The Influence of Surface Wave Condition on Hydrodynamic Pressures of Seawater under Earthquake and Waves
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摘要: 地震动斜入射条件下海洋场地简化为理想流体海水-两相介质海床-弹性固体基岩系统模型，通常假定为静水液面条件。本文以地震动SV波为例，推导了表面波条件下海洋场地动力反应解析解，研究了表面波条件对海水动水压力的影响。研究表明，表面波频率在大于0.5Hz时对海水动水压力几乎无影响，在小于0.5Hz范围内有影响，且越接近水面、频率越低时影响越显著。实际地震动卓越频率通常大于0.5Hz，因而地震动作用下采用忽略表面波条件的静水液面假定是合理的。进一步结合线性波浪理论，研究SV波和波浪联合作用下表面波条件对海水动水压力的影响。研究表明，由于波浪属于低频荷载且频率通常小于0.5Hz，在地震和波浪联合作用下表面波条件的影响较地震单独作用更为显著。Abstract: The ocean site is usually simplified as the seawater-seabed-bedrock system under the obliquely incident earthquake, where the seawater is ideal fluid, the seabed is poroelastic media, and the bedrock is elastic solid. In this paper, the analytical solution to the dynamic responses of the ocean site with the surface wave condition is derived. The influence of the surface wave condition on the ground motion hydrodynamic pressures of seawater is studied. Our results show that when the frequency is higher than 0.5 Hz, the surface wave condition is almost no effect. If the frequency is lower than 0.5 Hz, the effect is significant. The closer to the surface position and the lower frequency will enhance such effect. Because the excellent frequency of actual ground motion is generally larger than 0.5 Hz, the assumption of the rest surface condition is reasonable. However, since the wave is low frequency load and its frequency usually is less than 0.5Hz, the effect of the surface wave condition is more significant under the action of earthquake and wave than under only earthquake.
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Key words:
- Surface wave condition /
- Earthquake /
- Waves /
- Hydrodynamic pressure of seawater
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引言
海洋环境极端恶劣，自然海床处于复杂的荷载环境中，荷载包括波浪、海流、风、冰和地震等。波浪荷载是海床的常遇荷载，目前，关于波浪引起的自由场海水动水压力的相关理论已基本完善 (竺艳蓉，1991)，波浪与海床间交互作用的研究成果已十分丰富 (王忠涛，2008；郑东升，2013)。而针对在地震作用下海床竖向运动分量产生的自由场海水动水压力的相关研究成果却相对较少。王进廷等 (2003；2004) 首先对地震动水压力进行了研究，根据弹性介质与多孔介质海床边界条件、多孔介质海床与理想流体边界条件以及理想流体层自由表面的边界条件，基于位移势函数，推导了平面P波和SV波从弹性半空间入射产生的上覆水体动水压力解析表达。Wang等 (2004；2009) 在多孔介质海床存在的情况下，分析了地震入射角度、介质层厚度等参数对水体动水压力的影响。研究地震和波浪联合作用下的流体层动水压力，对于探索理想流体-结构相互作用以及海水和海床交互作用具有重要的参考意义。
Wang等 (2004；2009；王进廷等，2003；2004) 在分析地震产生的流体层动水压力时，在确定理想流体层自由表面边界条件时忽略了自由表面波的影响。为完整地研究地震和波浪联合作用下海工结构或海床动力反应，需要建立地震和波浪荷载作用下海工结构或海床动力反应的统一模型，而在建立统一模型之前，首先要考虑自由表面波对地震入射流体层产生的动水压力的影响。Wang等 (2004；2009；王进廷等，2003；2004；2008) 给出的是单位加速度幅值的简谐地震波入射下的动水压力的解，为了研究具有复杂频谱特性的实际地震波作用下产生的动水压力，需根据地震波的加速度幅值和频谱特性综合分析实际其产生的自由场海水动水压力。
本文在雷枝 (2014)的研究成果的基础上分析考虑SV波和波浪联合作用下自由表面波对自由场海水动水压力的影响，研究不同频率、水深、水平位置、波高、海床厚度等条件下联合动水压力的分布规律，为近海工程或场地的动力分析提供参考。
1. 基本理论
1.1 SV波动水压力
图 1为在SV波斜入射下海洋场地的示意图。平面SV波从弹性半空间基岩入射到其与多孔介质海床的交界面，入射角为θ(入射波方向与交界面法向的夹角)，经过一系列反射和透射，弹性固体基岩中存在入射SV波、反射P波和反射SV波，多孔介质海床中分别存在2种透射P波和2种反射P波、1种透射SV波和1种反射SV波，理想流体不能承受剪力，因此理想流体层中仅存在1种透射P波和1种反射P波。图中上标 (1) 表示弹性半空间参数，上标 (2) 表示多孔介质河床参数，上标 (3) 表示理想流体参数，下文同理。
图 1 SV波斜入射下半无限弹性固体-多孔介质-理想流体系统海洋场地示意图Figure 1. Ocean site as half-space elastic solid-poroelastic medium-ideal fluid system under obliquely incident earthquake1.1.1 控制方程和平面波的解
(1) 弹性固体基岩位移波动方程为：
$$ (\lambda ^{{(1)}} + {G^{(1)}})\nabla ({\nabla {\rm{^T}}}{\boldsymbol{\rm{u}}^{(1)}}) + {G^{(1)}}{\nabla ^2}{\boldsymbol{\rm{u}}^{(1)}} = {\rho ^{(1)}}{\boldsymbol{\rm{\ddot u}}^{(1)}} $$ (1) 其中，λ(1)和G(1)为拉梅常数，ρ(1)为固体介质密度，u(1)、ü(1)分别为弹性固体位移、加速度向量。引入位移势函数：
$$ {{\rm{u}}^{(1)}} = \nabla {{\rm{ \mathsf{ φ} }}^{(1)}} + \nabla \times {{\rm{ \mathsf{ ψ} }}^{(1)}}{{\rm{e}}_{\rm{z}}} $$ (2) 将式 (2) 代入式 (1) 获得势函数波动方程，在频域下解得：
$$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\varphi ^{(1)}} = A_1^{(1)}{\rm{exp}}( - {\rm{i}}l_{{\rm{p}}y}^{(1)}y) + A_2^{(1)}{\rm{exp}}({\rm{i}}l_{{\rm{p}}y}^{(1)}y)}\\ {{\psi ^{(1)}} = B_1^{(1)}{\rm{exp}}( - {\rm{i}}l_{{\rm{s}}y}^{(1)}y) + B_2^{(1)}{\rm{exp}}({\rm{i}}l_{{\rm{s}}y}^{(1)}y)} \end{array} $$ (3) 其中，$A_1^{(1)}、A_2^{(1)}、B_1^{(1)}$和$B_2^{(1)}$是波的位移势函数幅值；式 (3) 中略去了相同因子${\rm{exp}}\left[ {{\rm{i}}(\omega t - {l_x}x)} \right]$，其中${\rm{i}} = \sqrt { - 1} $，ω为入射波频率，t为时间变量；固体SV波波数$l_{\rm{s}}^{{\rm{(1)}}} = \omega /c_{\rm{s}}^{{\rm{(1)}}}$，SV波波速$c_{\rm{s}}^{{\rm{(1)}}} = \sqrt {{G^{(1)}}{\rm{ }}/{\rho ^{(1)}}} ,{l_x} = l_{\rm{s}}^{{\rm{(1)}}}{\rm{sin}}\theta ,{\left[ {l_{{\rm{s}}y}^{(1)}} \right]^2} + l_x^2 = {\left[ {l_{\rm{s}}^{(1)}} \right]^2}$；固体P波波数$l_{\rm{p}}^{{\rm{(1)}}} = \omega /c_{\rm{p}}^{(1)}$，P波波速$c_{\rm{p}}^{{\rm{(1)}}} = \sqrt {(2{\lambda ^{(1)}} + {G^{(1)}}){\rm{ /}}{\rho ^{(1)}}} ,{\left[ {l_{{\rm{p}}y}^{(1)}} \right]^2} + l_x^2 = {\left[ {l_{\rm{p}}^{(1)}} \right]^2}$。应力可以通过应力-位移关系表示。
(2) 两相介质海床
位移波动方程
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} {N^{(2)}}{\nabla ^2}{\boldsymbol{\rm{u}}^{(2)}} + \nabla \left[ {({A^{(2)}} + {N^{(2)}}){\nabla {\rm{^T}}}{\boldsymbol{\rm{u}}^{(2)}} + {Q^{(2)}}{\nabla {\rm{^T}}}{\boldsymbol{\rm{U}}^{(2)}}} \right] = \rho _{11}^{(2)}{{\boldsymbol{\rm{\ddot u}}}^{(2)}} + \rho _{12}^{(2)}{{\boldsymbol{\rm{\ddot U}}}^{(2)}} \hfill \\ + {b^{(2)}}({{\boldsymbol{\rm{\dot u}}}^{(2)}} - {{\boldsymbol{\rm{\dot U}}}^{(2)}}) \hfill \\ \end{gathered} \\ {\nabla \left[ {{Q^{(2)}}{\nabla {\rm{^T}}}{\boldsymbol{\rm{u}}^{(2)}} + {R^{(2)}}{\nabla {\rm{^T}}}{\boldsymbol{\rm{U}}^{(2)}}} \right] = \rho _{12}^{(2)}{{\boldsymbol{\rm{\ddot u}}}^{(2)}} + \rho _{22}^{(2)}{{\boldsymbol{\rm{\ddot U}}}^{(2)}} - {b^{(2)}}({{\boldsymbol{\rm{\dot u}}}^{(2)}} - {{\boldsymbol{\rm{\dot U}}}^{(2)}})} \end{array}} \right. $$ (4) 其中，N(2)、A(2)、Q(2)和R(2)为比奥常数，N(2)=G(2)，${A^{(2)}} = {\lambda ^{(2)}} + {\left[ {{Q^{(2)}}} \right]^2}/{R^{(2)}}$，${Q^{(2)}} = (1 - {n^{(2)}})k_{\rm{f}}^{(2)}, {R^{(2)}} = {n^{(2)}}k_{\rm{f}}^{(2)}, {n^{(2)}}$为孔隙率，λ(2)和G(2)为两相中固相介质拉梅常数，$k_{\rm{f}}^{(2)}$为两相中流相介质体积模量耗散系数；${b^{(2)}} = {\rho ^{(2{\rm{f}})}}g{\left[ {{n^{(2)}}} \right]^2}/k$，k为达西渗透系数，g为重力加速度；$\rho _{11}^{(2)} = (1 - {n^{(2)}}){\rho ^{(2{\rm{s}})}} + {\rho ^{(2{\rm{a}})}},\rho _{12}^{(2)} = - {\rho ^{(2{\rm{a}})}},\rho _{22}^{(2)} = {n^{(2)}}{\rho ^{(2{\rm{f}})}} + {\rho ^{(2{\rm{a}})}},{\rho ^{(2{\rm{s}})}}、{\rho ^{(2{\rm{f}})}}$和ρ(2a)分别为 两相中固相介质密度、两相中液相介质密度和表观附加质量密度；$ {\boldsymbol{\rm{u}}^{(2)}}、{{\boldsymbol{\rm{\dot u}}}^{(2)}}、{{\boldsymbol{\rm{\ddot u}}}^{(2)}}、{\boldsymbol{\rm{U}}^{(2)}}、{{\boldsymbol{\rm{\dot U}}}^{(2)}}$和${{\boldsymbol{\rm{\ddot U}}}^{(2)}}$分别为两相中固相和液相的位移、速度和加速度向量。引入位移势函数：
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{\rm{u}}^{(2)}} = \nabla {\varphi ^{(2{\rm{s}})}} + \nabla \times {\psi ^{(2{\rm{s}})}}{\boldsymbol{\rm{e}}_z}} \\ {{\boldsymbol{\rm{U}}^{(2)}} = \nabla {\varphi ^{(2{\rm{f}})}} + \nabla \times {\psi ^{(2{\rm{f}})}}{\boldsymbol{\rm{e}}_z}} \end{array}} \right. $$ (5) 将式 (5) 代入式 (4) 获得势函数波动方程，在频域下解得：
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varphi ^{(2{\rm{s}})}} = A_{11}^{(2)}{\rm{exp}}( - {\rm{i}}l_{{\rm{p}}1y}^{(2)}y) + A_{21}^{(2)}{\rm{exp}}({\rm{i}}l_{{\rm{p}}1y}^{(2)}y) + A_{12}^{(2)}{\rm{exp}}( - {\rm{i}}l_{{\rm{p}}2y}^{(2)}y) + A_{22}^{(2)}{\rm{exp}}({\rm{i}}l_{{\rm{p}}2y}^{(2)}y)}\\ {{\varphi ^{(2{\rm{f}})}} = {\eta _1}\left[ {A_{11}^{(2)}{\rm{exp}}( - {\rm{i}}l_{{\rm{p}}1y}^{(2)}y) + A_{21}^{(2)}{\rm{exp}}({\rm{i}}l_{{\rm{p}}1y}^{(2)}y)} \right] + {\eta _2}\left[ {A_{12}^{(2)}{\rm{exp}}( - {\rm{i}}l_{{\rm{p}}2y}^{(2)}y) + A_{22}^{(2)}{\rm{exp}}({\rm{i}}l_{{\rm{p}}2y}^{(2)}y)} \right]}\\ {{\psi ^{(2{\rm{s}})}} = B_1^{(2)}{\rm{exp}}( - {\rm{i}}l_{{\rm{s}}y}^{(2)}y) + B_2^{(2)}{\rm{exp}}({\rm{i}}l_{{\rm{s}}y}^{(2)}y)}\\ {{\psi ^{(2{\rm{f}})}} = {\eta _3}\left[ {B_1^{(2)}{\rm{exp}}( - {\rm{i}}l_{{\rm{s}}y}^{(2)}y) + B_2^{(2)}{\rm{exp}}({\rm{i}}l_{{\rm{s}}y}^{(2)}y)} \right]} \end{array}} \right. $$ (6) 其中，$A_{11}^{(2)}、A_{12}^{(2)}、A_{21}^{(2)}、A_{22}^{(2)}、B_1^{(2)}$和$B_2^{(2)}$为波的势函数幅值；式 (6) 中略去了相同因子${\rm{exp}}\left[ {{\rm{i}}(\omega t - {l_x}x)} \right];l_{\rm{s}}^{{\rm{(2)}}}{\rm{、}}l_{{\rm{p}}1}^{(2)}$和$l_{{\rm{p}}2}^{(2)}$分别为多孔介质中SV波、P1波和P2波波数，${\left[ {l_{{\rm{s}}y}^{(2)}} \right]^2} + l_x^2 = {\left[ {l_{\rm{s}}^{{\rm{(2)}}}} \right]^2},{\left[ {l_{{\rm{p}}1y}^{(2)}} \right]^2} + l_x^2 = {\left[ {l_{{\rm{p}}1}^{(2)}} \right]^2},{\left[ {l_{{\rm{p}}2y}^{(2)}} \right]^2} + l_x^2 = {\left[ {l_{{\rm{p}}2}^{(2)}} \right]^2}$。应力可以通过应力-位移关系表示。式 (6) 中，一些系数的表达式如下所示：
$$ \begin{gathered} {\left[ {l_{{\rm{p}}1}^{(2)}} \right]^2} = \frac{{ - d - \sqrt {{d^2} - 4ac} }}{{2a}}, {\left[ {l_{{\rm{p}}2}^{(2)}} \right]^2} = \frac{{ - d + \sqrt {{d^2} - 4ac} }}{{2a}} \hfill \\ {\left[ {l_{\rm{s}}^{(2)}} \right]^2} = \frac{{\left[ {\rho _{11}^{(2)}\rho _{22}^{(2)} - {{\left[ {\rho _{12}^{(2)}} \right]}^2}} \right]{\omega ^3} - {\rm{i}}{b^{(2)}}(\rho _{11}^{(2)} + 2\rho _{12}^{(2)} + \rho _{22}^{(2)}){\omega ^2}}}{{{N^{(2)}}(\rho _{22}^{(2)}\omega - {\rm{i}}{b^{(2)}})}} \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a = ({A^{(2)}} + 2{N^{(2)}}){R^{(2)}} - {\left[ {{Q^{(2)}}} \right]^2} \hfill \\ d = \left[ { - ({A^{(2)}} + 2{N^{(2)}})\rho _{22}^{(2)} - {R^{(2)}}\rho _{11}^{(2)} + 2{Q^{(2)}}\rho _{12}^{(2)}} \right]{\omega ^2} + {\rm{i}}{b^{(2)}} \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;({A^{(2)}} + 2{N^{(2)}} + {R^{(2)}} + 2{Q^{(2)}})\omega \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;c = {\left[ {\rho _{11}^{(2)}\rho _{22}^{(2)} - {{\left[ {\rho _{12}^{(2)}} \right]}^2}} \right]^2}{\omega ^4} - {\rm{i}}{b^{(2)}}(\rho _{11}^{(2)} + 2\rho _{12}^{(2)} + \rho _{22}^{(2)})\omega \hfill \\ {\eta _1} = - \frac{{{Q^{(2)}}{{\left[ {l_{{\rm{p}}1}^{(2)}} \right]}^2} - \rho _{12}^{(2)}{\omega ^2} - {\rm{i}}{b^{(2)}}\omega }}{{{R^{(2)}}{{\left[ {l_{{\rm{p}}1}^{(2)}} \right]}^2} - \rho _{22}^{(2)}{\omega ^2} + {\rm{i}}{b^{(2)}}\omega }}, {\eta _2} = - \frac{{{Q^{(2)}}{{\left[ {l_{{\rm{p}}2}^{(2)}} \right]}^2} - \rho _{12}^{(2)}{\omega ^2} - {\rm{i}}{b^{(2)}}\omega }}{{{R^{(2)}}{{\left[ {l_{{\rm{p}}2}^{(2)}} \right]}^2} - \rho _{22}^{(2)}{\omega ^2} + {\rm{i}}{b^{(2)}}\omega }}, {\eta _3} = \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - \frac{{\rho _{12}^{(2)}\omega + {\rm{i}}{b^{(2)}}}}{{\rho _{22}^{(2)}\omega - {\rm{i}}{b^{(2)}}}} \hfill \\ \end{gathered} $$ (3) 理想流体海水
位移波动方程为：
$$ {k^{(3)}}\nabla ({\nabla ^{\rm{T}}}{\boldsymbol{\rm{u}}^{(3)}}) = {\rho ^{(3)}}{\boldsymbol{\rm{\ddot u}}^{(3)}} $$ (7) 其中，ρ(3)是流体密度，k(3)是流体体积模量，u(3)和ü(3)分别为理想流体位移和加速度向量。引入位移势函数：
$$ {\boldsymbol{\rm{u}}^{(3)}} = \nabla {\varphi ^{(3)}} $$ (8) 将式 (8) 代入式 (7) 获得势函数波动方程，在频域下解得：
$$ {\varphi ^{(3)}} = A_1^{(3)}{\rm{exp}}( - {\rm{i}}l_{{\rm{p}}y}^{(3)}y) + A_2^{(3)}{\rm{exp}}({\rm{i}}l_{{\rm{p}}y}^{(3)}y) $$ (9) 其中，$A_1^{(3)}$和$A_2^{(3)}$是入射波和反射波的位移势函数幅值；式 (9) 略去了相同因子${\rm{exp}}\left[ {{\rm{i}}(\omega t - {l_x}x)} \right]$；固体P波波数$l_{\rm{p}}^{{\rm{(3)}}} = \omega /c_{\rm{p}}^{{\rm{(3)}}}$，P波波速$c_{\rm{p}}^{{\rm{(3)}}} = \sqrt {{k^{(3)}}/{\rho ^{(3)}}} ,{\left[ {l_{{\rm{p}}y}^{(3)}} \right]^2} + l_x^2 = {\left[ {l_{\rm{p}}^{(3)}} \right]^2}$。海水动水压力可以通过压力-位移关系表示。
1.1.2 入射波条件和边界条件定解
入射波条件为单位幅值SV波从角度θ 入射，可得：
$$ A_1^{(1)} = 0,B_1^{(1)} = 1,\;\;{l_x} = \left[ {\omega /c_{\rm{s}}^{{\rm{(1)}}}} \right]{\rm{sin}}\theta $$ (10) 固体与两相介质交界面条件为法向位移、固体切向位移、法向总应力以及固体切向应力连续，可得：
$$ {v^{(1)}} = {v^{(2)}} = {V^{(2)}}, {u^{(1)}} = {u^{(2)}}, \sigma _y^{(1)} = \sigma _y^{(2)} - {n^{(2)}}{p^{(2)}}, \tau _{xy}^{(1)} = \tau _{xy}^{(2)} $$ (11) 其中，u(1)、v(1)分别表示固体中水平和法向位移；u(2)、v(2)分别表示两相中固相的水平和法向位移，V(2)表示两相中液相的法向位移；${\sigma _y}^{(1)}、{\tau _{xy}}^{(1)}$分别表示固体法向总应力和切向应力；${\sigma _y}^{(2)}、{\tau _{xy}}^{(2)}$分别表示两相中的固相法向应力和切向应力；p(2)表示两相介质孔隙水压力。
两相介质与流体交界面条件为流体法向位移、法向应力、动水压力连续，固体骨架切向应力为零，可得：
$$ (1 - {n^{(2)}}){v^{(2)}} + {n^{(2)}}{V^{(2)}} = {v^{(3)}}, \sigma _y^{(2)} - {n^{(2)}}{p^{(2)}} = - {p^{(3)}}, - {n^{(2)}}{p^{(2)}} = - {n^{(2)}}{p^{(3)}}, {\tau _{xy}}^{(2)} = 0 $$ (12) 其中v(3)表示理想流体法向位移，p(3)表示理想流体介质动水压力。
流体自由表面波条件为：
$$ {p^{(3)}} = {\rho ^{(3)}}g{v^{(3)}} $$ (13) 通过入射波条件和边界条件形成求解势函数未知系数的线性代数方程组，进而确定场地地震反应。
1.2 波浪动水压力
根据线性波浪理论，波浪产生的动水压力为：
$$ p = \rho {\rm{g}}A\left[ {{\rm{ch}}(kz + kd)/{\rm{ch}}(kd)} \right]\left[ {{\rm{cos}}(kx - \omega t)} \right]/2 $$ (14) 其中，A为波高，ω为圆频率，k为波数，d为水深，ρ为理想流体密度。波数可由线性波浪的线性弥散关系求得，即：
$$ {\omega ^2} = gk{\rm{tanh}}kd $$ (15) 1.3 SV波和波浪联合作用的动水压力
SV波和波浪联合作用动水压力的具体计算方法，雷枝 (2014)已给出，SV波和波浪两者联合作用的表达式为：
$$ \begin{gathered} p = {\rho ^{(3)}}{\omega ^2}\left[ {A_1^{(3)}{\rm{exp}}(- {\rm{i}}l_{{\rm{p}}y}^{(3)}y) + A_2^{(3)}{\rm{exp}}({\rm{i}}l_{{\rm{p}}y}^{(3)}y)} \right]{\rm{exp}}\left[ {{\rm{i}}(\omega t - {l_x}x + {\varphi _0})} \right] \hfill \\ \;\;\;\;\; + \rho gA\left[ {{\rm{ch}}(kz + kd)/{\rm{ch}}(kd)} \right]\left[ {{\rm{cos}}(kx - \omega t)} \right]/2 \hfill \\ \end{gathered} $$ (16) 其中，φ0为SV波和波浪之间的相位差。
2. 计算结果与讨论
2.1 系统参数选取
弹性介质的力学参数取值为：密度${\rho ^{(1)}} = 24.83 \times 1{0^2}{\rm{kg}}/{{\rm{m}}^3} $，拉梅常数$ {\lambda ^{(1)}} = 1.53 \times 1{0^{10}}{\rm{Pa}}, {G^{(1)}} = 7.65 \times 1{0^9}{\rm{Pa}}$；多孔介质层各参数取值为：多孔介质层厚度为h=0.3H，固体骨架密度${\rho ^{(2{\rm{s}})}} = 2.64 \times 1{0^3}{\rm{kg}}/{{\rm{m}}^3}$，孔隙流体密度${\rho ^{(2{\rm{f}})}} = 1 \times 1{0^3}{\rm{kg}}/{{\rm{m}}^3}, {\rho ^{(2{\text{a}})}} = 0 $，达西渗透系数$k = 0.01 \times 1{0^{ - 1}}{\rm{m/s}}$，孔隙率${n^{(2)}} = 0.60$，拉梅常数$ {\lambda ^{(2)}} = 179.75 \times 1{0^8}{\rm{Pa}}, {G^{(2)}} = 77.04 \times 1{0^8}{\rm{Pa}}$，孔隙流体的体积弹性模量$k_{\rm{f}}^{(2)} = 21.06 \times 1{0^7}{\rm{Pa}} $；理想流体各参数取值为：体积弹性模量$k_{\rm{f}}^{(3)} = 2 \times 1{0^9}{\rm{Pa}}$，理想流体密度${\rho ^{(3)}} = 1 \times 1{0^3}{\rm{kg}}/{{\rm{m}}^3}$。地震波为45°角入射的SV波，单个频率对应的加速度幅值为$0.06{\rm{m}}/{{\rm{s}}^2}$。H为总的水体深度，分别取为60m和120m。A表示波浪高度，分别取为2m、4m、6m和8m。
2.2 计算结果分析
2.2.1 SV波动水压力分析 (考虑自由表面条件的影响)
讨论自由表面波条件式 (13) 相对于压力为零的自由表面条件的影响。图 2和图 3分别给出SV波作用下水深60m和120m时海水动水压力反应结果。图 2(a)和图 3(a)表示0.3H处动水压力随地震频率的变化。从图中可以看出，入射波频率大于0.5Hz时，自由表面波条件对动水压力基本无影响，小于0.5Hz时影响显著，在低频范围内自由表面波的存在会减小SV波作用下海床表面处海水动水压力的反应。图 2(b)和图 3(b)表示不考虑自由表面波条件时，不同地震频率下动水压力沿水深的分布曲线。图 2(c)-(f)和图 3(c)-(f)为考虑表面波条件时不同波浪频率下海水动水压力反应沿水深的分布曲线。由图 2(f)和图 3(f) 可知，当频率较大 (f ≥1Hz) 时，水体表面的动水压力几乎为零，自由表面波在水体表面处的影响可以忽略不计。由图 2(c)、(d)、(e)可知随水深或频率的增加，自由表面波对SV波作用下海水动水压力幅值的影响逐渐变小，在低频范围内，由于自由表面波的影响，流体自由表面动水压力不为零，且在某深度范围内，SV波作用下海水动水压力有趋于零的拐点，动水压力幅值随水深先减小后增大，当频率足够小且水深较浅时，例如f=0.05Hz，H=60m时，没有趋于零的拐点。
图 2 水深60m时地震作用下的动水压力Figure 2. Hydrodynamic water pressure caused by earthquake (H=60m)
图 3 水深120m时地震作用下的动水压力Figure 3. Hydrodynamic water pressure caused by earthquake (H=120m)2.2.2 实际地震动水压力谱
由于实际地震波的频谱特性复杂，研究中为考虑其加速度幅值与频谱特性，具体方法是将具有一定峰值加速度的实际地震记录进行傅里叶变换，将分解后各频率对应的幅值与动水压力的频率响应函数中相应频率的幅值相乘，得到地震荷载作用下的动水压力解。我们已知自由表面边界条件对地震在低频段处的动水压力有影响，由于实际地震的卓越频率一般大于2Hz，自由表面边界条件对实际地震单独作用下产生的动水压力幅值影响不大。下面给出El-centrol地震动在海床表面的动水压力结果，如图 4和5所示。
2.2.3 SV波和波浪单独作用及两者联合作用下动水压力对比分析
地震频率和入射波浪频率取相同值为0.06Hz、0.08Hz、0.1Hz和0.2Hz，波高取值为2m、4m；模型中取H=120m，h=36m；取时间t=0，SV波和波浪之间的相位差φ0=0。SV波、波浪作用下以及SV波和波浪联合作用下动水压力如图 6(a)和(b)所示。当波高一定时，随着频率的增大，地震动水压力在海床表面逐渐起主导作用，波浪动水压力在水体表面逐渐起主导作用；当频率一定时，在频率较低时 (f=0.06Hz及f=0.08Hz)，随着波高的增大，波浪动水压力逐渐在整个水深范围内起主导作用；随着频率的变大，波浪动水压力对海床表面动水压力的主导作用减弱，地震动水压力对海床表面动水压力的主导作用加强。当单一对应的频率幅值变大时，可能产生地震动水压力沿水深范围内 (除拐点周围小部分水深处) 大于波浪动水压力的情况，所以地震和波浪的主导作用不仅跟频率和波高有关，还与地震频率对应的加速度幅值有关。
图 6 地震和波浪联合作用下的动水压力Figure 6. The hydrodynamic pressures under the coaction of earthquake and waves2.2.4 SV波和波浪联合作用下不同水平位置动水压力对比分析
水平位置的不同决定了联合作用时初始情况的不同，且直接影响SV波和波浪联合作用下动水压力的相位。取时间t=0，SV波和波浪之间的相位差φ0=0，频率为0.1Hz，波高取值为2m、4m、6m和8m；模型中取H=120m，h=60m。SV波和波浪联合作用下动水压力随水深的分布曲线如图 7所示。
图 7 水平位置对联合作用下的动水压力的影响Figure 7. The effect on the hydrodynamic pressures by various horizontal positions当频率一定时，水平位置的改变主要引起波浪动水压力的改变，进而影响联合作用下动水压力的分布。随着x的变化，联合作用下动水压力在水体表面处变化范围比较大，在海床表面变化范围比较小，这是因为当频率一定时，地震SV波作用下海床表面动水压力不变，而波浪动水压力在海床表面的主导作用不强引起的。在水体自由表面，联合作用动水压力随着x的增大表现为先减小后增大；在x=l/4、x=3l/4处，由于波浪产生的动水压力为零，联合作用动水压力值等于地震SV波作用产生的动水压力值。由于自由表面波的影响，地震SV波作用产生的动水压力在一定水深时有拐点的出现，这使得当水平位置改变，且当波高较小时，联合作用下动水压力沿水深变化比较复杂。
3. 结论
本文基于雷枝 (2014)的研究方法，考虑了地震和波浪联合作用下自由表面波对自由场海水动水压力的影响，并分析了不同频率、水深、水平位置、波高等条件下动水压力的分布规律，得到如下结论：
(1) 由于自由表面波条件的影响，流体自由表面动水压力在低频范围内不为零，且在某深度范围内，地震SV波动水压力有趋于零的拐点，动水压力幅值随水深先减小后增大。入射波频率较低时，自由表面波条件会影响地震SV波作用下动水压力幅值。
(2) 当波高一定时，随着频率的增大，地震SV波引起的动水压力在海床表面逐渐起主导作用，波浪引起的动水压力在水体表面逐渐起主导作用。地震SV波和波浪作用下海水自由场动水压力受波浪周期、波高、水深和地震频谱成分的影响。
(3) 在地震SV波和波浪联合作用下水平位置对动水压力沿水深的分布规律影响显著。
(4) 低频时，在自由表面波的影响下，地震SV波在水体自由表面产生的动水压力有可能接近或大于波浪产生的动水压力值，这一点对长周期结构的动力反应分析是重要的。
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图 1 SV波斜入射下半无限弹性固体-多孔介质-理想流体系统海洋场地示意图
Figure 1. Ocean site as half-space elastic solid-poroelastic medium-ideal fluid system under obliquely incident earthquake
图 2 水深60m时地震作用下的动水压力
Figure 2. Hydrodynamic water pressure caused by earthquake (H=60m)
图 3 水深120m时地震作用下的动水压力
Figure 3. Hydrodynamic water pressure caused by earthquake (H=120m)
图 6 地震和波浪联合作用下的动水压力
Figure 6. The hydrodynamic pressures under the coaction of earthquake and waves
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雷枝, 2014. 地震和波浪联合作用下自由场海水动水压力反应研究. 北京工业大学. 王进廷, 金峰, 张楚汉, 2003.位于弹性半空间上的理想流体层动力反应——平面P波入射.工程力学, 20(6):12-17. http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-GCLX200306002.htm 王进廷, 张楚汉, 金峰, 2004.位于弹性半空间上的理想流体层动力反应——平面SV波入射.工程力学, 21(1):15-20. http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-GCLX200401002.htm 王进廷, 张楚汉, 金峰, 2008.淤砂层模型对上层理想流体动力反应的影响——平面SV波入射.岩土力学, 29(9):2359-2364. http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTLX200809012.htm 王忠涛, 2008. 随机和非线性波浪作用下海床动力响应和液化分析. 大连: 大连理工大学. 郑东升, 2013.波浪和海床交互作用的多孔介质原理 (英文版).上海:上海交通大学出版社. 竺艳蓉, 1991.海洋工程波浪力学.天津:天津工业大学出版社. Wang J. T., Zhang C. H. and Jin F., 2004. Analytical solutions for dynamic pressures of coupling fluid-soild-porous medium due to P wave incidence. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 3(2):263-271. doi: 10.1007/BF02858240 Wang J. T., Zhang C. H. and Jin F., 2009. Analytical solutions for dynamic pressures of coupling fluid-porous medium-solid due to SV wave incidence. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 33(12):1467-1484. doi: 10.1002/nag.v33:12 -
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