引言

土层的剪切波速在岩土地震工程中有广泛的应用（刘红帅等，2010）。地震工程中，土层剪切波速是确定场地类别、场地地震反应分析、计算动力学参数的重要参数。在工程实践中，土层剪切波速缺失的情况时有发生，这就需要依据经验公式对剪切波速进行科学合理的计算，如何确定合理的经验公式就成为重要的课题。土层的剪切波速与很多参数有关，包括土的成分、结构、类别、密度、埋深等（Hardin等，1972），而研究表明，在某个区域范围内，土层的剪切波速与埋深有很强的相关性，这就为计算剪切波速提供了经验性的手段。曾有不少学者研究过不同地区土体的剪切波速与埋深的经验关系，如周锡元等（1990）对沿海城市地区、程祖锋等（1997）对深圳地区、高玉峰等（2003）对合肥地区、战吉艳等（2009）对苏州城区、苏旭等（2009）对西宁市、邱志刚等（2011）对黑龙江地区、齐鑫等（2012）对下辽河平原、赵淑芳等（2012）对昆明呈贡新区均开展了相关的研究。这些研究表明，不同地区由于土体沉积历史等因素的不同，导致拟合经验公式系数存在很大差异。此外，在剪切波速与埋深的函数关系方面，统计分析过的学者存在不同的认识。如Lew等（1981）曾指出剪切波速与埋深之间呈幂函数关系；周锡元等（1990）给出的沿海城市场地土剪切波速与埋深呈幂函数形式；苏旭等（2009）拟合西宁市剪切波速与埋深的关系时也采用了幂函数形式；战吉艳等（2009）对苏州城区深软场地土的统计采用了线性函数、幂函数分段形式；刘红帅等（2010）曾研究了淤泥质土、碎石土、砂土、粉土、黏性土剪切波速和埋深的关系，认为除淤泥质土外，其他常规土类剪切波速与埋深间的关系用一元二次多项式拟合精度最高；邱志刚等（2011）、齐鑫等（2012）的工作中则采用了包括线性模型、幂函数模型、一元二次多项式模型在内的多种模型；狄圣杰等（2014）则曾用广义回归神经网络预测的方法对剪切波速与埋深的关系进行了探讨。综合以上研究可知，区域土体剪切波速与埋深的经验函数关系并没有一个普遍公认的函数形式，何种函数更为接近实测结果仍值得研究，其结果可能也与所研究的区域有关。渤海蕴藏着丰富的油气资源，随着对资源进行开发利用，渤海中建设了一系列的海洋工程项目，按照《建筑工程抗震设防分类标准》，这些工程建筑需要重点设防。在过去的10年中，渤海海域开展了大量的工程建设，如跨海桥梁、隧道、海洋平台等蓬勃开展，积累了丰富的土层剪切波速资料，具备了研究剪切波速与埋深关系的基础。本文在前人研究成果的基础上将尝试构造新的回归模型，对比筛选出最优的回归模型并给出相应的系数。

1.   渤海地质地貌概况

渤海是一个近封闭的内海，为陆架浅海盆地，由辽东湾、渤海湾、莱州湾、渤海中央盆地以及渤海海峡5部分组成。渤海周围有黄河、海河、辽河、滦河等含沙量很大的河流流入，使得渤海水深较浅、地形平缓，海底从莱州湾、渤海湾和辽东湾3个海湾向渤中盆地及渤海海峡倾斜，坡度平缓，平均坡度0.13‰，渤海水深较浅，平均水深18m（陈义兰等，2013）。渤海位于新华夏构造第二沉降带内，是营口隆起、华北凹陷、鲁西隆起与郯庐断裂带的交汇区。渤海分布有厚层第四纪沉积物，在渤中盆地中，第四纪的沉积厚度约600m以上，在渤海湾西岸第四纪的厚度约300m。在更新世期间，渤海曾发生过若干次海进和海退，所以渤海地区更新世地层中海相地层和陆相地层交替出现。在10万年以来的地层中，共发现有3次海侵事件，从下而上分别称为沧州海侵、献县海侵、黄骅海侵。全新世沉积伴随着玉木冰期的最盛时期结束后的全新世海侵形成，在渤中盆地一般厚约8—13m，在辽东湾西侧，其厚度较浅，约2—4m，在渤海西岸一般厚12—14m，表现为灰色—暗灰色沉积层，在黄河和海河口附近海域，受近岸物质的影响，一般表现为黄色沉积层（中国科学院海洋研究所海洋地质研究室，1985）。

2.   数据来源

本文所用土层剪切波速和埋深数据来自于中国地震局在渤海海域工程地震安全性评价中近十余年来积累的资料，这些资料涵盖了渤海海域锦州、渤中、南堡、锦西、辽东、秦皇岛、垦利、辽东、岐口等油田33处场地的钻孔剪切波速资料，取样钻孔的分布如图 1。这些海域钻孔一般深约120m，钻孔土类以细粒土类为主，包括粉质粘土、粉质细砂、粉砂、粉土、砂质粉土、细砂，其中粉质粘土和粉质细砂分布最广。剪切波速均为获取土样后在实验室测得，埋深为取样位置的深度，资料的可靠性很强。对资料进行统计后，按照土类的不同，对数据进行了分类汇总。根据离散点的趋势对个别异常数据进行了剔除，数据仍余500多组。所统计的土类为渤海常见土类，包括粉质粘土、砂质粉砂、粉砂、粉质细砂、细砂、砂质粉土、粉土共7类。

图 1  取样钻孔分布示意图

Figure 1.  Location of boreholes in studied area

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3.   剪切波速测量方法

剪切波速测量装置由三轴压力室、剪切波发射与接收传感器以及DB4型超声测量仪组成，如图 2。具体测量过程是：① 制备直径3.91cm、高8.0cm的原状土样，套上橡皮膜后安装进三轴压力室内；② 根据土样所在土层的上覆有效压力，给土样施加等向固结压力（即图 2中围压σ₃与轴向应力σ₁相等），使土样排水固结；③ 待其固结后，对土样输入剪切波，利用仪器测量出剪切波通过土样的旅行时；④ 土样的高度除以旅行时即得到土样的剪切波速。

图 2  剪切波速测量装置

Figure 2.  Measuring equipment of shear-wave velocity

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4.   数据处理

剪切波速有随深度的增加而增大的规律，不同的学者对不同地区的研究不尽相同，现在已有的经验公式的形式有指数函数、一次函数、二次函数、幂函数、“幂函数+常数函数”（胡钧等，1997）。其回归模型具体如下：

（1）指数函数模型：v=ae^bh；

（2）一次函数模型：v=ah+b；

（3）二次函数模型：v=ah²+bh+c；

（4）幂函数模型：v=ah^b；

（5）“幂函数+常数函数”模型：v=ah^b+c；

其中，a、b、c为拟合系数，h为土体埋深。作者首先按土类分类统计了渤海常见土类的剪切波速和相应的埋深，然后分别用上述5种回归模型对剪切波速和埋深间的关系进行回归分析，并计算相应的拟合优度和最小二乘法拟合的误差平方和，其结果示于表 1。拟合优度是用来度量变量在多大程度上能够被所估计的回归方程所解释的指标。对于一组样本观测值（X_i，Y_i），i=1，2，…，n，若得到以下样本回归线，以一次函数举例：

则Y的第i个观测值与样本均值的离差 ${{y}_{i}}={{Y}_{i}}-\bar{Y}$ ，可分解为2个部分：

其中， ${{\hat{y}}_{i}}={{\hat{Y}}_{i}}-\bar{Y}$ 为样本回归拟合值与观测值的均值之差，表示可以用回归线解释的部分； ${{e}_{i}}={{Y}_{i}}-{{\hat{Y}}_{i}}$ 为实际观测值与样本回归拟合值之差，表示回归线不能解释的部分。对于所有的样

本点，样本点与样本均值离差的平方和可用下式表示：

其中， $\sum{y_{i}^{2}}$ 为总体平方和（TSS）， $\sum{e_{i}^{2}}$ 为误差平方和（RSS）， $\sum{\hat{y}_{i}^{2}}$ 为回归平方和（ESS）， $2\ \centerdot \ \sum{{{e}_{i}}{{{\hat{y}}}_{i}}}$ 为交叉项。在给定样本中，TSS是不变的。若如式（1）所示的拟合曲线取不同的形式，则ESS、RSS和交叉项的值会发生变化。已有文献研究（徐秦等，1992）证实，若拟合曲线为线性函数形式，如式（1）或回归模型（2）等，交叉项为零。若拟合曲线为非线性函数，则交叉项为正、负或零均有可能。一般情况下，若实际观测点离样本回归线越近，则ESS在TSS中所占比重越大，RSS在TSS中占比越小。本文将拟合优度R²定义如下：

这一拟合优度定义主要出于以下几点考虑：① 线性与非线性曲线通用的拟合优度指标虽引起了一些学者（徐秦等，1992；张世强，2002）的注意，但简单、合理适用的指标仍在讨论过程中；② 解决实际问题时，所拟合的回归曲线优劣标准为，在相同参数个数条件下，拟合值越接近观测值，则认为拟合得越好。若把{Y_i}与{ ${{\hat{Y}}_{i}}$ }视为N维空间中的点，若{Y_i}与{ ${{\hat{Y}}_{i}}$ }距离越小，则可认为用{ ${{\hat{Y}}_{i}}$ }估计{Y_i}越好。式（4）中RSS则恰好表示N维空间中{Y_i}与{ ${{\hat{Y}}_{i}}$ }的距离，具有清晰的几何意义。RSS/TSS则体现了相对误差的概念。文献（张世强，2002）中将RNL=1- $\sqrt{\text{RSS}/\text{TSS}}$ 做为线性与非线性曲线通用的拟合优度指标，但作者认为，这一定义与式（4）并无本质区别；③ 在线性回归中，式（4）即为统计学中常用的可决系数；④ RSS主要表示回归线不能解释的部分，ESS与交叉项均与回归线能解释的部分有关，则式（4）可以看做总体平方和之中，与回归线能解释的部分有关的成分所占的比例。

在式（3）中交叉项大于或等于零的情况下，R²（此时其范围为0—1）越接近1，说明实际观测点离样本越近，拟合优度越高。此外，本文回归到用最小二乘法确定拟合函数中各个系数时采用观测值与拟合值误差平方和最小的原则上来，也计算了每一个R²相应的RSS值，作为评价拟合效果的另一个指标。回归模型（1）—（5）的拟合结果分别示于图 3—图 9中，表示拟合效果的数值列于表 1。表 1中的数值表明，在拟合参数个数相同的情况下，幂函数拟合效果最佳。此外，从图中不难发现，当埋深较浅时，如 < 20m时，剪切波速随埋深的变化呈现幂函数变化特征；当埋深较大时，如 > 40m时，剪切波速随埋深变化更接近一次函数特征。因此，在前人研究的基础上，作者综合幂函数与一次函数的特点，构造了新的“幂函数+一次函数”的表达式形式，以期获得更好的拟合效果。函数模型如下：

图 3  粉质粘土在6种剪切波速-埋深回归模型下的拟合结果

Figure 3.  Fitting curves of silty clay for 6 kinds of regression models

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图 4  粉质细砂在6种剪切波速-埋深回归模型下的拟合结果

Figure 4.  Fitting curves of silty fine sand for 6 kinds of regression models

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图 5  粉砂在6种剪切波速-埋深回归模型下的拟合结果

Figure 5.  Fitting results of silt for 6 kinds of regression models

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图 6  粉土在6种剪切波速-埋深回归模型下的拟合结果

Figure 6.  Fitting results of floury soil for six kind of regression models

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图 7  砂质粉砂在6种剪切波速-埋深回归模型下的拟合结果

Figure 7.  Fitting curves of sandy silt for 6 kinds of regression models

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表 1  各类土在各回归模型下的拟合优度

Table 1.  Goodness-of-fits of 7 kinds of soils under different regression models

拟合函数	土类
	粉质粘土		砂质粉砂		粉砂		粉质细砂		细砂		砂质粉土		粉土
	R2	RSS /105	R2	RSS /104	R2	RSS /104	R2	RSS /105	R2	RSS /104	R2	RSS /103	R2	RSS /104
（1）v=aebh	0.861	3.46	0.865	4.81	0.883	3.20	0.873	9.83	0.900	3.26	0.925	9.36	0.865	2.45
（2）v=ah+b	0.915	2.10	0.901	3.51	0.913	2.37	0.909	7.04	0.916	2.73	0.962	4.79	0.928	1.31
（3）v=ah2+bh+c	0.915	2.10	0.901	3.51	0.913	2.37	0.909	7.04	0.916	2.73	0.962	4.79	0.928	1.31
（4）v=ahb	0.935	1.61	0.926	2.64	0.901	2.71	0.946	4.19	0.922	2.55	0.992	1.03	0.979	0.38
（5）v=ahb+c	0.943	1.42	0.932	2.42	0.919	2.22	0.949	3.91	0.928	2.33	0.992	0.94	0.981	0.34
（6）v=ahb+ch+d	0.944	1.40	0.934	2.33	0.920	2.20	0.950	3.82	0.931	2.25	0.993	0.91	0.981	0.34
注：R2表示拟合优度，RSS表示误差平方和，其单位为m2/s2。

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图 8  砂质粉土在6种剪切波速-埋深回归模型下的拟合结果

Figure 8.  Fitting curves of sandy floury soil for 6 kinds of regression models

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图 9  细砂在6种剪切波速-埋深回归模型下的拟合结果

Figure 9.  Fitting curves of fine sand for 6 kinds of regression models

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（6）“幂函数+一次函数”模型：v=ah^b+ch+d

其中，a、b、c、d为拟合系数，h为土体埋深。本文选用Matlab绘制统计数据的散点图，并利用fit函数的非线性最小二乘法拟合功能对数据进行拟合，计算出回归曲线的系数、拟合优度R²、误差平方和，最后，对比各回归模型的拟合优度，并给出最优的回归模型的系数，以供工程中参考。

5.   数据处理结果与分析

经过程序处理和计算，得到了7类土分别在6种回归模型下的剪切波速-埋深的表达式，以及相应的拟合优度、误差平方和（表 1）。从表中看出，从模型（1）至模型（6），拟合优度越来越接近1，同时误差平方和逐渐减小，表明从模型（1）至模型（6）拟合效果越来越好，而模型（6）的拟合效果最好。笔者也曾尝试4参数的三次函数或更高次函数形式的拟合，难以获得较好拟合效果。综合以上拟合结果可知本文构造的“幂函数+一次函数”的回归模型具有很好的适用性。为直观地对比回归结果的优劣，本文给出粉质粘土、粉质细砂等7类常见土类在回归模型（1）—（6）下的拟合结果（图 3—图 9）。可以看出模型（1）至模型（3）对埋深较浅的土样的剪切波速拟合效果不理想，模型（4）对埋深较浅的土样的剪切波速的拟合效果很好，而埋深较大时拟合效果不佳，在这一方面，模型（5）、模型（6）依次有了更进一步的改进，模型（6）对试验数据具有最佳的拟合效果。渤海海域各类土在模型（6）下的各项系数见表 2。

表 2  各土类采用v=ah^b+ch+d形式拟合的系数

Table 2.  Fitting coefficients for 7 kinds of soils while using the formula v=ah^b+ch+d

v=ahb+ch+d拟合系数	土类
	粉质粘土	砂质粉砂	粉砂	粉质细砂	细砂	砂质粉土	粉土
a	76.4017	123.9201	141.3937	120.0582	145.2684	101.4440	49.1360
b	0.2760	0.1907	0.1190	0.2241	0.1630	0.2769	0.4209
c	1.4209	1.1374	1.7891	0.7949	1.1223	0.4958	1.6224e-6
d	20.2951	0.0013	0.0049	3.0568e-5	5.2199e-5	1.0829e-5	62.3314

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6.   结论

本文统计了渤海海域常见土类的剪切波速和埋深数据，研究了剪切波速与埋深之间的经验关系，构造了“幂函数+一次函数”形式的回归模型。通过与其他形式的回归模型拟合优度及误差平方和的对比，证实该回归模型具有很好的适用性。此外，本文给出了渤海各常见土类在该回归模型下的系数。本文的工作可为海域工程中缺失剪切波速数据的场地提供了重要的参考依据，也为钻至一定深度后终孔并推测下方土层剪切波速提供了有效的推测手段。