引言

对于缺乏实际地震记录的地区，人工模拟地震动是获取场址地震输入的一种方法。在工程实践中，一般用于结构抗震设计的地震输入都是以场地相关反应谱为目标进行人工模拟，模拟中各种表征地震动特性的参数，可通过对大量地震数据的统计分析得到（李英民等，2002）。该方法虽然简单且便于实际工程应用，但是未能较好地解释地震的震源特性和传播过程，适用于小区域内单体工程的地震输入模拟。基于地震学方法的地震动模拟，能够定量表达复杂的地震破裂和传播过程，实现震源—传播介质—场地的全过程描述，可用于较大区域的地震动模拟及该区域的地震危险性分析。这种模拟方法主要包括确定性方法、随机方法和混合方法，其中确定性方法也就是传统意义上的地震学方法，主要适用于模拟长周期地震波，但在高频段的模拟精度不够，结果不够稳定（Aki等，1980）；随机方法是一种半经验半理论的方法，主要用于高频段地震动的模拟，在地震波的传播过程中，虽然考虑了距离衰减及粘弹性衰减，但未能计入地壳的速度结构对地震波传播过程的影响（Beresnev等，1997；王海云，2004；常莹，2011）；混合方法则充分发挥了确定性方法和随机方法各自的优点，用确定性方法模拟地震波的低频部分，而高频部分则用随机方法去获得，然后分别进行低通、高通滤波后再重构地震动，实现宽频带地震动的模拟（Kamae等，1998；Hartzell等，1999）。由于近场地震动是结构物破坏的主要原因，而震源尺度、埋深以及破裂过程等对近场地震动特性及空间分布有显著影响（Wang，2001），因此对一些重大工程，需要采用能够考虑震源及传播特性的地震动模拟结果。与基于地震学方法的全过程地震动模拟方法相比，采用随机有限断层方法进行地震动模拟耗时较短，参数设置相对简单，且能够近似描述震源特点，考虑断层尺寸以及破裂过程的不均匀性，而且中强地震高频成分比较丰富，因此能够更好地应用于重大工程抗震设计（Beresnev等，1998；Motazedian等，2005）。

1.   随机有限断层法的基本原理

随机地震动模拟方法由Housner（1947）在随机振动模型的基础上提出，能够较好地反映地震动的时频非平稳性特点。对于中小地震或距离场址较远的地震，由于震源体尺寸较小，可以不考虑震源的空间分布特征（Wang，2001），采用Boore（2009）的随机点源法进行地震动模拟。然而，当发震断层规模较大，使用单一点源模型显然是不合理的，为此Beresnev等（1997）考虑了断层的尺度，在Brune（1970）、McGuire等（1980）、Hanks等（1981）和Boore（2009）等人对震源谱研究的基础上，提出了随机有限断层模型，并编制了地震动模拟程序（FINSIM）（Beresnev等，1998）。该方法的主要思想是将发震断层划分成一系列子断层（图 1，其中O为断层的起点，$ {{\varphi }_{\text{1}}}$是断层走向，$ {{\varphi }_{\text{2}}} $是观测点方位角，δ为断层倾角，h为断层埋深，dl和dw分别为子断层的长度和宽度，R_ij为观测点与第（i，j）个子断层的距离，S为第（i，j）个子断层中心），然后将每个子断层视为点源，应用随机点源的方法，得到每个子源对场址的影响。由于子断层破裂有时间先后，因此可以根据断层与场址的几何关系以及地震波的传播过程，考虑每个子源破裂传播到达场址的延时后，叠加合成所有子源在场址的地震动时程a(t)，即：

图 1  随机有限断层模型示意图

Figure 1.  The sketch diagram of stochastic finite fault model

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其中，N_L和N_W分别为沿着断层走向和倾向的子断层数目，a_ij为第i行、j列的子源所产生的地震动，$ \Delta {{t}_{ij}} $为相应的地震波传播的滞后时间。

计算每个子源在场址产生的地震动，首先在频域上综合考虑震源、传播路径以及场地效应的影响，拟合地震动傅立叶谱，然后转换到时域上，生成地震动时程。如果设地震矩为M₀的点源产生的傅立叶谱为F_A(M₀，f，R)，它可以表示为震源谱S(M₀，f)、距离衰减项P(R，f)、场地效应影响项G(f)以及地震动类型因子I(f)之间的乘积（Hanks等，1981；Chen等，2002；Atkinson等，2009）：

式中，距离衰减项可以表示为$ P(R, f)\text{=}Z(R)\ \cdot D(R, L)$，其中Z(R)表示随距离R的几何衰减，D(R，f)表示随距离R和频率f的滞弹性衰减；场地效应影响项可以表示为$ G(f)\text{=}A(f)\cdot K(f) $，A(f)是近地表幅值放大因子，K(f)是高频截止滤波器。

此方法的优点在于将各种因素独立计算，然后将其进行累乘。利用随机有限断层法进行地震动模拟时，最关注的是震源谱模型S(M₀，f)和参数的设置，因此，震源模型的建立和模型参数的确定是用于模拟近场强震动的随机有限断层法的关键。

2.   随机有限断层法模型的发展

2.1   静力学拐角频率模型（FINSIM）

Beresnev等（1997）考虑了断层的尺寸作用，结合随机模型和有限断层模型提出了静力学拐角频率模型。该模型将地震加速度看成有限持时、有限带宽的白噪声，震源谱通常采用ω²模型，即：

式中，C为表达辐射的方向性差别的常数；$ {M_{0ij}} = \Delta \sigma \cdot \Delta {l^3} $，为子源地震矩，其中Δσ为应力降，△l为子源尺寸；f为频率，f₀为静力学拐角频率，可定义为（Brune，1970；Beresnev等，1998）：

其中，y为地震破裂速度与剪切波速的比值；z为辐射强度因子；$ \beta $为剪切波速。

由于静力学拐角频率和断层的尺寸相关，故所得的震源谱会随着子源尺寸的不同而不同，加速度傅立叶谱依赖于子源尺寸，模拟结果对子源尺寸有显著的敏感性，Beresnev等（1998）认为子源尺寸的取值为5—15km最合理。为了保证总的地震矩守恒，通常需要某一子源多次触发地震，而这在实际地震中并不存在，且在物理上难以解释。此外，由于较大的断层或地震比小震拥有更丰富的长周期成分，划分为若干子源后，难以重现大震丰富的低频成分（Sun等，2009）。

采用式（3）表示的震源谱模型，对于中小地震能够获得较好的模拟结果，但是对于中等强度以上的地震，在中低频段往往会高于实际记录的谱值（Beresnev等，1998；王国新等，2008；钟菊芳，2014）。为此，Tao等（2008）根据震源谱模型，将第（i，j）个子源的加速度谱表达为：

式中，参数a、b的取值与矩震级M_W相关，通过对实际强地震动记录的分析得到a＝3.05－0.3M_W，b＝2/a。虽然改进模型的静拐角频率f₀没有发生变化，但是随着震级的增大，a变小、b增大，在中低频段，谱值减小，出现“下垂”现象，克服了震源谱模型在中低频段偏高的问题，并且增加ab＝2的约束条件，保证了在小震时能够收敛于公式（3）的震源谱模型。

2.2   动拐角频率模型（EXSIM）

针对静拐角频率模型的缺陷，Motazedian等（2005）在模型中引入了动拐角频率的概念（EXSIM），即任意1个子源的加速度谱为：

式中，M_0ij为第（i，j）个子源的地震矩；H_ij为相应的标度因子；f_cij为相应的动拐角频率，其余参数定义同式（3）。

为了满足地震矩守恒的要求，并且使1个子源只触发1次地震，Motazedian等（2005）认为子源地震矩应为各子断层滑动量S_ij的加权平均值，即：

式中，M₀为总的地震矩；S_ij为第（i，j）个子断层滑动量；$ \sum\limits_{l{\rm{ = }}1}^{{N_{\rm{L}}}} {\sum\limits_{k{\rm{ = }}1}^{{N_{\rm{W}}}} {{S_{kl}}} } $表示所有子断层的滑动总量。

由于子断层滑动量的大小与子断层地震矩的大小相关，因此不需要用某一子断层多次触发地震来达到地震矩守恒的目的。此外，Motazedian等（2005）用脉冲面积百分比来说明在断层破裂过程中最多只有50%的活动子断层，且只有这部分子断层对拐角频率有贡献，主要影响地震波的低频辐射能和低频地震动幅值，从而解决了静拐角频率方法在模拟地震动时低频部分的幅值偏大的问题。

式（6）中动拐角频率f_cij可定义为：

式中，M_0ave＝M₀/N，为子源的平均地震矩；N_R（t）为某一时刻子断层破裂的总数，N为子断层总数。

从式（8）可以看出，动拐角频率不再依赖于子源的尺寸，因此克服了静拐角频率的缺陷，且动拐角频率是由子源破裂数目决定的，随着子源破裂数目增多，拐角频率会越来越低，这显然是不合理的（孙晓丹等，2009）。究其原因，其一是忽略的了凹凸体的重要作用，研究表明若断层上相对较硬的凹凸体破坏时，位错在短时间内迅速增加，应力快速释放会产生高频地震波（郑天愉等，1993；Miyake等，2003；孙晓丹等，2009），从而使拐角频率迅速增大；其二是没有考虑破裂过程中位错的不均匀性（Hartzell等，1983）。同时，由于子源的拐角频率随着断层的发展越来越低，而高频辐射能与拐角频率的平方成正比（Motazedian等，2005），会导致地震波的高频成分被低估，因此公式（6）中加入了标度因子H_ij来补偿这部分能量。但Motazedian等（2005）在推导H_ij时，假设子源的辐射能是相同的，没有考虑到破裂过程的不均匀性。

因此，学者们提出了一些改进的震源谱模型和拐角频率模型，如Boore（2009）通过比较随机点源法和有限断层法，引入了滤波器函数S（f）来保证远场的低频辐射能守恒，从而使EXSIM适用的震级范围更宽，能够适应5级甚至更小的地震动模拟；Sun等（2010）为了表达破裂过程中位错的不均匀性影响，拐角频率应与位错的大小相关，同时为了避免ω²模型中低频部分幅值偏大的问题，采用王海云（2004）给出的破裂面积与矩震级的经验关系，将模型表示为：

式中，M_0ij为依据错动量的大小分配到的子源地震矩；f_cij为根据圆盘破裂结果得到的动拐角频率；a、b为震源谱参数，结合王海云（2004）和王国新（2001）的研究，其取值为：

改进模型有2个优势：①建立了震源模型和面积的关系，随着断层破裂的发展，子断层破裂数目越来越多，a变小，b增大，对于比拐角频率小的频率来说，会使震源谱谱值减小，避免了ω²模型低频段幅值偏大的问题；②与式（8）相比，式（10）中拐角频率与错动量的大小相关，只要破裂面上的滑动量是不均匀分布的，相应的子源拐角频率就不相同，表达了破裂过程中位错的不均匀分布，克服了Motazedian和Atkinson的拐角频率随子源数目增加而减小的缺陷。

但是，式（10）中子源的滑动量越大，占总地震矩的权重增大，其地震矩的值就越大，相应的动拐角频率就会变小，这显然是不合理的。式（10）虽然表达了位错不均匀分布的影响，但不能表达凹凸体对高频地震波的控制作用。孙晓丹（2010）对拐角频率做了进一步的改进：

式中，$ {{f}_{0}}=4.9\times {{10}^{6}}\beta {{({\Delta \sigma }/{{{M}_{0}}}\;)}^{{1}/{3}\;}}$，是根据总地震矩估计的拐角频率，与应力降、总地震矩及剪切波速的取值相关。这样定义后，错动量大的子源按式（7）分配的地震矩就大，拐角频率也就越大，避免了相关的问题。

陶夏新等（2012）指出地震破裂并不是瞬间完成，而是随着时间的推移逐渐破裂的，大震往往有较低的拐角频率，低频成分丰富，随着子源尺寸的增大，破裂中辐射能中的低频成分会有所增加，相应地为了保证能量守恒，高频成分会有所减少。其利用4种不同尺寸的子源合成远场辐射能，发现能量差异较大，因此提出了在孙晓丹（2010）的基础上增加1个标度因子来补偿由于子源尺寸不同而引起的能量损失，此后，张龙文（2013）对震源谱的标定因子做了相应改进。梁俊伟（2015）为了克服地震动模拟过程中，在中低频段存在明显的下沉现象，建议在模拟地震动过程中，通过乘以1个调整系数来弥补地震波低频能量，同时消减地震高频能量，以保证能量的守恒；王振宇（2017）在研究中发现，拐角频率基于破裂速度公式推导，在推导该公式时取值为剪切波速的0.69倍（Boore，2009），但是现在常用的取值为剪切波速的0.8倍，而且在随机点源法中，是将震源看作1个点，不需要考虑破裂速度和时间，而随机有限断层法需要考虑断层尺寸的作用，因此上述拐角频率模型并不适用；在Boore和Motazedian模拟程序的拐角频率计算公式中，不论怎么改变破裂速度的取值，拐角频率的大小都不会发生改变，因此，基于Boore（2009）的上升时间的初始假设，其提出了用破裂速度表示的新拐角频率公式。

3.   震源参数的确定

随机有限断层法进行地震动模拟时涉及的参数较多，而这些参数在不同地区常表现出较大差异，因此模拟结果存在较大的不确定性。已有研究表明，地震前后的应力分布具有较强的相关性，即地震的发生并没有改变断层原有的一些特性，那么发生在相同或相似断层上的地震，也具有一定相似性（Bouchon等，1998）。因此在进行地震动模拟时，震源参数常借鉴相似构造区的震源参数取值，模拟结果是否合理很大程度上取决于参数的取值。这些参数可以采用遥感、地震地质调查、人工地震勘查、余震分布、地震记录的反演等方法确定，或者利用相似地区获得的经验统计关系式进行估计。

3.1   断层尺度

Abe（1975）针对浅源大地震提出了破裂面积S和矩震级M_W的关系：$ \lg S={{M}_\text{W}}-4 $；Kanamori等（1975）基于地震学的理论，给出了破裂面积S和地震矩M₀的关系表达，即$ \lg {{M}_{0}}=1.5\lg S+\text{lg}\Delta \sigma +\lg C $，其中C可根据破裂类型取值；Hanks等（1981）通过对美国大量地震记录的研究，得到的矩震级M_W和地震矩M₀的关系：$ \lg {{M}_{0}}=1.5{{M}_\text{W}}+16.1 $；Wells等（1994）选取了244条历史地震记录进行回归分析，认为断层地表破裂长度约为地下破裂长度的0.75倍，但是随着震级增加，该倍数会越来越大，最后接近1，且断层地表平均滑动约为地表最大滑动的50%，同时，基于不同的断层类型给出了断层尺度和矩震级的关系，如表 1所示。

表 1  断层尺度与矩震级的统计关系

Table 1.  Statistical relationship between the fault scale and moment magnitude

断层类型	断层长度/km	断层面积/km2
走滑断层	$ \lg L=-2.57+0.62{{M}_\text{W}} $	$ \lg S\text{=}-3.42+0.90{{M}_\text{W}} $
正断层	$ \lg L\text{=}-1.88+0.50{{M}_\text{W}} $	$ \lg S\text{=}-2.87+0.82{{M}_\text{W}} $
逆断层	$ \lg L\text{=}-2.42+0.58{{M}_\text{W}} $	$ \lg S\text{=}-3.99+0.98{{M}_\text{W}} $
所有断层类型	$\lg L\text{=}-2.44+0.59{{M}_\text{W}} $	$ \lg S\text{=}-3.49+0.91{{M}_\text{W}} $

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1999年，美国USGS专家基于加利福尼亚7个走滑大地震数据，验证Wells等（1994）的经验统计关系，得到断层面积和矩震级关系：$ \lg S={{M}_\text{W}}-k $，其中k的取值为4.2—4.3。王海云（2004）从Wells等（1994）使用的244条历史地震中选择了可靠的149条数据，并补充了1993—2001年的9次地震数据，用最小二乘法求得了不同断层类型和震级范围内，断层尺度、平均滑动与矩震级的半经验关系，结果表明：对于走滑断层，当破裂宽度达到饱和时，临界矩震级为7.0。此外，Sato（1999）基于震级大于5的浅源地震给出了破裂面积S和平均滑动$ \bar{D} $与矩震级的关系，即$ \lg S={{M}_\text{W}}-4.07 $，$ \text{lg}\bar{D}=0.5{{M}_\text{W}}-1.4 $，Somerville等（1999）也给出了相似的表达。

若采用点源模型合成地震动，则对子断层的大小有严格的控制，Beresnev等（1999）对美国东部的地震数据进行分析，用试错法不断调整子断层尺寸和反应谱之间的关系，确定了震级4.0—8.0内子断层长度Δl与子震矩震级M_Z的关系$\text{lg}\Delta l=-2.0+0.4{{M}_\text{Z}} $；Motazedian等（2005）研究了子断层尺寸的大小对断层总辐射能的影响，结果表明若采用静力学拐角频率，子断层尺寸越小，接收到的断层总的辐射能越大，说明断层尺寸与总的辐射能有很大的相关性，改变子断层大小，会导致总的辐射能不守恒；王国新等（2008）依据相关的研究成果，经过反复实验，认为在大震震级和破裂尺度确定的情况下，总有一定大小子源尺度使模拟结果最为理想，与子震矩震级M_Z和子源平均破裂长度Δl关系为$ \text{lg}\Delta l=\lg l-0.5(M-{{M}_\text{Z}}) $，且子震震级为5.0—5.5级时得到的结果最好。

3.2   破裂速度和剪切波速

破裂速度是激发高频地震波的主要原因。对于同一断层，若破裂速度较小，则破裂时间长，地震动持续时间就越长，地震动强度就会变低；若破裂速度增加，可能加大近断层地震动峰值。因此，对于重大的工程结构，可以采用较高的破裂速度来模拟近断层地震动。Andrews（1976）认为在破裂速度、破裂能、裂缝长度和应力降之间存在解析公式，并给出了相应的关系表达；Guatteri等（2003）将裂缝阻力的无因次参数引入Andrews的研究成果中，给出了新的破裂速度公式，其符合断裂动力学理论的推断，即破裂速度小于剪切波速。但是，可能出现极个别超剪切波速的情况，与能量传递速度或介质差异引起的应力波动有关（笠原太一，1984；Harris等，1999；Fukuyama等，2002）。研究表明，当由滑动弱化距离产生的亚瑞利波速度破裂遭遇凹凸体的阻碍时，破裂可能加速到超剪切波速，也可能保持亚瑞利波速；陈晓非（2009）发展了BIEM算法，系统地研究了超剪切破裂发生的条件。

剪切波速是地壳内介质的属性，一般通过钻孔法、面波法获得（郭明珠等，2011）。Aki等（1976）、Zhao等（1992）提出了一系列运用地球物理反演方法求解剪切波速的方法。对于有反演结果的地区，剪切波速可以取反演的具体数值，其它地区一般采用经验值。Boore等（1997）给出了基岩场地剪切波速的经验公式，但是在大量的地震动模拟方法研究中剪切波速取值一般为3.5—3.8km/s（Beresnev等，1998；石玉成等，2005；张翠然等，2011；Chopra等，2012；孙吉泽等，2013），由于随机方法模拟地震动的结果对剪切波速变化的敏感度较低，研究中一般可取中间值，即3.7km/s（王振宇，2017）。

在地震动模拟中，对于破裂速度和剪切波速的比值，Heaton（1990）认为应取0.65—0.85之间；Beresnev等（1998）认为两者之间的比值应该在0.6—1.0之间；地震观测资料以及反演的结果表明破裂速度一般是剪切波速的0.7—0.9倍。目前在实际应用中，一般将破裂速度的值取为剪切波速的0.8倍。

3.3   应力降

应力降描述的是断层破裂前后应力的差值，采用随机有限断层法进行地震动模拟时，应力降是最为敏感影响参数（Motazedian等，2005；Boore，2009；高阳等，2014；王振宇，2017），它不仅控制破裂后错动的大小，还控制着辐射波的强度（袁一凡等，2012），对高频地震动有重要影响，即应力降越大，拐角频率越大，地震波的高频成分就越多。在采用随机方法进行地震动的模拟时，应力降并不是通过公式计算得到的，而是通过地震记录的反演或者取经验值，取值具有很大的随机性。臧绍先（1984）认为应力降可取几bar到几百bar；Allmann等（2007）使用约2000个面波震级大于5.5的地震研究了应力降的全球变化，认为应力降的估值范围约为3—500bar，平均值约40bar。

应力降与震级的关系比较复杂。对于较大的地震，一般认为应力降基本保持不变（Scholz，2002），大部分浅源地震的应力降取值为20—60bar，模拟中取30—40bar的较多；此外Kanamori等（2004）认为地震矩在1018—1023N·m时，应力降大致可以看作常数。对于小震，Abercrombie（1995）通过对100个井下地震记录的研究发现，里氏震级在1.0—3.0级时，应力降基本保持不变；Allmann等（2007）对帕克菲尔德地区4000多次里氏震级0.5—3.0级地震的研究表明震级和应力降之间不存在正相关关系，Hardebeck等（2009）对圣安德列斯的小震研究，也得出了相同的结论；然而Mayeda等（1996）、Hardebeck等（1997）、Tusa等（2008）和赵翠萍等（2011）的研究却给出了相反的结论，认为它们之间存在正相关的联系。此外，一些研究表明应力降和震级之间存在多重标度特征，即不同的震级范围对应着不同的经验公式（Shi等，1998；Jin等，2000；Atkinson，2004）。

中国大陆的应力降取值呈现出比较明显的区域特征。一般中小地震应力降大约为0.1—100bar，新疆天山中东段、青藏高原板块及龙门山板块东北边缘是应力降取值较大的区域（赵翠萍等，2011）。刘丽芳等（2010）通过对云南及四川地区中小地震应力降的研究，表明云南地区应力降的取值为0.3—475.5bar，年均值为23—50.5bar；四川地区应力降的取值为1.9—474.7bar，年均值为51.1—87.2bar；川滇地区应力降主要集中在1—100bar，其高应力降区域主要分布在川滇交界地区以及滇西北至滇东北一带，尤其在龙门山断裂带，其年均值为52—120.9bar。高阳（2016）采用拟合特定频段范围内的地震动峰值加速度反应谱来确定该区域应力降的方法，得到汶川地区应力降的对数平均值为43.4bar。

4.   Kappa因子

如公式（2）所示，场地效应影响项$ G(f)=A(f)\cdot K(f) $，其中K（f）代表与路径无关的高频衰减项，Anderson等（1984）提出用Kappa滤波器来表示地震波高频衰减，定义为：

式中，f为频率；k为Kappa因子。

由于k值描述傅立叶谱值的高频衰减，值越大意味着地震波的高频成分衰减越多，高频部分的能量就越小，即能量越来越集中在低频段（梁俊伟，2015）。Kappa因子的取值主要受近地表地质构造的影响（Anderson等，1984），并与震源参数、距离及场地条件有关（Papageorgiou等，1983；Anderson，1991）。Atkinson（1996）通过对加拿大强震数据的研究发现，k值受场地条件的影响，取值范围0.02—0.04s，并建立了其与矩震级的经验关系：$ k=0.0106{{M}_\text{W}}-0.012 $；

Boore等（2009）认为软基岩上k值应为0.02—0.04s；Tsai等（2000）进行大量统计分析，认为高频部分的衰减主要受场地条件的影响，此后，Cotton等（2006）及Kilb等（2012）的研究支持了其观点，认为k值主要受近地表场地条件的影响。此外，学者们通过分析场地、震源、传播路径对k值的影响，得到了其与距离的线性拟合关系（Chandler等，2006；van Houtte等，2011；Edwards等，2011；朱百慧，2016），如Sun等（2013）对汶川地震震中距311km内记录到的主震加速度时程进行研究，得到k取值范围在0.0034—0.0468s之间；王振宇（2017）讨论了k值与震级、传播路径和场地的关系，得到了相应的经验统计关系，经过对汶川地震的分析，认为k值一般为0.01—0.1s，取为0.04s居多，并提出在实际应用中，线性拟合虽然不能准确地给出k值的具体数值，但是可以给出其取值范围，基本上分布在所拟合的统计关系直线的2倍标准差以内，在地震动的模拟中可以采用拟合直线的k值作为均值进行模拟，然后将拟合的具体结果在2倍标准差的取值范围内调整，使模拟结果尽可能接近真实地震动。

5.   品质因子

公式（2）的距离衰减中包含几何衰减Z（R），其只与距离R有关，非弹性衰减D（R，f）反映了地球介质的粘弹性，可定义为：

式中，Q(f)为品质因子，用来描述介质中振动或波动能量的非弹性衰减，是能量损耗与能量积累的比值。品质因子表示介质固有的特性，其值越大，介质的弹性程度越低，能量的损失就越少。地震工程所关心的频率范围内的品质因子可以表示为随频率变化的指数形式，即$ Q(f)={{Q}_{0}}{{f}^{n}} $，其中Q₀为1Hz处的品质因子，n为地区的地震活动性因子，因地域不同而不同。Nuttli（1988）的研究发现，Q₀与n存在逆相关规律，即高Q₀对应的n值小，低Q₀对应的n值大。

一般在地震活跃的地区，Q₀值比较小而n值比较大。Jin等（1988）利用S尾波序列和区域地震研究表明，我国华北地区为低Q₀值分布区，取值范围115—330；Shih等（1994）利用中国数字台网的数据进行研究，认为华北地区Q₀的平均值为369；刘建华等（2004）用SSR方法分析得到华北地区Q₀值在128—384间变化，并详细分析了华北地区的区域分布特征。此外，丛连理等（2002）利用SSR方法对Lg尾波序列进行分析，得到中国大陆Q₀的范围为200—500，如表 2所示。结果表明，中国大陆的Q₀值大体上可分为2个区域：低Q₀值的青藏高原地区，取值为200—300；其它地区为300—450。胡家富等（2003）利用SSR方法研究云南及周边地区Q值分布，结果显示Q₀值较低，在150—300内变化，且有西低东高的趋势，n值范围0.3—0.8；苏有锦（2009）利用地震资料反演得到云南各地区Q值公式，如表 3所示，基本呈现西高东低的特性，虽然秦嘉政等（1986）、胡家富等（2003）和马宏生等（2006）的研究结果略有不同，但总体特点一致，即以金沙江-红河断裂带为界，云南及周边地区东西部地区差异显著，滇西北及滇中地区存在2个明显的低Q₀值区域。

表 2  中国大陆Q₀值范围

Table 2.  The range of Q₀ value in Chinese mainland

区域	Q0	n
青藏高原褶皱区	200—250	0.5—0.7
松潘甘孜褶皱区	250—300
滨太平洋褶皱区	275—300	0.5—0.7
昆仑-秦岭褶皱区	275—325
塔里木地台	350—425	0.3—0.5
扬子块体	325—400	0.45—0.55
中朝块体	325—400	0.3—0.5
华南褶皱系（西高东低）	275—400	0.45—0.55
天山-兴安褶皱区	300—425	0.3—0.5
西伯利亚地台南端	450—500	0.45—0.7
注：青藏高原褶皱区包括冈底斯念-青唐古拉褶皱系、喀拉昆仑-唐古拉褶皱系和三江褶皱系；滨太平洋褶皱区包括东南沿海褶皱区、延边褶皱区和那丹哈达优地槽褶皱带；昆仑-秦岭褶皱区包括东昆仑褶皱系、秦岭褶皱系以及祁连褶皱系。

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表 3  云南地区Q值公式

Table 3.  The formula of calculating Q value in Yunnan Province

区域	Q
云南地区	$ Q\text{=}238{{f}^{0.338}} $
云南东部地区	$Q\text{=}199.6{{f}^{0.434}} $
云南西部地区	$ Q\text{=}281{{f}^{0.349}} $
滇西地区	$ Q\text{=}102.6{{f}^{0.687}} $
滇中地区	$ Q\text{=}92.7{{f}^{0.553}} $

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我国大部分地震频繁活动区域的Q₀值与n值均有相应的研究成果（姚虹等，1988；秦建增等，1997；毛燕等，2005；苏伟等，2006；师海阔等，2011）。总体来讲，我国大部分地区的Q₀值与n值都符合Nuttli（1988）给出的规律，但西伯利亚地台南端即中国西北部地区的Q₀值与n值均较高。王振宇（2017）指出模拟结果对Q₀与n值变化的敏感度均较低，但是相比n值而言，Q₀变化的影响较大。

6.   工程应用及问题讨论

6.1   工程应用适用性分析

从震级角度来看，随机有限断层法从最初不适于模拟中小地震，发展到现在可模拟5.0级甚至更小的地震，能够适用于更宽震级范围内的模拟，对5.0—8.0级的地震，国内外都有模拟实例，且模拟结果与实际记录吻合较好（卢育霞等，2003；Motazedian等，2005；石玉成等，2005；王国新等，2008）。但是与大震相比，中强地震的发震构造往往不够明确，其活动具有很大的不确定性，因而在采用随机有限断层法进行模拟时，各参数的选取也具有很大的不确定性，所以模拟结果与真实地震动之间会有一定的偏差。在实际的工程应用中，特别是大坝等重要工程，常需要考虑此类地震对于这些重要工程的近场强震动影响。因此，在进行模拟时应考虑构造区的特征，分析不同参数值对模拟结果的具体影响，从而找出最不利的参数取值范围，确保模拟结果可信。

从频率角度来看，随机有限断层法主要是针对高频地震动提出的一种模拟方法，主要适用于1Hz以上的地震动模拟。大量的反应谱结果表明，随机有限断层法和混合法的模拟结果在1—20Hz内非常相似，Atkinson等（2011）对2种方法的对比分析结果，支持了这一结论。这一频段可以满足工程应用中精度的要求。对于长周期分量，如速度脉冲的模拟，主要通过在随机有限断层模拟结果中引入相应的数学模型来构建。

从断层距的角度来看，随机有限断层法对于近场地震动的模拟具有很好的适用性，但由于该方法对传播途径的复杂性、局部放大效应等考虑不够充分，因此远场的模拟结果与实际记录之间往往存在较大的差距。在处理近断层区域各种问题时，表征断层的各种参数，如走向、倾角、埋深等，对于场点地震动的影响非常重要，要确保选取参数的精确性。

6.2   模型参数取值对模拟结果的影响

在实际工程应用中，不同的参数取值会对分析结果产生影响，模型参数的不确定性对结果的影响主要体现在以下几个方面（Motazedian等，2005；梁俊伟，2015；高阳，2016；王振宇，2017）：

（1）应力降主要控制了反应谱的高频部分，随着应力降的增加，拐角频率增大，地震波高频成分就越多，导致PGA以及反应谱高频部分增大。

（2）脉冲面积百分比主要控制了反应谱的低频部分，随着脉冲面积百分比的减小，反应谱在低频部分的幅值也会逐渐减小。

（3）不同的场地方位角所模拟的加速度反应谱差别较大，尤其在高频部分差别明显。在实际应用中，对于发震构造不太明确的地震，应该通过调查明确优势走向以及倾向的分布，使得模拟结果更加切合实际。

（4）Kappa因子的取值主要受到场地条件及断层距的影响，场地越硬，k值越小；断层距越小，k值对地震动幅值的影响越大。随着k值的增加，峰值加速度降低且能量越来越集中于低频部分；k值对反应谱的影响主要体现在高频部分，随着k值增加，反应谱短周期部分的幅值会越来越低；k值不变，断层距增加时，能量会向低频集中。

（5）品质因子以及活动性因子n变化范围较小时，对于模拟结果的影响也非常小。

（6）密度参数的取值对峰值加速度和反应谱的影响相似，随着密度值的增加，模拟得到的峰值加速逐渐变小，反应谱谱值也逐渐变小。

（7）破裂速度的影响主要体现在拐角频率上，破裂速度越大，拐角频率越大，峰值加速度及反应谱会相应增大，且震源破裂的时间越短，地震动强度就越大。

6.3   问题分析

由上述分析可以看出，尽管采用随机有限断层法在进行地震动模拟时，能近似考虑震源、传播特性及场地条件等因素，与工程模拟方法相比表现出一定的优越性，但是要将其应用于大型结构的抗震设计，仍存在一些亟待解决的问题：

（1）由于地震破裂过程的复杂性，在没有或缺乏近场地震记录的地区，震源参数的选择存在较大的不确定性，不同研究人员对模型、模型参数的选取具有一定的主观性，无法得到一致的认识，致使模拟结果各不相同。因此，在缺少地震记录地区，应该加强对震源参数取值的系统性研究，以保证该地区地震动模拟结果的稳定性。

（2）与其它参数相比，应力降对地震动模拟结果的影响更为明显，然而应力降是等效模拟，更适合描述中小地震，对于震源分布比较大的地震，很难明确应力降是否有空间分布差异。工程应用中常采用反演或经验方法计算应力降，但计算结果有时相差较大，从而导致模拟结果偏差也较大。尽管国内外学者对应力降的取值进行了广泛而深入的研究，然而如何合理地确定与实际相符的应力降取值，仍然是值得深入探讨的问题。

（3）采用随机有限断层法进行地震动模拟时，一般都将断层划分为矩形平面子断层，没有考虑曲面断层的影响，而对于实际的地震，断层往往都是曲面的。因此，如何将大曲面断层划分为小曲面子断层单元进行地震动模拟，也是今后需要不断探讨的问题。

（4）将大断层离散成为多个小子断层的过程中，没有考虑各子断层之间的相互作用，使模拟得到的地震动高频成分和低频成分的分布与实际近场强震动的能量在高低频之间的分配不相符。因此，如何得到近场地震动高低频能量间的分配规律，综合考虑各子断层之间的相互影响，合理分配高低频能量，也是今后需要解决的关键性问题。

7.   结语

目前，人们对于地震的认识还处于初级阶段，对于震源和传播过程所做的简化也带有极大的不确定性。随机有限断层法的基本理论假设来源于远场地震学记录，将此方法用于近场模拟，本身就是1个半经验、半理论的方法。因此，本文在系统阐述该方法的基本原理及计算模型发展、分析主要模型参数、Kappa因子和介质品质因子的取值原则及范围的基础上，讨论了现有模拟方法在考虑参数取值、子断层划分和子断层之间相互作用等方面的不足以及能量处理方式上存在的问题。分析表明，随机有限断层法用于大型复杂结构的抗震设计时，还需要对实际计算过程中出现的各种问题进行系统分析，并归纳总结出具有可操作性的技术流程。