The Measure Against High Frequency Oscillating Instability of Multi-transmitting Formula
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摘要: 多次透射公式（MTF）物理概念简单，便于在计算机上实现时空解藕的高精度波动数值模拟。然而，MTF与其它局部人工边界条件类似，存在数值模拟失稳问题，如高频振荡便是可能出现的失稳现象。本文在分析MTF高频振荡失稳机理的基础上，提出了在波动有限元数值模拟中消除MTF高频振荡失稳的一种措施，即在整个有限元数值模拟区内施加与应变速率成正比的较小粘性阻尼；同时，讨论了这一稳定措施的有效性及其对数值计算精度的影响，并通过数值试验检验了这一稳定措施的可行性。结果表明，消除高频振荡失稳的措施行之有效，且只对波动有限元数值模拟中无意义的高频分量具有抑制作用，而对有意义的较低频段内的波动有限元数值模拟精度影响较小。Abstract: Multi-Transmitting Formula (MTF) based on one-dimensional description on general kinematic characteristics of one-way wave and direct numerical simulation has simple physical concepts, and it is easy to realize the high precision and decoupling wave motion numerical simulation on the computer. However, Multi-Transmitting Formula, similar as other local artificial boundary conditions, is also a local artificial boundary condition which existed numerical instability problems, in which high-frequency oscillation instability is one of the instability phenomenon. Through the discussion of the mechanism of high frequency oscillation instability of Multi-Transmitting Formula, we present a measure to eliminate high frequency oscillation instability in wave numerical simulation. Through numerical simulation, the feasibility of the stabilization measure is verified. The results show that this stabilization measure is effective and of significantly cutting effectiveness on high-frequency component that is meaningless for wave motion numerical simulation. However, its effect on the wave motion numerical simulation was too small to ignore in the lower frequency band.
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Key words:
- One-way wave /
- Viscous damping /
- Numerical simulation /
- The scattering problem /
- Source problem
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引言
结构的抗倒塌能力一直都是地震灾害的研究重点。以往的震害经验表明，没有经过适当抗震设计的建筑结构在地震过程中可能遭遇更加严重的灾害。同时，近年来的地震调查表明，农村在地震中遭受了严重的破坏和生命、财产损失。如2008年汶川MS 8.0地震，造成了建筑结构大面积倒塌，其中倒塌的楼房约有90%分布在农村和乡镇地区（孙景江等，2008；霍林生等，2009；李钢等，2009）；2014年鲁甸MS 6.5地震也在农村、乡镇地区造成了重大损失（周铁钢等，2014）；类似的情况再次发生在2017年九寨沟MS 7.0地震中，共造成73671间房屋不同程度受损，76栋农村地区房屋完全倒塌。中国有将近50.3%的人口生活在经济相对落后的农村地区，建筑结构缺少抗震设防措施，现存的大量年久失修和设计简陋的建筑结构（同济大学土木工程防灾国家重点实验室，2008），存在极大的安全隐患。
随着抗震经验的积累和抗震意识的加强，近年来农村地区开始重视建筑结构的抗震能力，意识到自行修建的多层框架结构缺乏科学的规划和设计，隐藏着巨大的潜在地震灾害危险，居民也纷纷采取一定的结构维护措施对结构进行维护和加固。但是，这些维护和加固措施受到当地经济和技术条件的限制，且缺乏专业的指导和科学的设计评估。针对这一现象，本文基于Ⅷ度设防区，设计了某典型的农村地区3层2跨非正规设计框架结构。利用增量动力分析（Incremental Dynamic Analysis，IDA）对结构进行非线性时程分析，并利用结构易损性方程评估结构在地震作用下的抗倒塌能力。通过对比分析地震作用下不同的支撑维护位置对非正规设计框架结构抗倒塌能力和抗震性能的影响，为农村地区框架结构的简单支撑维护提供一定参考。
1. 数值模型说明
针对Ⅷ度设防区（常遇地震PGA＝0.1g，设防地震PGA＝0.2g，罕遇地震PGA＝0.4g），设计了某城镇和乡村中常见的3层2跨非正规设计钢筋混凝土框架结构模型。首层层高4.5m，其余层高3m，总高10.5m。平面尺寸12m×6m，框架跨度6m，进深6m，如图 1所示。混凝土强度等级为C35，受力钢筋均采用HRB400。梁截面尺寸均为200mm×500mm，柱截面尺寸300mm×300mm，低于规范规定标准（中华人民共和国住房和城乡建设部等，2008）。
图 1 结构配筋示意（a）和柱网布置（b）Figure 1. Reinforcement configurations of beams and columns (a) and layout of columns (b)采用有限元软件OpenSEES对结构进行非线性分析。OpenSEES中提供的非线性梁柱单元可较为精确地模拟梁柱构件和剪力墙构件在大变形下的非线性反应（Mansour，2016）。混凝土本构模型采用OpenSEES中提供的Concrete02线性拉伸强化材料模型（基于Kent-Scott-Park模型）；钢筋本构采用OpenSEES中提供的Steel02各项同性强化材料模型（基于Menegotto-Pinto模型）；截面对象采用纤维模型；结构梁、柱单元对象分别采用基于有限单元柔度法的非线性梁柱单元（Nonlinear Beam Column Element）和塑性铰梁柱单元（Beam With Hinges）。
对该非正规设计框架结构的外部支撑形式，采用最简单、常见的杆件斜向支撑形式，如图 2所示。考虑到农村地区最常见的材料为木材，本文中所用的杆件为木质杆件，截面为200mm×300mm。木杆件与地面成45°，底部与地面的连接简化成铰支，与结构的连接节点简化为固接。木材的材料参数，参照欧洲胶合木规范等级为GL24h的材料选取，并将木材简化为理想弹塑性模型。为了研究不同支撑位置的支撑效果，将易损框架结构分为3部分，分别为边框1、中框、边框2（图 1（b））。按照边框和中框的区别，设计了2个不同支撑位置的支撑方案，见表 1。
表 1 方案设计Table 1. Designing schemes方案 支撑位置 边框1 中框 边框2 非正规设计框架结构 无 无 无 支撑中框 无 有 无 支撑边框 有 无 无 2. 数值计算方法
增量动力分析（IDA）是近年来发展起来的一种用于评价结构抗震性能的动力参数分析方法，现已广泛用于评估结构在遭遇不同强度地震时的动力响应和结构的抗倒塌性能。分析结果用IDA曲线体现，表现出地震动强度IM与结构响应DM间的关系（Vamvatsikos等，2002）。本文用峰值加速度（PGA）代表地震动强度IM，用最大层间位移角代表结构响应DM。
结构倒塌是结构的动态不稳定问题，包含竖向不稳定和侧向不稳定。本文将结构侧向不稳定视为结构倒塌。侧向倒塌是由结构侧向塑性变形过大而引起的侧向承载力丧失（吕大刚等，2011），在IDA曲线上的体现是较小地震强度的增加，导致了较大的结构横向变形，即IDA曲线变平。理论上，IDA曲线变平不可实现，本文的结构倒塌判断标准是Vamvatsikos等（2002）提到的基于地震强度（IM-based）的判断方法。该方法能够在IDA曲线上判断出1个点，定义为倒塌能力点（Capacity Point）。倒塌能力点清楚地将IDA曲线划分为2个区域，较低地震强度区为非倒塌区域，较高地震强度区为倒塌区域。本文根据基于结构响应的方法来定义结构的倒塌能力点，即IDA曲线斜率与结构弹性阶段初始斜率的比值为λ（λ＜1，联邦急救管理局推荐的20%）时，曲线上这一点所对应的地震强度为结构的倒塌能力点，当IDA曲线上有多个这样的点时，取地震强度最大的点作为结构的倒塌能力点。
结构倒塌易损性表现为结构在不同的地震强度下结构发生倒塌的概率，通常用对数正态分布函数$ \Phi $表示（吕大刚等，2011；Baker，2015），IM＝x时，结构的倒塌概率可表示为：
$$ P\left({C|IM = x} \right) = \Phi \left({\frac{{{\rm{ln}}\left({x{\rm{/}}\theta } \right)}}{\beta }} \right) $$ (1) 其中，θ、β为易损性函数参数，θ为均值参数，代表结构50%倒塌概率对应的PGA值，β为方差参数，可分别通过式（2）、（3）进行参数拟合：
$$ {\rm{ln}}\hat \theta = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{\rm{ln}}{{\left({IM} \right)}_i}} $$ (2) $$ \hat \beta = \sqrt {\frac{1}{{n - {\rm{1}}}}\sum\limits_{i = 1}^n {{{({\rm{ln}}({{\left( {IM} \right)}_i}/\hat \theta ))}^2}} } $$ (3) 其中，(IM)i为第i条地震记录的结构倒塌能力点，n表示用于计算的地震记录总数，$ \hat \theta $为倒塌能力点的对数平均值，$ \hat \beta $为对应的对数标准差。
3. 计算结果分析
IDA计算时，需要选取多条地震记录对结构进行非线性分析。地震记录可以是人工合成地震动或实际记录的地震动，本文从美国太平洋地震工程研究中心（Pacific Earthquake Engineering Research Center，PEER）选取了12个台站的24条地震记录作为地震输入，台站信息见表 2。
表 2 地震记录台站基本信息Table 2. Basic information of the ground motion records地震 年份 台站 MW VS30/m·s－1 帕克菲尔德 1966 Cholame - Shandon Array #12 6.19 408.93 帕克菲尔德 1966 San Luis Obispo 6.19 493.5 科林加 1983 Parkfield - Cholame 2E 6.36 522.74 科林加 1983 Parkfield - Cholame 3E 6.36 397.36 科林加 1983 Parkfield - Fault Zone 10 6.36 372.73 科林加 1983 Parkfield - Fault Zone 9 6.36 372.26 科林加 1983 Parkfield - Gold Hill 3E 6.36 450.61 科林加 1983 Parkfield - Gold Hill 4W 6.36 421.2 科林加 1983 Parkfield - Gold Hill 5W 6.36 441.37 科林加 1983 Parkfield - Stone Corral 2E 6.36 566.33 科林加 1983 Parkfield - Vineyard Cany 4W 6.36 386.19 科林加 1983 Parkfield - Vineyard Cany 6W 6.36 392.24 3.1 易损性分析对比
根据IDA计算结果和结构的倒塌判断方法，2种支撑方案和该非正规设计框架结构的IDA曲线及对应的倒塌能力点如图 3所示。从图中可以看出，结构的IDA曲线走势基本类似，不同地震记录计算得到的结构倒塌点的分布离散性较大。
为保证结构在地震作用下的安全性，基本要求是结构在大震作用下的倒塌概率足够低（Haselton等，2011）。FEMA推荐的可接受的倒塌概率是10%或者更低（Federal Emergency Management Agency，2009），即结构在倒塌概率低于10%（或者更低）时视为结构安全。本文选取韩小雷等（2015）提到的5%作为结构可接受的倒塌概率。通过IDA计算结果拟合结构易损性曲线，得到2种支撑方案作用下的结构和非正规设计框架结构的倒塌易损性曲线，如图 4所示。本文建筑结构位于Ⅷ度设防区，罕遇地震等级PGA＝0.4g，从图中可以看出，易损框架在罕遇地震作用下的倒塌概率为17.5%，远超过可接受的倒塌概率，属于危险建筑。通过2种方案的支撑，易损框架结构倒塌概率降至6%和2.4%。其中，支撑中框的方案已将非正规设计框架结构的倒塌概率降低到了可接受的倒塌概率以下，可以视为安全。
对2种支撑方案的对比说明，支撑结构中间框架，对非正规设计框架结构在地震作用下抗倒塌能力的提升效果明显优于支撑边框。因为支撑中间框架时，保证了结构的对称性。因此，条件允许的情况下，应该尽量支撑中间框架。
3.2 结构地震响应的对比分析
为了进一步研究结构的抗震性能，本文研究了结构在不同地震强度（常遇、设防以及罕遇地震）作用下的结构响应。图 5为结构在选取的地震波作用下，结构平均层间位移角的对比（不予考虑0.4g作用下导致结构倒塌的地震波）。由图可以看出，结构通过支撑后，地震作用下结构响应形式与非正规设计框架结构类似，最大层间位移角都出现在底层。从图中还可以看出，支撑后的结构底层层间位移角均比非正规设计框架结构小，且支撑中间框架的底层结构响应也比支撑边框时小，说明支撑中间框架对结构的地震响应比支撑边框的效果好，这与上述支撑方案对结构地震作用下的抗倒塌性能的影响一致。
图 5 3种不同PGA下结构平均层间位移角Figure 5. Average of structural seismic response under 3 different ground motion intensities4. 结论
本文针对农村地区易损框架结构的简单支撑，研究了外部斜向支撑位置对易损框架结构抗倒塌性能和抗震性能的影响。基于OpenSEES平台，通过IDA计算和分析结构易损性，量化评估不同支撑位置对易损框架结构的抗倒塌性能，并对比了结构在3种强度地震作用下的结构响应，主要得到以下结论：
（1）简单的支撑形式对易损框架结构地震作用下的抗倒塌能力提升明显，且支撑位置对支撑效果的影响十分明显，支撑中框的效果比支撑边框显著。
（2）合理安排支撑位置对结构抗震性能的提高十分有必要，支撑中间框架对地震作用下的结构响应也十分有利，因此在条件允许情况下，建议优先支撑中间框架。
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图 1 MTF数值模拟高频振荡失稳
Figure 1. High-frequency oscillation instability by MTF numerical simulation
图 2 归一化竖向近似脉冲力时程
Figure 2. Time-history of the normalized vertical approximate pulse force
图 3 竖向近似脉冲力作用下作用点处的位移反应时程
Figure 3. The displacement reaction of the point under the normalized vertical approximate pulse force
图 4 引入措施后竖向近似脉冲力作用下作用点处的位移反应时程
Figure 4. The displacement reaction of the point under the normalized vertical approximate pulse force which can eliminate high-frequency oscillation instability
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