1.   引言

随着能源需求的持续快速增长，中国核电建设已经由适度发展进入积极推进、由沿海规划到内陆规划的时期（周伯昌等，2008），关于核电厂的研究工作也正在大量开展。本研究结合目前工程实际，以某高温气冷堆核电厂建筑结构为原形，探讨不同的建筑结构有限元计算模型在核电厂建筑结构模态分析中的影响。

模态分析用于分析结构的自振特性，即结构的自振频率和振型，是承受动态载荷结构设计中的重要参数，同时也可作为其他动力学分析问题的起点，例如瞬态动力学分析、谐响应分析和谱分析，模态分析也是进行谱分析、模态叠加法谱响应分析、瞬态动力学分析所必需的前期分析过程。

有限元模型是进行有限元分析的数学模型，它为计算提供所有原始数据。模型的形式选取直接影响计算精度、计算时间、所需内外存大小及计算过程能否完成。本研究在考虑上述影响因子的基础上，建立2种不同的结构模型，即Solid模型和Shell模型，进行模态分析，并做对比研究，探讨高温气冷堆核电厂建筑结构的振动特性。

2.   高温气冷堆核电厂建筑结构有限元建模及模态分析

2.1   有限元计算模型

模态分析由4个主要步骤组成：（1）建模；（2）加载及求解；（3）扩展模态；（4）结果与处理。在这4个步骤中，最重要的是建模，建模完成后有限元分析软件将自动生成总体质量矩阵M和总体刚度矩阵K。建模主要包括：（1）选择单元类型；（2）定义单元特性（材料特性和截面特性）；（3）根据结构划分单元（傅志方等，2000）。

本文选取的高温气冷堆核电厂建筑结构原型座落在基岩上，采用刚性基底边界条件，即标高-0.1m以下外墙全部固接。核电厂结构平面布局如图 1所示，主要由厂房和安全壳组成，分地下和地上2部分，地下共5层，从下到上层高分别为9.00m、7.50m、2.30m、2.55m、5.95m，地上共6层（包括牛腿顶），从下到上层高分别为5.00m、5.40m、5.70m、7.30m、12.40m、9.40m（周伯昌，2007）。

图 1  高温气冷堆核电厂结构平面示意图

Figure 1.  Structural plan of the high temperature gas-cooled reactor nuclear power plant

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核电厂抗震Ⅰ类构筑物的安全功能要求混凝土结构在使用过程中不得进入非线性，因此本文假定核电厂建筑结构为线弹性结构。本文采用相同的有限元分析软件和分析方法，在保证计算结果精度和控制模型规模的前提下，对上述核电厂建筑结构采用2种不同的计算模型进行模拟。

第1种模型采用可以承受单向拉伸、压缩、扭转和弯曲的单轴受力三维梁单元模拟柱，该单元在每个节点上有6个自由度（x、y、z方向的线位移和绕x、y、z轴的角位移），材料密度为1.0kg/m³，弹性模量为3.0×10¹⁰N/m²，泊松比为0.2；采用可以灵活定义不同质量或转动惯量的质量点单元模拟搁置在安全壳中的2个压力舱室，点单元具有x，y，z三个方向的位移及旋转，共有6个自由度，不同质量或转动惯量可分别定义于每个坐标系方向；采用同时具有弯曲能力和膜力，可以承受平面内荷载和法向荷载的弹性壳单元模拟楼板、墙、钢网格板，该单元每个节点具有6个自由度（沿节点坐标系x、y、z方向的平动和沿节点坐标系x、y、z轴的转动），材料密度为2.5× 10³kg/m³，弹性模量为3.15×10¹⁰N/m²，泊松比为0.2；采用可以进行塑性、蠕变、应力硬化、大变形及大应变分析的三维固体单元模拟安全壳，该单元由8个节点结合而成，每个节点有x、y、z 3个方向的自由度。安全壳为C40混凝土（其它构件均为C35混凝土），材料密度为2.5×10³kg/m³，弹性模量为3.25×10¹⁰N/m²，泊松比为0.2。由这4种单元组成的模型称为实体结构模型，简称Solid模型，模型分网及剖面图如图 2所示，共29394个节点，34622个单元（王勖成等，1997；周伯昌，2007；贺秋梅等, 2014, 2015）。

图 2  Solid模型分网及剖面图

Figure 2.  Meshing and sketch section of the Solid model

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另1种模型的描述如下：柱和搁置在安全壳中的2个压力舱室的模拟同Solid模型；楼板、墙、钢网格板采用具有塑性、蠕变、应力刚化、大变形和大应变特性，且适合模拟线性、弯曲及适当厚度的壳体结构进行模拟，该单元为4节点塑性大应变单元，每个节点具有6个自由度（沿x、y、z方向的平动以及绕x、y、z轴的转动），材料密度为2.5×10³kg/m³，弹性模量为3.15×10¹⁰N/m²，泊松比为0.2；采用具有塑性、应力刚化、大变形以及大应变能力，且适合于曲壳模型的结构壳单元模拟安全壳，该单元有8个节点，每个节点具有6个自由度（沿节点坐标系x、y、z方向的平动和沿节点坐标系x、y、z轴的转动）。安全壳为C40混凝土（其它构件均为C35混凝土），材料密度为2.5×10³kg/m³，弹性模量为3.25×10¹⁰N/m²，泊松比为0.2。由这4种单元组成的结构模型称为壳单元结构模型，简称Shell模型，模型分网及剖面图如图 3所示，共7780个节点，7940个单元（王勖成等，1997；周伯昌，2007；贺秋梅等, 2014, 2015）。

图 3  Shell模型分网及剖面图

Figure 3.  Meshing and sketch section of the Shell model

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2.2   模态分析方法

本文采用无阻尼模态分析方法。典型的无阻尼模态分析求解方程如下：

式中，[K]为刚度矩阵，{$ \phi_{i}$}为第i阶模态的振型向量（特征向量），$\varpi_{i}$为第I阶模态的自振频率（$\varpi_{i}^2$是特征值），[M]为质量矩阵。

可通过多种数值方法求解式（1），得到结构的自振频率及对应振型。本文采用子空间迭代技术和广义的Jacobi迭代算法进行求解（傅志方等，2000）。

3.   模态分析结果比较、分析

3.1   2种模型自振频率对比

在2种模型的模态分析中均计算、提取并扩展了100阶模态。本文对2种模型的分析、计算仅取前30阶结构自振频率。2种模型的频率对比因子采用相对误差R表示。

式中，f_Solid为Solid模型频率，f_Shell为Shell模型频率。

2种模型的自振频率见表 1。

表 1  2种模型的自振频率对比

Table 1.  Comparison of natural frequencies of the two models

阶数	频率/Hz
	Solid	Shell	R
1	3.9598	3.8975	1.60%
2	5.0568	4.9366	2.43%
3	5.2341	5.1234	2.16%
4	6.7163	6.6561	0.90%
5	7.3261	7.2158	1.53%
6	7.3548	7.3548	1.27%
7	7.6120	7.4814	1.75%
8	7.7172	7.5667	1.99%
9	8.3577	8.2456	1.36%
10	8.6534	8.5334	1.41%
11	8.7922	8.6758	1.34%
12	9.8357	9.5777	2.69%
13	10.224	10.093	1.30%
14	10.849	10.682	1.56%
15	11.242	10.991	2.28%
16	11.354	11.085	2.43%
17	11.722	11.579	1.23%
18	12.001	11.606	3.40%
19	12.518	12.347	1.38%
20	12.800	12.673	1.00%
21	14.606	14.385	1.54%
22	15.490	15.366	0.81%
23	15.738	15.672	0.42%
24	16.601	16.401	1.22%
25	17.306	17.061	1.44%
26	17.421	17.320	0.58%
27	17.486	17.400	0.49%
28	17.872	17.827	0.25%
29	18.691	18.410	1.53%
30	18.855	18.792	0.34%

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由表 1可知，Solid模型的自振频率总是高于Shell模型的自振频率；2种模型的自振频率相对误差R最小值为0.25%，最大值为3.40%；相对误差R的分布与高低阶自振频率之间没有特定规律；分布在0.00%－0.99%之间的相对误差R有7个，分布在1.00%—1.99%之间的相对误差R有17个，约占相对误差总个数的57%，分布在2.00%—2.99%之间的相对误差R有5个，分布在3.00%—3.99%之间的相对误差R仅有1个。

3.2   2种模型振型图对比

在2种结构模型模态分析中均计算了前100阶振型。图 4为Solid模型在x、y方向上的1、2、3阶振型图，图 5为Shell模型在x、y方向上的1、2、3阶振型图，图 6为Solid模型和Shell模型的扭转振型图。

图 4  Solid模型在x、y方向上的1、2、3阶振型图

Figure 4.  First, second and third order mode shapes of the Solid model in x and y directions

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图 5  Shell模型在x、y方向上的1、2、3阶振型图

Figure 5.  First, second and third order mode shapes of the Shell model in x and y directions

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图 6  Solid模型和Shell模型扭转振型图

Figure 6.  Torsional mode shapes of the Solid model and Shell model

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由图 4、图 5、图 6可知，Solid模型和Shell模型的1、2、3阶振型及扭转振型都在前10阶振型中：2种模型竖向振型都在第1阶自振频率处，对应的自振频率分别为3.9598Hz、3.8975Hz；2种模型x轴方向的1阶振型都在第2阶自振频率处，对应的自振频率分别为5.057Hz、4.937Hz；2种模型y轴方向的1阶振型都在第3阶自振频率处，对应的自振频率分别为5.234Hz、5.123Hz；2种模型x轴方向的2阶振型都在第7阶自振频率处，对应的自振频率分别为7.612Hz、7.481Hz；2种模型y轴方向的2阶振型分别在第6阶和第5阶自振频率处，对应的自振频率分别为7.355Hz、7.216Hz；2种模型x轴方向的3阶振型都在第9阶自振频率处，对应的自振频率分别为8.358Hz、8.246Hz；2种模型y轴方向的3阶振型都在第10阶自振频率处，对应的自振频率分别为8.653Hz、8.533Hz；2种模型的扭转振型都在第8阶自振频率处，对应的自振频率分别为7.717Hz、7.567Hz。从振型可以看出，2种模型的振型基本一致。

4.   结论

从Solid模型和Shell模型模态分析计算得到的自振频率和振型的计算，对比可以看出Solid模型的自振频率总是比Shell模型的自振频率高，但2种模型的自振频率相对误差较小；2种模型的振型结果基本相似。这说明在进行结构动力分析时2种模型都是基本正确可取的，均可作为进一步力学分析的模型。上述计算数据、分析结论亦可为高温气冷堆核电厂建筑结构实际工程设计和相关动力分析及破环机理研究提供参考。