSST台阵记录的水平向加速度进行分析，分别计算了台站间距为3～800 m的面波相干系数，并计算S波相干系数，以进行比较，采用Loh提出的相干函数模型对计算结果进行了拟合，得出以下结论：
（1）当台站间距较小时，面波相干系数与S波相干系数基本一致；随着台站间距的增大，面波空间相干性降低幅度明显大于S波，面波相干系数与S波相干系数的差别逐渐增大，面波相干系数小于S波相干系数。
（2）当台站间距达一定值时，面波相干系数随着频率的增大基本不变，可不考虑空间相干性。
由不同地震波波形得到的相干函数模型参数具有较大差别，在对盆地中的长大结构进行抗震分析时，特别是大型盆地，即面波占主要成分的场地，如果直接采用已有的基于S波时间窗得到的地震动空间相干函数模型进行地震动场的合成，可能会增大地震波的相干性，有必要选择面波的地震动空间相干性进行分析。但由于布置在盆地中的台阵很少，相应的地震记录较缺乏，且面波区分较困难，对于面波地震动空间相干性的研究需进一步加强。本文采用的地震波记录中的面波（同时夹杂着其他波形）成分虽不是主要波形，但得到的结果可作为参考。
致谢 本文利用的LSST台阵强震资料由（台湾）中央研究院地球科学研究所黄文纪研究员提供，在此表示衷心感谢。
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图 1 SMART-1台阵和LSST台阵相对位置示意
Figure 1. Relative positions of SMART-1 array and LSST array
图 3 东西向加速度时程及S波时间窗
Figure 3. Acceleration traces of EW components and the S-wave time window we used
图 6 不同台站间距的面波相干系数
Figure 6. Coherency coefficients of surface wave for different distances
图 7 不同间距下S波和面波拟合相干系数对比
Figure 7. Comparison of the coherency coefficients of S-wave and surface wave for different distances
表 1 LSST台阵台站间距和相应的台站对
Table 1. Station spacing and station pairs of LSST array
台站间距d/m 台站对 3 FA1-1—FA1-2，FA2-1—FA2-2，FA3-1—FA3-2 6 FA1-2—FA1-3，FA1-3—FA1-4，FA2-2—FA2-3，
FA3-2—FA3-3，FA3-3—FA3- 49 FA1-1—FA1-3，FA2-1—FA2-3，FA3-1—FA3-3 36 FA1-3—FA1-5，FA2-3—FA2-5，FA3-3—FA3-5 45 FA1-1—FA1-5，FA2-1—FA2-5，FA3-1—FA3-5 86 FA1-5—FA2-5，FA2-5—FA3-5，FA3-5—FA1-5 
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表 2 SMART-1台阵台站间距和相应的台站对
Table 2. Station spacing and station pairs of SMART-1 array
台站间距d/m 台站对 104 I03—I04，I04—I05，I05—I06，I06—I07 200 C00—I03，C00—I06，C00—I09，C00—I12 282 I03—I06，I06—I09，I09—I12 400 I01—I07，I03—I09，I06—I12 517 M03—M04，M05—M06 800 I03—M03，I05—M05，I06—M06
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